Examkin

Soru

Zorluk: OrtaKoşullu Dağılımlar

Üç bileşenli X=(X1,X2,X3)T\mathbf{X} = (X_1, X_2, X_3)^T rastgele vektörünün, μ\boldsymbol{\mu} ortalama vektörüne ve Σ\mathbf{\Sigma} kovaryans matrisine sahip bir çok değişkenli normal dağılıma uyduğu bilinmektedir. Dağılıma ait kovaryans matrisi aşağıda, X(1)=[X1]\mathbf{X}^{(1)} = [X_1] ve X(2)=[X2X3]\mathbf{X}^{(2)} = \begin{bmatrix} X_2 \\ X_3 \end{bmatrix} olacak şekilde parçalanmış formatta verilmiştir:

Σ=[Σ11Σ12Σ21Σ22]=[1042431211] \mathbf{\Sigma} = \begin{bmatrix} \Sigma_{11} & \Sigma_{12} \\ \Sigma_{21} & \Sigma_{22} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 10 & 4 & 2 \\ 4 & 3 & 1 \\ 2 & 1 & 1 \end{bmatrix}

Buna göre, X2=x2X_2 = x_2 ve X3=x3X_3 = x_3 koşulu altında, X1X_1 değişkeninin koşullu varyansı (Var(X1∣X2,X3)Var(X_1 | X_2, X_3)) aşağıdakilerden hangisidir?

  1. A
    0
  2. 4Cevap
  3. C
    6
  4. D
    10
  5. E
    16

Cevap

Koşullu varyans 4 olarak hesaplanır.
Çok değişkenli normal dağılımda koşullu varyansın hesaplanması için Var(X1∣X2,X3)=Σ11−Σ12Σ22−1Σ21Var(X_1 | X_2, X_3) = \Sigma_{11} - \Sigma_{12}\Sigma_{22}^{-1}\Sigma_{21} formülü kullanılır. Parçalanmış matrislere göre Σ11=10\Sigma_{11} = 10, Σ12=[42]\Sigma_{12} = \begin{bmatrix} 4 & 2 \end{bmatrix}, Σ21=[42]\Sigma_{21} = \begin{bmatrix} 4 \\ 2 \end{bmatrix} ve Σ22=[3111]\Sigma_{22} = \begin{bmatrix} 3 & 1 \\ 1 & 1 \end{bmatrix} değerleri elde edilir. Σ22\Sigma_{22} matrisinin tersi [0.5−0.5−0.51.5]\begin{bmatrix} 0.5 & -0.5 \\ -0.5 & 1.5 \end{bmatrix} olarak bulunur. Σ12Σ22−1Σ21\Sigma_{12}\Sigma_{22}^{-1}\Sigma_{21} çarpımı gerçekleştirildiğinde sonucun 6 olduğu görülür. Ana formülde yerine konulduğunda 10−6=410 - 6 = 4 değeri doğru koşullu varyanstır.

Adım Adım Çözüm

1
Kovaryans matrisini koşula uygun olarak parçalara ayırma
Σ11=10\Sigma_{11} = 10, Σ12=[42]\Sigma_{12} = \begin{bmatrix} 4 & 2 \end{bmatrix}, Σ21=[42]\Sigma_{21} = \begin{bmatrix} 4 \\ 2 \end{bmatrix} ve Σ22=[3111]\Sigma_{22} = \begin{bmatrix} 3 & 1 \\ 1 & 1 \end{bmatrix} olarak belirlenir.
Çok değişkenli normal dağılımda koşullu varyans formülünün bileşenlerini tanımlamak için.
2
Koşul matrisinin (Σ22\Sigma_{22}) tersini alma
Determinant = 3(1)−1(1)=23(1) - 1(1) = 2. Σ22−1=12[1−1−13]=[0.5−0.5−0.51.5]\Sigma_{22}^{-1} = \frac{1}{2} \begin{bmatrix} 1 & -1 \\ -1 & 3 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0.5 & -0.5 \\ -0.5 & 1.5 \end{bmatrix} bulunur.
Varyans formülündeki Σ22−1\Sigma_{22}^{-1} bileşenini hesaplamak için.
3
Σ12Σ22−1Σ21\Sigma_{12}\Sigma_{22}^{-1}\Sigma_{21} çarpımını gerçekleştirme
İlk çarpım: [42][0.5−0.5−0.51.5]=[11]\begin{bmatrix} 4 & 2 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 0.5 & -0.5 \\ -0.5 & 1.5 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & 1 \end{bmatrix}. İkinci çarpım: [11][42]=4+2=6\begin{bmatrix} 1 & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 4 \\ 2 \end{bmatrix} = 4 + 2 = 6 elde edilir.
Koşullu değişkenlerin X1X_1'in varyansında ne kadarlık bir açıklama (azalış) sağladığını bulmak için.
4
Koşullu varyansı hesaplama
Var(X1∣X2,X3)=Σ11−6=10−6=4Var(X_1 | X_2, X_3) = \Sigma_{11} - 6 = 10 - 6 = 4 sonucu bulunur.
Ana formülü (Var(X1∣X2)=Σ11−Σ12Σ22−1Σ21Var(X_1 | \mathbf{X}_2) = \Sigma_{11} - \Sigma_{12}\Sigma_{22}^{-1}\Sigma_{21}) uygulayarak kalan açıklanamayan varyansı bulmak için.

Anahtar Kavram

Çok değişkenli normal dağılımda parçalanmış matrisler yardımıyla koşullu varyans-kovaryans matrisinin hesaplanması.
Tahmini Süre:1m 30s
Bu soruyu puanla

Konular

Koşullu Dağılımlar

Bu konudan daha fazla soru