Examkin

Soru

Zorluk: OrtaKoşullu Dağılımlar

X=[X1X2X3]\mathbf{X} = \begin{bmatrix} X_1 \\ X_2 \\ X_3 \end{bmatrix} rastgele vektörü, çok değişkenli normal dağılıma sahip olup ortalama vektörü ve kovaryans matrisi aşağıda verilmiştir:

μ=[21−1],Σ=[52−1240−102]{\boldsymbol{\mu}} = \begin{bmatrix} 2 \\ 1 \\ -1 \end{bmatrix}, \quad {\boldsymbol{\Sigma}} = \begin{bmatrix} 5 & 2 & -1 \\ 2 & 4 & 0 \\ -1 & 0 & 2 \end{bmatrix}

Buna göre, X2=x2X_2 = x_2 ve X3=x3X_3 = x_3 değerleri bilindiğinde, X1X_1 değişkeninin koşullu varyansı (Var(X1∣X2=x2,X3=x3)\text{Var}(X_1 | X_2 = x_2, X_3 = x_3)) aşağıdakilerden hangisidir?

  1. A
    1.5
  2. B
    2.75
  3. 3.5Cevap
  4. D
    5.0
  5. E
    6.5

Cevap

Doğru değer 3.5'tir.
Çok değişkenli normal dağılımda, X1X_1 alt vektörünün X2X_2 alt vektörü verildiğindeki koşullu kovaryans matrisi Σ1∣2=Σ11−Σ12Σ22−1Σ21\boldsymbol{\Sigma}_{1|2} = \boldsymbol{\Sigma}_{11} - \boldsymbol{\Sigma}_{12}\boldsymbol{\Sigma}_{22}^{-1}\boldsymbol{\Sigma}_{21} formülü ile hesaplanır. Verilen problemde X1X_1 tek boyutlu, X2X_2 ve X3X_3 ise iki boyutlu bir alt vektör oluşturmaktadır. İlgili matris bölümleri yerine konulup gerekli matris çarpımları ve çıkarma işlemi yapıldığında sonuç 5−1.5=3.55 - 1.5 = 3.5 olarak bulunur.

Adım Adım Çözüm

1
Kovaryans matrisini Σ11\boldsymbol{\Sigma}_{11}, Σ12\boldsymbol{\Sigma}_{12}, Σ21\boldsymbol{\Sigma}_{21} ve Σ22\boldsymbol{\Sigma}_{22} alt matrislerine parçalamak.
Σ11=[5]\boldsymbol{\Sigma}_{11} = [5], Σ12=[2−1]\boldsymbol{\Sigma}_{12} = \begin{bmatrix} 2 & -1 \end{bmatrix}, Σ21=[2−1]\boldsymbol{\Sigma}_{21} = \begin{bmatrix} 2 \\ -1 \end{bmatrix}, Σ22=[4002]\boldsymbol{\Sigma}_{22} = \begin{bmatrix} 4 & 0 \\ 0 & 2 \end{bmatrix} olarak belirlenir.
Koşullu varyans formülünü uygulayabilmek için ilgilenilen değişken (X1X_1) ile bilinen değişkenlerin (X2,X3X_2, X_3) yapısal olarak ayrılması gerekir.
2
Bilinen değişkenlerin oluşturduğu Σ22\boldsymbol{\Sigma}_{22} matrisinin tersini (Σ22−1\boldsymbol{\Sigma}_{22}^{-1}) almak.
Σ22\boldsymbol{\Sigma}_{22} köşegen bir matris olduğu için tersi: Σ22−1=[1/4001/2]\boldsymbol{\Sigma}_{22}^{-1} = \begin{bmatrix} 1/4 & 0 \\ 0 & 1/2 \end{bmatrix} olur.
Koşullu varyans hesabında diğer değişkenlerin bilgisinin getirdiği düzeltme faktörünü bulmak için bu ters matrise ihtiyaç vardır.
3
Σ12Σ22−1Σ21\boldsymbol{\Sigma}_{12}\boldsymbol{\Sigma}_{22}^{-1}\boldsymbol{\Sigma}_{21} matris çarpımını gerçekleştirmek.
[2−1][1/4001/2][2−1]=[1/2−1/2][2−1]=1+0.5=1.5\begin{bmatrix} 2 & -1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1/4 & 0 \\ 0 & 1/2 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 2 \\ -1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1/2 & -1/2 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 2 \\ -1 \end{bmatrix} = 1 + 0.5 = 1.5 bulunur.
Bu değer, bilinen değişkenlerin X1X_1'in varyansında ne kadarlık bir belirsizlik azalmasına yol açtığını (açıklanan kısmı) gösterir.
4
Koşullu varyans formülünü (Σ1∣2=Σ11−Σ12Σ22−1Σ21\boldsymbol{\Sigma}_{1|2} = \boldsymbol{\Sigma}_{11} - \boldsymbol{\Sigma}_{12}\boldsymbol{\Sigma}_{22}^{-1}\boldsymbol{\Sigma}_{21}) tamamlamak.
5−1.5=3.55 - 1.5 = 3.5 elde edilir.
Marjinal varyanstan (55), diğer değişkenlerle olan ilişkiden kaynaklanan düzeltme miktarının (1.51.5) çıkarılmasıyla koşullu varyans bulunur.

Anahtar Kavram

Çok değişkenli normal dağılımda parçalanmış matrisler kullanılarak koşullu varyans-kovaryans matrisinin hesaplanması
Bu soruyu puanla

Konular

Koşullu Dağılımlar

Bu konudan daha fazla soru