Examkin

Soru

Zorluk: OrtaKoşullu Dağılımlar

Bir çevre izleme projesinde, belirli bir bölgedeki hava kalitesini belirleyen üç temel kirletici madde sırasıyla X1X_1, X2X_2 ve X3X_3 değişkenleri ile modellenmektedir. Bu değişkenlerden oluşan X=[X1X2X3]\mathbf{X} = \begin{bmatrix} X_1 \\ X_2 \\ X_3 \end{bmatrix} rastgele vektörünün çok değişkenli normal dağılıma sahip olduğu ve kovaryans matrisinin

Σ=[824210−24−24]\boldsymbol{\Sigma} = \begin{bmatrix} 8 & 2 & 4 \\ 2 & 10 & -2 \\ 4 & -2 & 4 \end{bmatrix}

olduğu bilinmektedir.

Buna göre, X3X_3 kirletici maddesinin miktarı bilindiğinde, geriye kalan [X1X2]\begin{bmatrix} X_1 \\ X_2 \end{bmatrix} vektörünün koşullu kovaryans matrisi aşağıdakilerden hangisidir?

  1. [4449]\begin{bmatrix} 4 & 4 \\ 4 & 9 \end{bmatrix}Cevap
  2. B
    [120011]\begin{bmatrix} 12 & 0 \\ 0 & 11 \end{bmatrix}
  3. C
    [4−2−21]\begin{bmatrix} 4 & -2 \\ -2 & 1 \end{bmatrix}
  4. D
    [82210]\begin{bmatrix} 8 & 2 \\ 2 & 10 \end{bmatrix}
  5. E
    [4009]\begin{bmatrix} 4 & 0 \\ 0 & 9 \end{bmatrix}

Cevap

İlgili vektörün koşullu kovaryans matrisi [4449]\begin{bmatrix} 4 & 4 \\ 4 & 9 \end{bmatrix} şeklindedir.
Çok değişkenli normal dağılımda parçalanmış vektörlerin koşullu kovaryans matrisi Σ1∣2=Σ11−Σ12Σ22−1Σ21\boldsymbol{\Sigma}_{1|2} = \boldsymbol{\Sigma}_{11} - \boldsymbol{\Sigma}_{12}\boldsymbol{\Sigma}_{22}^{-1}\boldsymbol{\Sigma}_{21} formülü ile bulunur. İlgili parçalanış yapıldığında Σ11=[82210]\boldsymbol{\Sigma}_{11} = \begin{bmatrix} 8 & 2 \\ 2 & 10 \end{bmatrix} matrisinden, Σ12Σ22−1Σ21=[4−2−21]\boldsymbol{\Sigma}_{12}\boldsymbol{\Sigma}_{22}^{-1}\boldsymbol{\Sigma}_{21} = \begin{bmatrix} 4 & -2 \\ -2 & 1 \end{bmatrix} düzeltme matrisinin çıkarılmasıyla [4449]\begin{bmatrix} 4 & 4 \\ 4 & 9 \end{bmatrix} sonucuna tam olarak ulaşılır.

Adım Adım Çözüm

1
Kovaryans matrisini Σ11\boldsymbol{\Sigma}_{11}, Σ12\boldsymbol{\Sigma}_{12}, Σ21\boldsymbol{\Sigma}_{21} ve Σ22\boldsymbol{\Sigma}_{22} olarak parçalama
Σ11=[82210]\boldsymbol{\Sigma}_{11} = \begin{bmatrix} 8 & 2 \\ 2 & 10 \end{bmatrix}, Σ12=[4−2]\boldsymbol{\Sigma}_{12} = \begin{bmatrix} 4 \\ -2 \end{bmatrix}, Σ21=[4−2]\boldsymbol{\Sigma}_{21} = \begin{bmatrix} 4 & -2 \end{bmatrix}, Σ22=[4]\boldsymbol{\Sigma}_{22} = [4]
X3X_3 bilindiği için orijinal kovaryans matrisi, X1,X2X_1, X_2 bloğu (1) ve X3X_3 bloğu (2) olarak uygun boyutlarda ayrılmalıdır.
2
Koşullu kovaryans formülündeki Σ12Σ22−1Σ21\boldsymbol{\Sigma}_{12}\boldsymbol{\Sigma}_{22}^{-1}\boldsymbol{\Sigma}_{21} düzeltme terimini hesaplama
[4−2]⋅14⋅[4−2]=[1−0.5][4−2]=[4−2−21]\begin{bmatrix} 4 \\ -2 \end{bmatrix} \cdot \frac{1}{4} \cdot \begin{bmatrix} 4 & -2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 \\ -0.5 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 4 & -2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 4 & -2 \\ -2 & 1 \end{bmatrix}
Koşullu varyans, marjinal varyanstan bu düzeltme matrisinin çıkarılmasıyla bulunur.
3
Düzeltme terimini marjinal matris olan Σ11\boldsymbol{\Sigma}_{11} matrisinden çıkarma
[82210]−[4−2−21]=[4449]\begin{bmatrix} 8 & 2 \\ 2 & 10 \end{bmatrix} - \begin{bmatrix} 4 & -2 \\ -2 & 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 4 & 4 \\ 4 & 9 \end{bmatrix}
Σ1∣2=Σ11−Σ12Σ22−1Σ21\boldsymbol{\Sigma}_{1|2} = \boldsymbol{\Sigma}_{11} - \boldsymbol{\Sigma}_{12}\boldsymbol{\Sigma}_{22}^{-1}\boldsymbol{\Sigma}_{21} bağıntısı nihai matris sonucuna ulaştırır.

Anahtar Kavram

Çok Değişkenli Normal Dağılımda Koşullu Kovaryans Matrisi
Bu soruyu puanla

Konular

Koşullu Dağılımlar

Bu konudan daha fazla soru