Examkin

Soru

Zorluk: OrtaOtoregresif (AR) Modeller

Bir e-ticaret platformunun günlük aktif kullanıcı sayılarına ait zaman serisi verileri incelendiğinde serinin durağan yapıda olduğu görülmüştür. Bu seriye ait otokorelasyon fonksiyonu (ACF) ve kısmi otokorelasyon fonksiyonu (PACF) grafikleri incelendiğinde; ACF katsayılarının sinüzoidal bir biçimde dalgalanarak sönümlendiği, PACF katsayılarının ise yalnızca 1. ve 2. gecikmelerde istatistiksel olarak anlamlı olduğu ve 2. gecikmeden sonra hızla sıfıra düşerek (kesilerek) güven sınırları içinde kaldığı gözlenmiştir.

Bu özelliklere sahip bir zaman serisi için kurulması gereken en uygun model türü ve bu modelin geçerli olabilmesi (durağanlık) için katsayılarının sağlaması gereken teorik koşullardan biri aşağıdakilerin hangisinde birlikte doğru olarak verilmiştir?

  1. A
    İkinci dereceden hareketli ortalama modeli, MA(2) olmalıdır ve tersine çevrilebilirlik için parametreler θ1+θ2<1\theta_1 + \theta_2 < 1 şartını sağlamalıdır.
  2. B
    İkinci dereceden otoregresif model, AR(2) olmalıdır ve durağanlığın sağlanması için yalnızca ∣ϕ1∣<1|\phi_1| < 1 eşitsizliğinin sınanması yeterlidir.
  3. C
    ARMA(1,1) modeli olmalıdır ve modelin uygunluğu için hem durağanlık hem de tersine çevrilebilirlik koşulları bir arada test edilmelidir.
  4. İkinci dereceden otoregresif model, AR(2) olmalıdır ve durağanlık için parametreler ϕ1+ϕ2<1\phi_1 + \phi_2 < 1 şartını sağlamalıdır.Cevap
  5. E
    ARIMA(2,1,0) modeli olmalıdır, zira ACF katsayılarının sönümlenmesi serinin birinci dereceden farkının alınmasını zorunlu kılmaktadır.

Cevap

Modelin PACF grafiğinde ikinci gecikmede aniden kesilmesi ve ACF'nin dalgalanarak sönümlenmesi serinin İkinci Dereceden Otoregresif, AR(2) modeli ile ifade edilebileceğini gösterir. Bir AR(2) sürecinin durağan olabilmesi için karakteristik denklemin köklerinin birim çemberin dışında olması gerekir ki bu da katsayıların ϕ1+ϕ2<1\phi_1 + \phi_2 < 1 şartını sağlamasını gerektirir.
Zaman serisi analizinde model teşhisi (Box-Jenkins yöntemi) yapılırken, PACF grafiğinin pp. gecikmede aniden kesilmesi ve ACF grafiğinin üstel veya sinüzoidal biçimde sönümlenmesi, serinin pp. dereceden otoregresif (AR(p)) bir süreç olduğunu teorik olarak kanıtlar. Verilen senaryoda PACF 2. gecikmede kesildiği için model kesinlikle AR(2)'dir. Bir AR(2) sürecinin durağanlık koşulları, karakteristik denklemin özelliklerinden türetilen üç kısıttan oluşur: ϕ1+ϕ2<1\phi_1 + \phi_2 < 1, ϕ2−ϕ1<1\phi_2 - \phi_1 < 1 ve −1<ϕ2<1-1 < \phi_2 < 1. Doğru yanıt, hem modelin türünü hem de bu üç teorik kısıttan birini eksiksiz ve doğru olarak içermektedir.

Adım Adım Çözüm

1
ACF ve PACF grafiklerinin tanımlayıcı özelliklerini kullanarak uygun model ailesini ve derecesini belirlemek.
PACF grafiği p=2p=2 gecikmesinde kesildiği ve ACF sönümlendiği için uygun model İkinci Dereceden Otoregresif Model, yani AR(2)'dir.
AR(p) modellerinin en belirgin teşhis aracı, PACF grafiğinin tam olarak pp. gecikmeden sonra istatistiksel olarak sıfıra düşmesi (kesilmesi) ve ACF'nin sönümlenmesidir.
2
Belirlenen AR(2) modelinin yapısal olarak geçerli (durağan) olabilmesi için gerekli teorik parametre kısıtlarını hatırlamak.
AR(2) modelinin genel denklemi Yt=ϕ1Yt−1+ϕ2Yt−2+ϵtY_t = \phi_1 Y_{t-1} + \phi_2 Y_{t-2} + \epsilon_t şeklindedir. Durağanlık için ϕ1+ϕ2<1\phi_1 + \phi_2 < 1, ϕ2−ϕ1<1\phi_2 - \phi_1 < 1 ve ∣ϕ2∣<1|\phi_2| < 1 koşullarının tümü aynı anda sağlanmalıdır.
Zaman serisinin varyansının ve ortalamasının zaman içinde sabit kalabilmesi için karakteristik denklemin (1−ϕ1B−ϕ2B2=01 - \phi_1 B - \phi_2 B^2 = 0) kökleri mutlak değerce 1'den büyük olmalıdır; bu matematiksel şart belirtilen üçgen kısıtları oluşturur.
3
Elde edilen model teşhisi ve durağanlık koşullarını seçeneklerle eşleştirmek.
Doğru ifadeyi içeren seçeneğin, modelin AR(2) olduğunu belirten ve ϕ1+ϕ2<1\phi_1 + \phi_2 < 1 koşulunu veren seçenek olduğu tespit edilir.
Diğer seçeneklerde modelin MA, ARMA veya ARIMA olarak yanlış tanımlanması ya da eksik/hatalı durağanlık/tersine çevrilebilirlik kısıtları verilmesi elenmelerine neden olur.

Anahtar Kavram

AR(p) Modellerinde ACF/PACF Grafikleriyle Teşhis ve Parametre Durağanlık Sınırları
Bu soruyu puanla

Konular

Otoregresif (AR) Modeller

Bu konudan daha fazla soru