Examkin

Soru

Zorluk: OrtaOtoregresif (AR) Modeller

Bir kamu kurumunda risk analizi yapan bir uzman, durağan bir YtY_t zaman serisinin otokorelasyon (ACF) ve kısmi otokorelasyon (PACF) yapısını incelemektedir. Yapılan analizde, seriye ait otokorelasyon katsayılarının ρ1=−0.5\rho_1 = -0.5, ρ2=0.25\rho_2 = 0.25, ρ3=−0.125\rho_3 = -0.125 şeklinde işaret değiştirerek sönümlendiği ve kısmi otokorelasyon katsayılarının birinci gecikmeden sonra istatistiksel olarak sıfırdan farksız olduğu görülmüştür.

Buna göre, bu seriyi modellemek için kullanılması gereken en uygun süreç aşağıdakilerden hangisidir? (Burada εt\varepsilon_t, sıfır ortalamalı ve sabit varyanslı beyaz gürültü sürecini temsil etmektedir.)

  1. Yt=−0.5Yt−1+εtY_t = -0.5 Y_{t-1} + \varepsilon_tCevap
  2. B
    Yt=0.5Yt−1+εtY_t = 0.5 Y_{t-1} + \varepsilon_t
  3. C
    Yt=εt−0.5εt−1Y_t = \varepsilon_t - 0.5 \varepsilon_{t-1}
  4. D
    Yt=εt+0.5εt−1Y_t = \varepsilon_t + 0.5 \varepsilon_{t-1}
  5. E
    Yt=−0.5Yt−1+0.25Yt−2+εtY_t = -0.5 Y_{t-1} + 0.25 Y_{t-2} + \varepsilon_t

Cevap

Verilen ACF ve PACF özelliklerini sağlayan model Yt=−0.5Yt−1+εtY_t = -0.5 Y_{t-1} + \varepsilon_t denklemi ile ifade edilen AR(1) sürecidir.
Zaman serisi analizinde Box-Jenkins yaklaşımına göre; Kısmi Otokorelasyon Fonksiyonu (PACF) ilk p gecikmeden sonra istatistiksel olarak sıfır (anlamsız) oluyorsa ve Otokorelasyon Fonksiyonu (ACF) yavaş yavaş veya dalgalanarak sönümleniyorsa, bu seri p. dereceden bir Otoregresif, AR(p), sürecidir. Sorudaki seride PACF 1. gecikmeden sonra kesilmiştir, dolayısıyla model AR(1)'dir. Bir AR(1) modeli Yt=ϕ1Yt−1+εtY_t = \phi_1 Y_{t-1} + \varepsilon_t biçimindedir ve ACF değerleri ρk=ϕ1k\rho_k = \phi_1^k ilişkisiyle bulunur. Verilen ilk otokorelasyon katsayısı ρ1=−0.5\rho_1 = -0.5 olduğuna göre, otoregresif parametre ϕ1=−0.5\phi_1 = -0.5 olur. Değerin negatif olması, ACF'nin (−0.5-0.5, 0.250.25, −0.125-0.125 şeklinde) işaret değiştirerek sönümlenmesi kuralıyla tam uyuşmaktadır.

Adım Adım Çözüm

1
Kısmi otokorelasyon (PACF) ve otokorelasyon (ACF) davranışlarına bakarak modelin türünü ve derecesini (p, q) belirle.
PACF 1. gecikmeden sonra kesildiği ve ACF sönümlendiği için sürecin 1. dereceden Otoregresif, yani AR(1) modeli olduğu anlaşılır.
AR(p) modellerinin karakteristik özelliği, PACF'nin p. gecikmeden sonra sıfır olması ve ACF'nin sonsuza doğru sönümlenmesidir.
2
AR(1) modelinin genel denklemini ve ACF formülünü yaz.
Genel denklem: Yt=ϕ1Yt−1+εtY_t = \phi_1 Y_{t-1} + \varepsilon_t. Otokorelasyon fonksiyonu: ρk=ϕ1k\rho_k = \phi_1^k.
Otokorelasyon değerlerini kullanarak modeldeki bilinmeyen ϕ1\phi_1 parametresini hesaplamak için bu ilişki gereklidir.
3
Verilen ρ1\rho_1 değerini formülde yerine koyarak parametreyi hesapla ve modeli oluştur.
k=1 için ρ1=ϕ11⇒ϕ1=−0.5\rho_1 = \phi_1^1 \Rightarrow \phi_1 = -0.5 elde edilir. Model Yt=−0.5Yt−1+εtY_t = -0.5 Y_{t-1} + \varepsilon_t olur.
Parametre tahmini yapılarak soruda istenen nihai model denklemine ulaşılması hedeflenmiştir.

Anahtar Kavram

Zaman serilerinde AR(p) ve MA(q) modellerinin ACF ile PACF grafikleri üzerinden teşhisi ve AR(1) modelinin analitik yapısı.
Bu soruyu puanla

Konular

Otoregresif (AR) Modeller

Bu konudan daha fazla soru