Examkin

Soru

Zorluk: OrtaOtoregresif (AR) Modeller

Bir araştırmacı, incelediği bir makroekonomik göstergeye ait zaman serisinde kısmi otokorelasyon fonksiyonunun (PACF) ikinci gecikmeden sonra istatistiksel olarak sıfıra eşit olduğunu (kesildiğini) belirlemiştir. Bu serinin ilk iki gecikmesine ait otokorelasyon katsayıları sırasıyla ρ1=0.6\rho_1 = 0.6 ve ρ2=0.2\rho_2 = 0.2 olarak hesaplanmıştır.

Buna göre, incelenen veri üreten süreç ve bu sürece ait modelin özellikleri ile ilgili aşağıdaki ifadelerden hangisi doğrudur?

  1. Süreç bir AR(2) modelidir ve Yule-Walker denklemleriyle parametreleri ϕ1=0.75\phi_1 = 0.75, ϕ2=−0.25\phi_2 = -0.25 olarak hesaplandığından durağanlık koşullarını sağlamaktadır.Cevap
  2. B
    Kısmi otokorelasyon fonksiyonunun ikinci gecikmeden sonra kesilmesi nedeniyle süreç bir MA(2) modelidir ve doğası gereği her zaman durağandır.
  3. C
    Süreç bir AR(2) modelidir, ancak parametre değerleri doğrudan otokorelasyon katsayılarına eşit olduğu için ϕ1=0.60\phi_1 = 0.60 ve ϕ2=0.20\phi_2 = 0.20'dir.
  4. D
    Sürecin birinci gecikmeli otokorelasyon katsayısı yüksek (ρ1=0.6\rho_1 = 0.6) olduğu için seri durağan değildir, analize devam etmek için serinin birinci dereceden farkı alınmalıdır.
  5. E
    Süreç bir ARMA(1,1) modelidir; çünkü durağan serilerde otokorelasyon katsayılarının sıfırdan farklı olması AR ve MA bileşenlerinin birlikte bulunduğunu gösterir.

Cevap

İncelenen süreç, PACF'nin 2. gecikmeden sonra kesilmesinden ötürü bir AR(2) modelidir. Yule-Walker denklemleri sisteminden çözüldüğünde parametreler ϕ1=0.75\phi_1 = 0.75 ve ϕ2=−0.25\phi_2 = -0.25 bulunur. Bu parametreler, AR(2) sürecinin üç temel durağanlık koşulunu da sağlamaktadır.
Kısmi otokorelasyon fonksiyonunun (PACF) ikinci gecikmeden sonra aniden kesilmesi, serinin Otoregresif AR(2) sürecine uygun olduğunu kesin olarak gösterir. AR(2) süreci için parametre tahminleri Yule-Walker denklem sistemi olan ρ1=ϕ1+ϕ2ρ1\rho_1 = \phi_1 + \phi_2 \rho_1 ve ρ2=ϕ1ρ1+ϕ2\rho_2 = \phi_1 \rho_1 + \phi_2 aracılığıyla hesaplanır. Değerler yerine konduğunda ϕ1=0.75\phi_1 = 0.75 ve ϕ2=−0.25\phi_2 = -0.25 elde edilir. Bir AR(2) modelinin durağan olabilmesi için üç koşulun sağlanması gerekir: ϕ1+ϕ2<1\phi_1 + \phi_2 < 1, ϕ2−ϕ1<1\phi_2 - \phi_1 < 1 ve ∣ϕ2∣<1|\phi_2| < 1. Hesaplanan parametreler (0.5<10.5 < 1, −1.0<1-1.0 < 1 ve 0.25<10.25 < 1) bu eşitsizliklerin tamamını sağladığı için süreç durağandır.

Adım Adım Çözüm

1
Kısmi otokorelasyon (PACF) özelliğine göre model tipini belirlemek.
Model AR(2) olarak tespit edilir.
Zaman serilerinde PACF pp. gecikmeden sonra istatistiksel olarak sıfır oluyorsa (kesiliyorsa), süreç pp. dereceden Otoregresif (AR) modeldir.
2
AR(2) modeli için Yule-Walker denklemlerini kurmak.
ρ1=ϕ1+ϕ2ρ1\rho_1 = \phi_1 + \phi_2 \rho_1 ve ρ2=ϕ1ρ1+ϕ2\rho_2 = \phi_1 \rho_1 + \phi_2 denklemleri elde edilir.
Otokorelasyon katsayıları (ρ\rho) ile otoregresif parametreler (ϕ\phi) arasındaki matematiksel ilişki Yule-Walker denklemleri ile ifade edilir.
3
Verilen ρ1=0.6\rho_1 = 0.6 ve ρ2=0.2\rho_2 = 0.2 değerlerini denklem sisteminde yerine koyarak ϕ1\phi_1 ve ϕ2\phi_2 değerlerini çözmek.
0.6=ϕ1+0.6ϕ20.6 = \phi_1 + 0.6\phi_2 ve 0.2=0.6ϕ1+ϕ20.2 = 0.6\phi_1 + \phi_2. İkinci denklemden ϕ2=0.2−0.6ϕ1\phi_2 = 0.2 - 0.6\phi_1 bulunur. Birinci denklemde yerine konduğunda: 0.6=ϕ1+0.6(0.2−0.6ϕ1)⇒0.6=0.12+0.64ϕ1⇒ϕ1=0.48/0.64=0.750.6 = \phi_1 + 0.6(0.2 - 0.6\phi_1) \Rightarrow 0.6 = 0.12 + 0.64\phi_1 \Rightarrow \phi_1 = 0.48/0.64 = 0.75. Ardından ϕ2=0.2−0.6(0.75)=−0.25\phi_2 = 0.2 - 0.6(0.75) = -0.25 bulunur.
İki bilinmeyenli doğrusal denklem sistemi çözülerek parametre tahminlerine ulaşılır.
4
Bulunan AR(2) parametreleri için durağanlık koşullarını test etmek.
ϕ1+ϕ2=0.5<1\phi_1 + \phi_2 = 0.5 < 1, ϕ2−ϕ1=−1.0<1\phi_2 - \phi_1 = -1.0 < 1, ve ∣ϕ2∣=0.25<1|\phi_2| = 0.25 < 1 eşitsizlikleri kontrol edilir. Üçü de sağlandığı için seri durağandır.
AR(2) modellerinin durağan olması için parametrelerin bu üç matematiksel kısıtı eşzamanlı olarak sağlaması zorunludur.

Anahtar Kavram

AR Modellerinde Model Belirleme ve Yule-Walker Denklemleri

Alternatif Yöntem

AR(2) parametreleri için Yule-Walker denklem sisteminden doğrudan türetilmiş şu formüller de pratik olarak kullanılabilir: ϕ1=ρ1(1−ρ2)1−ρ12\phi_1 = \frac{\rho_1(1-\rho_2)}{1-\rho_1^2} ve ϕ2=ρ2−ρ121−ρ12\phi_2 = \frac{\rho_2-\rho_1^2}{1-\rho_1^2}. Verilen değerleri yerine koyduğumuzda: ϕ1=0.6(1−0.2)1−(0.6)2=0.480.64=0.75\phi_1 = \frac{0.6(1-0.2)}{1-(0.6)^2} = \frac{0.48}{0.64} = 0.75 ve ϕ2=0.2−(0.6)21−(0.6)2=0.2−0.360.64=−0.25\phi_2 = \frac{0.2-(0.6)^2}{1-(0.6)^2} = \frac{0.2-0.36}{0.64} = -0.25 sonuçlarına hızlıca ulaşılabilir.
Tahmini Süre:2m 0s
Bu soruyu puanla

Konular

Otoregresif (AR) Modeller

Bu konudan daha fazla soru