Examkin

Soru

Zorluk: Çok zorOtoregresif (AR) Modeller

Sıfır ortalamalı ve durağan bir YtY_t zaman serisi, ikinci dereceden otoregresif, AR(2), modeline uymaktadır. Bu modele ait beyaz gürültü sürecinin varyansı σe2=99\sigma_e^2 = 99 olarak verilmiştir.

Serinin ilk iki gecikmeye ait otokorelasyon katsayıları sırasıyla ρ1=0,8\rho_1 = 0,8 ve ρ2=0,5\rho_2 = 0,5'tir.

Buna göre, YtY_t serisinin varyansı (γ0\gamma_0) kaçtır?

  1. A
    99
  2. B
    275
  3. 324Cevap
  4. D
    495
  5. E
    900

Cevap

324
Verilen ρ1\rho_1 ve ρ2\rho_2 otokorelasyon değerleri kullanılarak Yule-Walker denklemleri yardımıyla otoregresif parametreler ϕ1=10/9\phi_1 = 10/9 ve ϕ2=−7/18\phi_2 = -7/18 olarak hesaplanır. Ardından AR(p) genel varyans bağıntısı olan 1=ϕ1ρ1+ϕ2ρ2+σe2γ01 = \phi_1\rho_1 + \phi_2\rho_2 + \frac{\sigma_e^2}{\gamma_0} eşitliğinde değerler yerine yazıldığında, serinin varyansı γ0=324\gamma_0 = 324 olarak bulunur.

Adım Adım Çözüm

1
AR(2) süreci için Yule-Walker denklemlerini yazmak
ρ1=ϕ1+ϕ2ρ1\rho_1 = \phi_1 + \phi_2 \rho_1
ρ2=ϕ1ρ1+ϕ2\rho_2 = \phi_1 \rho_1 + \phi_2
Serinin parametrelerini (ϕ1,ϕ2\phi_1, \phi_2) bulabilmek için otokorelasyon katsayıları ile parametreler arasındaki ilişkiyi kurmak gerekir.
2
Verilen değerleri denklemlerde yerine koyarak parametreleri çözmek
0,8=ϕ1+0,8ϕ20,8 = \phi_1 + 0,8\phi_2
0,5=0,8ϕ1+ϕ20,5 = 0,8\phi_1 + \phi_2
Bu denklem sistemi çözüldüğünde ϕ1=10/9\phi_1 = 10/9 ve ϕ2=−7/18\phi_2 = -7/18 bulunur.
Varyans formülünde yerine koymak için AR(2) katsayılarına ihtiyaç vardır.
3
AR(2) modeli için varyans formülünü oluşturmak
γ0=ϕ1γ1+ϕ2γ2+σe2\gamma_0 = \phi_1\gamma_1 + \phi_2\gamma_2 + \sigma_e^2 formülünün her iki tarafı γ0\gamma_0'a bölünürse, 1=ϕ1ρ1+ϕ2ρ2+σe2γ01 = \phi_1\rho_1 + \phi_2\rho_2 + \frac{\sigma_e^2}{\gamma_0} elde edilir.
Otokorelasyonlar ve katsayılar cinsinden serinin toplam varyansını (γ0\gamma_0) beyaz gürültü varyansına bağlamak.
4
Değerleri formülde yerine koyarak γ0\gamma_0'ı hesaplamak
1=(109)(0,8)+(−718)(0,5)+99γ0  ⟹  1=89−736+99γ0  ⟹  1=2536+99γ0  ⟹  1136=99γ0  ⟹  γ0=3241 = \left(\frac{10}{9}\right)(0,8) + \left(-\frac{7}{18}\right)(0,5) + \frac{99}{\gamma_0} \implies 1 = \frac{8}{9} - \frac{7}{36} + \frac{99}{\gamma_0} \implies 1 = \frac{25}{36} + \frac{99}{\gamma_0} \implies \frac{11}{36} = \frac{99}{\gamma_0} \implies \gamma_0 = 324
İstenen serinin varyans değerine nihai olarak ulaşmak.

Anahtar Kavram

AR(2) Modellerinde Yule-Walker Denklemleri ve Varyans Hesaplaması
Bu soruyu puanla

Konular

Otoregresif (AR) Modeller

Bu konudan daha fazla soru