Examkin

Soru

Zorluk: OrtaOtoregresif (AR) Modeller
Bir zaman serisi analizinde, serinin otokorelasyon fonksiyonunun (ACF) sinüs dalgaları şeklinde sönümlendiği, kısmi otokorelasyon fonksiyonunun (PACF) ise ikinci gecikmeden sonra istatistiksel olarak sıfıra kesildiği gözlemlenmiştir. Bu davranışa istinaden tahmin edilen modelin denklemi
Yt=1.2Yt−1−0.5Yt−2+εtY_t = 1.2 Y_{t-1} - 0.5 Y_{t-2} + \varepsilon_t
olarak elde edilmiştir. (Burada εt\varepsilon_t, sıfır ortalamalı ve sabit varyanslı beyaz gürültü sürecidir.)

Buna göre, tahmin edilen modelin özellikleri ile ilgili aşağıdakilerden hangisi doğrudur?

  1. Model durağan bir AR(2) sürecini temsil eder ve serinin varyansı zaman içinde sabittir.Cevap
  2. B
    ACF'nin sönümlenmesi ve PACF'nin kesilmesi, serinin durağan bir MA(2) sürecine uygun olduğunu gösterir.
  3. C
    ϕ1\phi_1 parametresi 1'den büyük olduğu için (1.2>11.2 > 1) seri durağan değildir, modelleme öncesi serinin birinci dereceden farkı alınmalıdır.
  4. D
    Serinin birinci gecikmeli otokorelasyon katsayısı (ρ1\rho_1) doğrudan ϕ1\phi_1 parametresine eşit olup değeri 1.2'dir.
  5. E
    Denklemde iki adet gecikmeli terim yer aldığı için bu model bir ARMA(2,2) sürecidir.

Cevap

Model durağan bir AR(2) sürecini temsil eder ve serinin varyansı zaman içinde sabittir.
Verilen soruda kısmi otokorelasyon fonksiyonunun (PACF) ikinci gecikmeden sonra istatistiksel olarak sıfıra kesilmesi, sürecin otoregresif derecesinin 2 olduğunu (AR(2)) net biçimde belirler. Ayrıca, Yt=1.2Yt−1−0.5Yt−2+εtY_t = 1.2 Y_{t-1} - 0.5 Y_{t-2} + \varepsilon_t modelinde parametreler ϕ1=1.2\phi_1 = 1.2 ve ϕ2=−0.5\phi_2 = -0.5'tir. AR(2) süreci için durağanlık koşulları incelendiğinde; 1.2−0.5=0.7<11.2 - 0.5 = 0.7 < 1, −0.5−1.2=−1.7<1-0.5 - 1.2 = -1.7 < 1 ve ∣−0.5∣=0.5<1|-0.5| = 0.5 < 1 üçlü şartının tümü sağlanır. Bu yüzden model durağan bir AR(2) sürecidir ve serinin varyansı zaman içinde sabittir.

Adım Adım Çözüm

1
Serinin ACF ve PACF grafiklerinin davranışını değerlendir.
PACF'nin 2. gecikmeden sonra sıfıra kesilmesi ve ACF'nin sönümlenmesi serinin 2. dereceden Otoregresif, AR(2), bir süreç olduğunu gösterir.
AR(p) süreçlerinde PACF her zaman p. gecikmeden sonra kesilirken, ACF teorik olarak sonsuza kadar sönümlenerek devam eder.
2
Tahmin edilen denklemin AR(2) parametrelerini (ϕ1\phi_1 ve ϕ2\phi_2) belirle.
Denklem Yt=1.2Yt−1−0.5Yt−2+εtY_t = 1.2 Y_{t-1} - 0.5 Y_{t-2} + \varepsilon_t formatında olduğundan ϕ1=1.2\phi_1 = 1.2 ve ϕ2=−0.5\phi_2 = -0.5 olarak bulunur.
Genel AR(2) modeli formülü Yt=ϕ1Yt−1+ϕ2Yt−2+εtY_t = \phi_1 Y_{t-1} + \phi_2 Y_{t-2} + \varepsilon_t'dir.
3
Bulunan parametreleri AR(2) durağanlık koşullarında test et.
Koşul 1: ϕ1+ϕ2=1.2−0.5=0.7<1\phi_1 + \phi_2 = 1.2 - 0.5 = 0.7 < 1 (Sağlandı). Koşul 2: ϕ2−ϕ1=−0.5−1.2=−1.7<1\phi_2 - \phi_1 = -0.5 - 1.2 = -1.7 < 1 (Sağlandı). Koşul 3: ∣ϕ2∣=∣−0.5∣=0.5<1|\phi_2| = |-0.5| = 0.5 < 1 (Sağlandı).
Bir AR(2) sürecinin durağan olabilmesi için karakteristik denklemin köklerinin birim çemberin dışında kalması gerekir. Bu da ancak söz konusu üç eşitsizliğin eş zamanlı sağlanmasıyla mümkündür.
4
Bulguları birleştirerek nihai kararı ver.
Seri hem teorik yapı olarak hem de parametre sınırları bakımından durağan bir AR(2) sürecidir. Bu da zaman içinde ortalama ve varyansın sabit olduğu anlamına gelir.
Durağanlık koşulları sağlandığı için model rassal yürüyüş içermez, şokların etkisi zamanla kaybolur.

Anahtar Kavram

AR(2) Modellerinde Durağanlık Koşulları ve ACF/PACF Davranışları
Bu soruyu puanla

Konular

Otoregresif (AR) Modeller

Bu konudan daha fazla soru