Examkin

Otoregresif (AR) Modeller

27 soru

Soru 1Soru →

Sıfır ortalamalı ve durağan bir YtY_t zaman serisi, ikinci dereceden otoregresif, AR(2), modeline uymaktadır. Bu modele ait beyaz gürültü sürecinin varyansı σe2=99\sigma_e^2 = 99 olarak verilmiştir.

Serinin ilk iki gecikmeye ait otokorelasyon katsayıları sırasıyla ρ1=0,8\rho_1 = 0,8 ve ρ2=0,5\rho_2 = 0,5'tir.

Buna göre, YtY_t serisinin varyansı (γ0\gamma_0) kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 324

Cevap

324
Verilen ρ1\rho_1 ve ρ2\rho_2 otokorelasyon değerleri kullanılarak Yule-Walker denklemleri yardımıyla otoregresif parametreler ϕ1=10/9\phi_1 = 10/9 ve ϕ2=−7/18\phi_2 = -7/18 olarak hesaplanır. Ardından AR(p) genel varyans bağıntısı olan 1=ϕ1ρ1+ϕ2ρ2+σe2γ01 = \phi_1\rho_1 + \phi_2\rho_2 + \frac{\sigma_e^2}{\gamma_0} eşitliğinde değerler yerine yazıldığında, serinin varyansı γ0=324\gamma_0 = 324 olarak bulunur.

Adım Adım Çözüm

1
AR(2) süreci için Yule-Walker denklemlerini yazmak
ρ1=ϕ1+ϕ2ρ1\rho_1 = \phi_1 + \phi_2 \rho_1
ρ2=ϕ1ρ1+ϕ2\rho_2 = \phi_1 \rho_1 + \phi_2
Serinin parametrelerini (ϕ1,ϕ2\phi_1, \phi_2) bulabilmek için otokorelasyon katsayıları ile parametreler arasındaki ilişkiyi kurmak gerekir.
2
Verilen değerleri denklemlerde yerine koyarak parametreleri çözmek
0,8=ϕ1+0,8ϕ20,8 = \phi_1 + 0,8\phi_2
0,5=0,8ϕ1+ϕ20,5 = 0,8\phi_1 + \phi_2
Bu denklem sistemi çözüldüğünde ϕ1=10/9\phi_1 = 10/9 ve ϕ2=−7/18\phi_2 = -7/18 bulunur.
Varyans formülünde yerine koymak için AR(2) katsayılarına ihtiyaç vardır.
3
AR(2) modeli için varyans formülünü oluşturmak
γ0=ϕ1γ1+ϕ2γ2+σe2\gamma_0 = \phi_1\gamma_1 + \phi_2\gamma_2 + \sigma_e^2 formülünün her iki tarafı γ0\gamma_0'a bölünürse, 1=ϕ1ρ1+ϕ2ρ2+σe2γ01 = \phi_1\rho_1 + \phi_2\rho_2 + \frac{\sigma_e^2}{\gamma_0} elde edilir.
Otokorelasyonlar ve katsayılar cinsinden serinin toplam varyansını (γ0\gamma_0) beyaz gürültü varyansına bağlamak.
4
Değerleri formülde yerine koyarak γ0\gamma_0'ı hesaplamak
1=(109)(0,8)+(−718)(0,5)+99γ0  ⟹  1=89−736+99γ0  ⟹  1=2536+99γ0  ⟹  1136=99γ0  ⟹  γ0=3241 = \left(\frac{10}{9}\right)(0,8) + \left(-\frac{7}{18}\right)(0,5) + \frac{99}{\gamma_0} \implies 1 = \frac{8}{9} - \frac{7}{36} + \frac{99}{\gamma_0} \implies 1 = \frac{25}{36} + \frac{99}{\gamma_0} \implies \frac{11}{36} = \frac{99}{\gamma_0} \implies \gamma_0 = 324
İstenen serinin varyans değerine nihai olarak ulaşmak.

Anahtar Kavram

AR(2) Modellerinde Yule-Walker Denklemleri ve Varyans Hesaplaması
Soru 2Soru →
Bir zaman serisi analizinde, serinin otokorelasyon fonksiyonunun (ACF) sinüs dalgaları şeklinde sönümlendiği, kısmi otokorelasyon fonksiyonunun (PACF) ise ikinci gecikmeden sonra istatistiksel olarak sıfıra kesildiği gözlemlenmiştir. Bu davranışa istinaden tahmin edilen modelin denklemi
Yt=1.2Yt−1−0.5Yt−2+εtY_t = 1.2 Y_{t-1} - 0.5 Y_{t-2} + \varepsilon_t
olarak elde edilmiştir. (Burada εt\varepsilon_t, sıfır ortalamalı ve sabit varyanslı beyaz gürültü sürecidir.)

Buna göre, tahmin edilen modelin özellikleri ile ilgili aşağıdakilerden hangisi doğrudur?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: Model durağan bir AR(2) sürecini temsil eder ve serinin varyansı zaman içinde sabittir.

Cevap

Model durağan bir AR(2) sürecini temsil eder ve serinin varyansı zaman içinde sabittir.
Verilen soruda kısmi otokorelasyon fonksiyonunun (PACF) ikinci gecikmeden sonra istatistiksel olarak sıfıra kesilmesi, sürecin otoregresif derecesinin 2 olduğunu (AR(2)) net biçimde belirler. Ayrıca, Yt=1.2Yt−1−0.5Yt−2+εtY_t = 1.2 Y_{t-1} - 0.5 Y_{t-2} + \varepsilon_t modelinde parametreler ϕ1=1.2\phi_1 = 1.2 ve ϕ2=−0.5\phi_2 = -0.5'tir. AR(2) süreci için durağanlık koşulları incelendiğinde; 1.2−0.5=0.7<11.2 - 0.5 = 0.7 < 1, −0.5−1.2=−1.7<1-0.5 - 1.2 = -1.7 < 1 ve ∣−0.5∣=0.5<1|-0.5| = 0.5 < 1 üçlü şartının tümü sağlanır. Bu yüzden model durağan bir AR(2) sürecidir ve serinin varyansı zaman içinde sabittir.

Adım Adım Çözüm

1
Serinin ACF ve PACF grafiklerinin davranışını değerlendir.
PACF'nin 2. gecikmeden sonra sıfıra kesilmesi ve ACF'nin sönümlenmesi serinin 2. dereceden Otoregresif, AR(2), bir süreç olduğunu gösterir.
AR(p) süreçlerinde PACF her zaman p. gecikmeden sonra kesilirken, ACF teorik olarak sonsuza kadar sönümlenerek devam eder.
2
Tahmin edilen denklemin AR(2) parametrelerini (ϕ1\phi_1 ve ϕ2\phi_2) belirle.
Denklem Yt=1.2Yt−1−0.5Yt−2+εtY_t = 1.2 Y_{t-1} - 0.5 Y_{t-2} + \varepsilon_t formatında olduğundan ϕ1=1.2\phi_1 = 1.2 ve ϕ2=−0.5\phi_2 = -0.5 olarak bulunur.
Genel AR(2) modeli formülü Yt=ϕ1Yt−1+ϕ2Yt−2+εtY_t = \phi_1 Y_{t-1} + \phi_2 Y_{t-2} + \varepsilon_t'dir.
3
Bulunan parametreleri AR(2) durağanlık koşullarında test et.
Koşul 1: ϕ1+ϕ2=1.2−0.5=0.7<1\phi_1 + \phi_2 = 1.2 - 0.5 = 0.7 < 1 (Sağlandı). Koşul 2: ϕ2−ϕ1=−0.5−1.2=−1.7<1\phi_2 - \phi_1 = -0.5 - 1.2 = -1.7 < 1 (Sağlandı). Koşul 3: ∣ϕ2∣=∣−0.5∣=0.5<1|\phi_2| = |-0.5| = 0.5 < 1 (Sağlandı).
Bir AR(2) sürecinin durağan olabilmesi için karakteristik denklemin köklerinin birim çemberin dışında kalması gerekir. Bu da ancak söz konusu üç eşitsizliğin eş zamanlı sağlanmasıyla mümkündür.
4
Bulguları birleştirerek nihai kararı ver.
Seri hem teorik yapı olarak hem de parametre sınırları bakımından durağan bir AR(2) sürecidir. Bu da zaman içinde ortalama ve varyansın sabit olduğu anlamına gelir.
Durağanlık koşulları sağlandığı için model rassal yürüyüş içermez, şokların etkisi zamanla kaybolur.

Anahtar Kavram

AR(2) Modellerinde Durağanlık Koşulları ve ACF/PACF Davranışları
Soru 3Soru →

Bir araştırmacı, incelediği bir makroekonomik göstergeye ait zaman serisinde kısmi otokorelasyon fonksiyonunun (PACF) ikinci gecikmeden sonra istatistiksel olarak sıfıra eşit olduğunu (kesildiğini) belirlemiştir. Bu serinin ilk iki gecikmesine ait otokorelasyon katsayıları sırasıyla ρ1=0.6\rho_1 = 0.6 ve ρ2=0.2\rho_2 = 0.2 olarak hesaplanmıştır.

Buna göre, incelenen veri üreten süreç ve bu sürece ait modelin özellikleri ile ilgili aşağıdaki ifadelerden hangisi doğrudur?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: Süreç bir AR(2) modelidir ve Yule-Walker denklemleriyle parametreleri ϕ1=0.75\phi_1 = 0.75, ϕ2=−0.25\phi_2 = -0.25 olarak hesaplandığından durağanlık koşullarını sağlamaktadır.

Cevap

İncelenen süreç, PACF'nin 2. gecikmeden sonra kesilmesinden ötürü bir AR(2) modelidir. Yule-Walker denklemleri sisteminden çözüldüğünde parametreler ϕ1=0.75\phi_1 = 0.75 ve ϕ2=−0.25\phi_2 = -0.25 bulunur. Bu parametreler, AR(2) sürecinin üç temel durağanlık koşulunu da sağlamaktadır.
Kısmi otokorelasyon fonksiyonunun (PACF) ikinci gecikmeden sonra aniden kesilmesi, serinin Otoregresif AR(2) sürecine uygun olduğunu kesin olarak gösterir. AR(2) süreci için parametre tahminleri Yule-Walker denklem sistemi olan ρ1=ϕ1+ϕ2ρ1\rho_1 = \phi_1 + \phi_2 \rho_1 ve ρ2=ϕ1ρ1+ϕ2\rho_2 = \phi_1 \rho_1 + \phi_2 aracılığıyla hesaplanır. Değerler yerine konduğunda ϕ1=0.75\phi_1 = 0.75 ve ϕ2=−0.25\phi_2 = -0.25 elde edilir. Bir AR(2) modelinin durağan olabilmesi için üç koşulun sağlanması gerekir: ϕ1+ϕ2<1\phi_1 + \phi_2 < 1, ϕ2−ϕ1<1\phi_2 - \phi_1 < 1 ve ∣ϕ2∣<1|\phi_2| < 1. Hesaplanan parametreler (0.5<10.5 < 1, −1.0<1-1.0 < 1 ve 0.25<10.25 < 1) bu eşitsizliklerin tamamını sağladığı için süreç durağandır.

Adım Adım Çözüm

1
Kısmi otokorelasyon (PACF) özelliğine göre model tipini belirlemek.
Model AR(2) olarak tespit edilir.
Zaman serilerinde PACF pp. gecikmeden sonra istatistiksel olarak sıfır oluyorsa (kesiliyorsa), süreç pp. dereceden Otoregresif (AR) modeldir.
2
AR(2) modeli için Yule-Walker denklemlerini kurmak.
ρ1=ϕ1+ϕ2ρ1\rho_1 = \phi_1 + \phi_2 \rho_1 ve ρ2=ϕ1ρ1+ϕ2\rho_2 = \phi_1 \rho_1 + \phi_2 denklemleri elde edilir.
Otokorelasyon katsayıları (ρ\rho) ile otoregresif parametreler (ϕ\phi) arasındaki matematiksel ilişki Yule-Walker denklemleri ile ifade edilir.
3
Verilen ρ1=0.6\rho_1 = 0.6 ve ρ2=0.2\rho_2 = 0.2 değerlerini denklem sisteminde yerine koyarak ϕ1\phi_1 ve ϕ2\phi_2 değerlerini çözmek.
0.6=ϕ1+0.6ϕ20.6 = \phi_1 + 0.6\phi_2 ve 0.2=0.6ϕ1+ϕ20.2 = 0.6\phi_1 + \phi_2. İkinci denklemden ϕ2=0.2−0.6ϕ1\phi_2 = 0.2 - 0.6\phi_1 bulunur. Birinci denklemde yerine konduğunda: 0.6=ϕ1+0.6(0.2−0.6ϕ1)⇒0.6=0.12+0.64ϕ1⇒ϕ1=0.48/0.64=0.750.6 = \phi_1 + 0.6(0.2 - 0.6\phi_1) \Rightarrow 0.6 = 0.12 + 0.64\phi_1 \Rightarrow \phi_1 = 0.48/0.64 = 0.75. Ardından ϕ2=0.2−0.6(0.75)=−0.25\phi_2 = 0.2 - 0.6(0.75) = -0.25 bulunur.
İki bilinmeyenli doğrusal denklem sistemi çözülerek parametre tahminlerine ulaşılır.
4
Bulunan AR(2) parametreleri için durağanlık koşullarını test etmek.
ϕ1+ϕ2=0.5<1\phi_1 + \phi_2 = 0.5 < 1, ϕ2−ϕ1=−1.0<1\phi_2 - \phi_1 = -1.0 < 1, ve ∣ϕ2∣=0.25<1|\phi_2| = 0.25 < 1 eşitsizlikleri kontrol edilir. Üçü de sağlandığı için seri durağandır.
AR(2) modellerinin durağan olması için parametrelerin bu üç matematiksel kısıtı eşzamanlı olarak sağlaması zorunludur.

Anahtar Kavram

AR Modellerinde Model Belirleme ve Yule-Walker Denklemleri

Alternatif Yöntem

AR(2) parametreleri için Yule-Walker denklem sisteminden doğrudan türetilmiş şu formüller de pratik olarak kullanılabilir: ϕ1=ρ1(1−ρ2)1−ρ12\phi_1 = \frac{\rho_1(1-\rho_2)}{1-\rho_1^2} ve ϕ2=ρ2−ρ121−ρ12\phi_2 = \frac{\rho_2-\rho_1^2}{1-\rho_1^2}. Verilen değerleri yerine koyduğumuzda: ϕ1=0.6(1−0.2)1−(0.6)2=0.480.64=0.75\phi_1 = \frac{0.6(1-0.2)}{1-(0.6)^2} = \frac{0.48}{0.64} = 0.75 ve ϕ2=0.2−(0.6)21−(0.6)2=0.2−0.360.64=−0.25\phi_2 = \frac{0.2-(0.6)^2}{1-(0.6)^2} = \frac{0.2-0.36}{0.64} = -0.25 sonuçlarına hızlıca ulaşılabilir.
Tahmini Süre:2m 0s
Soru 4Soru →

Bir kamu kurumunda risk analizi yapan bir uzman, durağan bir YtY_t zaman serisinin otokorelasyon (ACF) ve kısmi otokorelasyon (PACF) yapısını incelemektedir. Yapılan analizde, seriye ait otokorelasyon katsayılarının ρ1=−0.5\rho_1 = -0.5, ρ2=0.25\rho_2 = 0.25, ρ3=−0.125\rho_3 = -0.125 şeklinde işaret değiştirerek sönümlendiği ve kısmi otokorelasyon katsayılarının birinci gecikmeden sonra istatistiksel olarak sıfırdan farksız olduğu görülmüştür.

Buna göre, bu seriyi modellemek için kullanılması gereken en uygun süreç aşağıdakilerden hangisidir? (Burada εt\varepsilon_t, sıfır ortalamalı ve sabit varyanslı beyaz gürültü sürecini temsil etmektedir.)

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: Yt=−0.5Yt−1+εtY_t = -0.5 Y_{t-1} + \varepsilon_t

Cevap

Verilen ACF ve PACF özelliklerini sağlayan model Yt=−0.5Yt−1+εtY_t = -0.5 Y_{t-1} + \varepsilon_t denklemi ile ifade edilen AR(1) sürecidir.
Zaman serisi analizinde Box-Jenkins yaklaşımına göre; Kısmi Otokorelasyon Fonksiyonu (PACF) ilk p gecikmeden sonra istatistiksel olarak sıfır (anlamsız) oluyorsa ve Otokorelasyon Fonksiyonu (ACF) yavaş yavaş veya dalgalanarak sönümleniyorsa, bu seri p. dereceden bir Otoregresif, AR(p), sürecidir. Sorudaki seride PACF 1. gecikmeden sonra kesilmiştir, dolayısıyla model AR(1)'dir. Bir AR(1) modeli Yt=ϕ1Yt−1+εtY_t = \phi_1 Y_{t-1} + \varepsilon_t biçimindedir ve ACF değerleri ρk=ϕ1k\rho_k = \phi_1^k ilişkisiyle bulunur. Verilen ilk otokorelasyon katsayısı ρ1=−0.5\rho_1 = -0.5 olduğuna göre, otoregresif parametre ϕ1=−0.5\phi_1 = -0.5 olur. Değerin negatif olması, ACF'nin (−0.5-0.5, 0.250.25, −0.125-0.125 şeklinde) işaret değiştirerek sönümlenmesi kuralıyla tam uyuşmaktadır.

Adım Adım Çözüm

1
Kısmi otokorelasyon (PACF) ve otokorelasyon (ACF) davranışlarına bakarak modelin türünü ve derecesini (p, q) belirle.
PACF 1. gecikmeden sonra kesildiği ve ACF sönümlendiği için sürecin 1. dereceden Otoregresif, yani AR(1) modeli olduğu anlaşılır.
AR(p) modellerinin karakteristik özelliği, PACF'nin p. gecikmeden sonra sıfır olması ve ACF'nin sonsuza doğru sönümlenmesidir.
2
AR(1) modelinin genel denklemini ve ACF formülünü yaz.
Genel denklem: Yt=ϕ1Yt−1+εtY_t = \phi_1 Y_{t-1} + \varepsilon_t. Otokorelasyon fonksiyonu: ρk=ϕ1k\rho_k = \phi_1^k.
Otokorelasyon değerlerini kullanarak modeldeki bilinmeyen ϕ1\phi_1 parametresini hesaplamak için bu ilişki gereklidir.
3
Verilen ρ1\rho_1 değerini formülde yerine koyarak parametreyi hesapla ve modeli oluştur.
k=1 için ρ1=ϕ11⇒ϕ1=−0.5\rho_1 = \phi_1^1 \Rightarrow \phi_1 = -0.5 elde edilir. Model Yt=−0.5Yt−1+εtY_t = -0.5 Y_{t-1} + \varepsilon_t olur.
Parametre tahmini yapılarak soruda istenen nihai model denklemine ulaşılması hedeflenmiştir.

Anahtar Kavram

Zaman serilerinde AR(p) ve MA(q) modellerinin ACF ile PACF grafikleri üzerinden teşhisi ve AR(1) modelinin analitik yapısı.
Soru 5Soru →

Bir merkez bankası analisti, sanayi üretim endeksindeki aylık değişimleri modellemek amacıyla ikinci dereceden otoregresif, AR(2), süreci kullanmaya karar vermiştir. Kurulacak olan modelin denklemi Yt=δ+ϕ1Yt−1+ϕ2Yt−2+εtY_t = \delta + \phi_1 Y_{t-1} + \phi_2 Y_{t-2} + \varepsilon_t olarak tanımlanmıştır. Analist, serinin şoklara karşı kalıcı bir tepki vermemesini, yani modelin durağanlık varsayımını sağlamasını hedeflemektedir.

Buna göre, analistin tahmin ettiği model parametreleri (ϕ1\phi_1 ve ϕ2\phi_2) aşağıdakilerden hangisi olursa model durağanlık koşullarını sağlar?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: ϕ1=0.6,ϕ2=0.2\phi_1 = 0.6, \quad \phi_2 = 0.2

Cevap

Modelin durağan olması için ϕ1=0.6\phi_1 = 0.6 ve ϕ2=0.2\phi_2 = 0.2 parametre değerleri kullanılmalıdır.
AR(2) modeli olan Yt=δ+ϕ1Yt−1+ϕ2Yt−2+εtY_t = \delta + \phi_1 Y_{t-1} + \phi_2 Y_{t-2} + \varepsilon_t sürecinin durağan olabilmesi için karakteristik denklemin köklerinin birim çemberin dışında kalması gerekir. Bu durum matematiksel olarak üç eşitsizliğin aynı anda sağlanmasını zorunlu kılar: ϕ1+ϕ2<1\phi_1 + \phi_2 < 1, ϕ2−ϕ1<1\phi_2 - \phi_1 < 1 ve −1<ϕ2<1-1 < \phi_2 < 1. Doğru yanıttaki ϕ1=0.6\phi_1 = 0.6 ve ϕ2=0.2\phi_2 = 0.2 değerleri, bu eşitsizliklerin üçünü de (0.8<10.8 < 1, −0.4<1-0.4 < 1, 0.2<10.2 < 1) sağlayan tek parametre setidir.

Adım Adım Çözüm

1
İkinci dereceden otoregresif, AR(2), modelinin durağanlık koşullarını belirle.
Durağanlık için üç eşitsizlik sağlanmalıdır: 1) ϕ1+ϕ2<1\phi_1 + \phi_2 < 1, 2) ϕ2−ϕ1<1\phi_2 - \phi_1 < 1, 3) ∣ϕ2∣<1|\phi_2| < 1.
AR(2) sürecinin karakteristik denkleminin köklerinin birim çemberin dışında yer alması için bu üç matematiksel eşitsizliğin tümü geçerli olmalıdır.
2
Verilen seçenekleri birinci koşul (ϕ1+ϕ2<1\phi_1 + \phi_2 < 1) açısından test et.
ϕ1=0.7,ϕ2=0.4\phi_1=0.7, \phi_2=0.4 toplamı 1.1'dir (İhlal). ϕ1=1.5,ϕ2=−0.2\phi_1=1.5, \phi_2=-0.2 toplamı 1.3'tür (İhlal). Bu seçenekler elenir.
Birinci koşulu sağlamayan parametreler birim kök veya patlayıcı süreç yaratır.
3
Kalan seçenekleri ikinci koşul (ϕ2−ϕ1<1\phi_2 - \phi_1 < 1) açısından test et.
ϕ1=−0.8,ϕ2=0.5\phi_1=-0.8, \phi_2=0.5 için 0.5−(−0.8)=1.30.5 - (-0.8) = 1.3 (İhlal). Bu seçenek elenir.
İkinci koşulu sağlamayan modeller, durağanlık sınırlarının dışına çıkar.
4
Kalan seçenekleri üçüncü koşul (∣ϕ2∣<1|\phi_2| < 1) açısından test et.
ϕ1=0.3,ϕ2=−1.2\phi_1=0.3, \phi_2=-1.2 için ∣−1.2∣=1.2|-1.2| = 1.2 (İhlal). Ancak ϕ1=0.6,ϕ2=0.2\phi_1=0.6, \phi_2=0.2 için tüm koşullar sağlanır: 0.8<10.8 < 1, −0.4<1-0.4 < 1 ve 0.2<10.2 < 1.
Üç koşulu aynı anda sağlayan tek parametre kümesi doğru durağanlık bölgesindedir.

Anahtar Kavram

AR(2) Modellerinde Durağanlık Koşulları
Soru 6Soru →

Bir finansal analist, bir varlığın günlük getiri oranlarındaki dalgalanmaları modellemek için durağan bir ikinci dereceden otoregresif, AR(2), süreci kullanmaktadır. Modelin analizi sonucunda, serinin birinci gecikmeli otokorelasyon katsayısı ρ1=0.75\rho_1 = 0.75 ve ikinci gecikmeli otokorelasyon katsayısı ρ2=0.65\rho_2 = 0.65 olarak hesaplanmıştır.

Buna göre, bu AR(2) sürecinin üçüncü gecikmeli otokorelasyon katsayısı (ρ3\rho_3) kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 0.54

Cevap

Doğru cevap 0.54 değeridir.
Durağan bir AR(2) modeli için Yule-Walker denklemleri k=1k=1 için ρ1=ϕ1+ϕ2ρ1\rho_1 = \phi_1 + \phi_2\rho_1 ve k=2k=2 için ρ2=ϕ1ρ1+ϕ2\rho_2 = \phi_1\rho_1 + \phi_2 şeklindedir. Verilen ρ1=0.75\rho_1 = 0.75 ve ρ2=0.65\rho_2 = 0.65 değerleri kullanılarak iki bilinmeyenli denklem sistemi çözüldüğünde modelin otoregresif katsayıları ϕ1=0.60\phi_1 = 0.60 ve ϕ2=0.20\phi_2 = 0.20 olarak bulunur. Üçüncü gecikmeli otokorelasyon olan ρ3\rho_3, ρ3=ϕ1ρ2+ϕ2ρ1\rho_3 = \phi_1\rho_2 + \phi_2\rho_1 formülü ile hesaplanır. Değerler yerine konulduğunda 0.60×0.65+0.20×0.75=0.39+0.15=0.540.60 \times 0.65 + 0.20 \times 0.75 = 0.39 + 0.15 = 0.54 sonucuna ulaşılır. Doğru hesaplama budur.

Adım Adım Çözüm

1
AR(2) süreci için k=1k=1 ve k=2k=2 gecikmelerine ait Yule-Walker denklemlerini yazın.
ρ1=ϕ1+ϕ2ρ1\rho_1 = \phi_1 + \phi_2\rho_1 ve ρ2=ϕ1ρ1+ϕ2\rho_2 = \phi_1\rho_1 + \phi_2
Otokorelasyon katsayıları ile model parametreleri (ϕ1,ϕ2\phi_1, \phi_2) arasındaki ilişkiyi kurmak için gereklidir.
2
Verilen ρ1=0.75\rho_1=0.75 ve ρ2=0.65\rho_2=0.65 değerlerini denklemlerde yerine koyarak ϕ1\phi_1 ve ϕ2\phi_2 parametrelerini çözün.
1. Denklem: 0.75=ϕ1+0.75ϕ2⇒ϕ1=0.75−0.75ϕ20.75 = \phi_1 + 0.75\phi_2 \Rightarrow \phi_1 = 0.75 - 0.75\phi_2
2. Denklem: 0.65=0.75ϕ1+ϕ20.65 = 0.75\phi_1 + \phi_2
İkinci denklemde ϕ1\phi_1'i yerine koyarsak: 0.65=0.75(0.75−0.75ϕ2)+ϕ2⇒0.65=0.5625+0.4375ϕ2⇒ϕ2=0.200.65 = 0.75(0.75 - 0.75\phi_2) + \phi_2 \Rightarrow 0.65 = 0.5625 + 0.4375\phi_2 \Rightarrow \phi_2 = 0.20 ve ϕ1=0.60\phi_1 = 0.60 bulunur.
Üçüncü gecikmeye ulaşabilmek için öncelikle serinin temel yapısal parametrelerinin bilinmesi şarttır.
3
Hesaplanan ϕ1\phi_1 ve ϕ2\phi_2 değerlerini, k=3k=3 için Yule-Walker denklemi olan ρ3=ϕ1ρ2+ϕ2ρ1\rho_3 = \phi_1\rho_2 + \phi_2\rho_1 ifadesinde yerine koyun.
ρ3=0.60(0.65)+0.20(0.75)=0.390+0.150=0.54\rho_3 = 0.60(0.65) + 0.20(0.75) = 0.390 + 0.150 = 0.54
AR(2) sürecinde herhangi bir gecikmedeki otokorelasyon, önceki iki gecikmenin ağırlıklı toplamı şeklinde kendini tekrarlar.

Anahtar Kavram

Yule-Walker Denklemleri
Soru 7Soru →

Bir kamu kurumu uzmanı, bölgesel su tüketim endeksini analiz etmek amacıyla aşağıdaki zaman serisi modelini tahmin etmiştir:

Yt=0.6Yt−1+0.2Yt−2+εtY_t = 0.6 Y_{t-1} + 0.2 Y_{t-2} + \varepsilon_t

Burada εt\varepsilon_t, sıfır ortalamalı ve sabit varyanslı bağımsız hata terimlerini (beyaz gürültü) temsil etmektedir.

Buna göre, tahmin edilen bu modelin durağanlık durumu ve teorik otokorelasyon (ACF) ile kısmi otokorelasyon (PACF) fonksiyonlarının davranışları hakkında aşağıdakilerden hangisi doğrudur?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: Model durağandır; otokorelasyon fonksiyonu (ACF) sönümlenirken, kısmi otokorelasyon fonksiyonu (PACF) 2. gecikmeden sonra istatistiksel olarak sıfır olur.

Cevap

Modelin durağanlık koşullarını sağladığı tespit edilir; teorik olarak AR(2) sürecinde ACF eksponansiyel olarak sönümlenirken PACF 2. gecikmeden sonra kesilerek sıfır olur.
Verilen model bir AR(2) modelidir. Durağanlık koşulları olan ϕ1+ϕ2<1\phi_1 + \phi_2 < 1, ϕ2−ϕ1<1\phi_2 - \phi_1 < 1 ve ∣ϕ2∣<1|\phi_2| < 1 eşitsizliklerinin üçü de (0.8 < 1, -0.4 < 1, 0.2 < 1) sağlandığı için model durağandır. Teorik zaman serisi analizinde, durağan otoregresif AR(p) modellerinin Otokorelasyon Fonksiyonu (ACF) asimptotik olarak sönümlenirken, Kısmi Otokorelasyon Fonksiyonu (PACF) modelin gecikme derecesi olan 'p' den sonra istatistiksel olarak anlamsızlaşır (sıfır olur). Model AR(2) olduğundan PACF 2. gecikmede kesilir.

Adım Adım Çözüm

1
Tahmin edilen modelin derecesini ve türünü belirle.
Model, sadece Y'nin geçmiş değerlerine bağlı olduğu için ikinci dereceden otoregresif bir modeldir: AR(2). Katsayılar: ϕ1=0.6\phi_1 = 0.6 ve ϕ2=0.2\phi_2 = 0.2.
Zaman serisi özelliklerini analiz etmek için öncelikle sürecin doğasını doğru tanımlamak gerekir.
2
AR(2) süreci için durağanlık koşullarını test et.
Koşullar: ϕ1+ϕ2<1\phi_1 + \phi_2 < 1, ϕ2−ϕ1<1\phi_2 - \phi_1 < 1 ve ∣ϕ2∣<1|\phi_2| < 1. Değerler yerine konduğunda: 0.6+0.2=0.8<10.6 + 0.2 = 0.8 < 1, 0.2−0.6=−0.4<10.2 - 0.6 = -0.4 < 1 ve 0.2<10.2 < 1. Tüm koşullar sağlandığı için süreç durağandır.
Durağanlık, bir zaman serisinin analizi ve öngörüsü için temel varsayımdır; ACF ve PACF yorumları durağan seriler üzerinden yapılır.
3
AR(p) süreçleri için teorik otokorelasyon (ACF) ve kısmi otokorelasyon (PACF) davranışlarını belirle.
AR(p) süreçlerinde otokorelasyon fonksiyonu (ACF) sıfıra doğru eksponansiyel veya dalgalı bir şekilde sönümlenir (tails off). Kısmi otokorelasyon fonksiyonu (PACF) ise 'p' inci gecikmeden sonra istatistiksel olarak sıfıra eşit olur (cuts off). Model AR(2) olduğundan PACF, 2. gecikmeden sonra sıfır olur.
Model belirleme (Box-Jenkins) aşamasında, ACF ve PACF grafiklerinin teorik kesilme ve sönümlenme noktaları yol göstericidir.

Anahtar Kavram

AR(p) Modellerinde Durağanlık Koşulları ve ACF/PACF Davranışları
Soru 8Soru →

Bir enerji piyasası uzmanı, günlük elektrik tüketimindeki sapmaları birinci dereceden otoregresif, AR(1), modeli ile aşağıdaki gibi modellemiştir:

Yt=0.5Yt−1+εtY_t = 0.5 Y_{t-1} + \varepsilon_t

Bu modelde yer alan beyaz gürültü hata terimlerinin varyansı Var(εt)=75Var(\varepsilon_t) = 75 olarak tahmin edilmiştir. Sürecin durağan olduğu bilindiğine göre, elektrik tüketim serisinin teorik varyansı (γ0\gamma_0) ve ikinci gecikmeli otokovaryansı (γ2\gamma_2) sırasıyla aşağıdakilerden hangisidir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 100 ve 25

Cevap

Serinin teorik varyansı 100, ikinci gecikmeli otokovaryansı ise 25 olmalıdır.
Verilen model Yt=0.5Yt−1+εtY_t = 0.5 Y_{t-1} + \varepsilon_t şeklinde standart bir AR(1) sürecidir. Modelin otoregresif parametresi ϕ1=0.5\phi_1 = 0.5 ve beyaz gürültü varyansı σ2=75\sigma^2 = 75'tir. Durağan AR(1) süreci için teorik varyans γ0=σ21−ϕ12\gamma_0 = \frac{\sigma^2}{1 - \phi_1^2} formülü ile hesaplanır. Değerler yerine konulduğunda γ0=751−0.25=750.75=100\gamma_0 = \frac{75}{1 - 0.25} = \frac{75}{0.75} = 100 elde edilir. AR(1) modellerinde k. gecikmeli otokovaryans γk=ϕ1kγ0\gamma_k = \phi_1^k \gamma_0 bağlantısı ile bulunur. Bizden ikinci gecikmeli otokovaryans (k=2) istendiği için γ2=(0.5)2×100=0.25×100=25\gamma_2 = (0.5)^2 \times 100 = 0.25 \times 100 = 25 sonucu doğru yanıttır.

Adım Adım Çözüm

1
AR(1) modeli için teorik varyans formülünün uygulanması
γ0=σ21−ϕ12=751−0.52=750.75=100\gamma_0 = \frac{\sigma^2}{1 - \phi_1^2} = \frac{75}{1 - 0.5^2} = \frac{75}{0.75} = 100
Durağan bir AR(1) sürecinde serinin kendi varyansı (0. gecikmedeki otokovaryans), beyaz gürültü varyansının model parametresine bağlı olan düzeltme faktörüne bölünmesiyle elde edilir.
2
İkinci gecikmeli (k=2) otokovaryans değerinin hesaplanması
γ2=ϕ12×γ0=(0.5)2×100=0.25×100=25\gamma_2 = \phi_1^2 \times \gamma_0 = (0.5)^2 \times 100 = 0.25 \times 100 = 25
AR(1) sürecinde otokovaryans fonksiyonu üssel olarak azalır ve genel formülü γk=ϕ1kγ0\gamma_k = \phi_1^k \gamma_0 şeklindedir.

Anahtar Kavram

AR(1) Sürecinde Teorik Varyans ve Otokovaryans Fonksiyonu
Tahmini Süre:1m 30s
Soru 9Soru →

Bir makroekonomist, bir ülkenin çeyreklik büyüme oranlarındaki dalgalanmaları sıfır ortalamalı ikinci dereceden otoregresif, AR(2), modeli ile aşağıdaki gibi temsil etmektedir:

Yt=ϕ1Yt−1+ϕ2Yt−2+ϵtY_t = \phi_1 Y_{t-1} + \phi_2 Y_{t-2} + \epsilon_t

Araştırmacı, modelin durağanlık varsayımını sağladığını ve seriye ait otokorelasyon fonksiyonunun (ACF) işaret değiştirerek sönümlenen sinüsoidal (sözde periyodik) bir dalgalanma sergilediğini tespit etmiştir.

Buna göre, modelin parametreleri olan ϕ1\phi_1 ve ϕ2\phi_2 aşağıdaki koşul setlerinden hangisini eş anlı olarak sağlamalıdır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: ϕ1+ϕ2<1,ϕ2−ϕ1<1,−1<ϕ2<1,ϕ12+4ϕ2<0\phi_1 + \phi_2 < 1, \quad \phi_2 - \phi_1 < 1, \quad -1 < \phi_2 < 1, \quad \phi_1^2 + 4\phi_2 < 0

Cevap

Durağanlık ve karmaşık kök koşullarını sağlayan eşitsizliklerin tümünü barındıran ϕ1+ϕ2<1,ϕ2−ϕ1<1,−1<ϕ2<1,ϕ12+4ϕ2<0\phi_1 + \phi_2 < 1, \quad \phi_2 - \phi_1 < 1, \quad -1 < \phi_2 < 1, \quad \phi_1^2 + 4\phi_2 < 0 ifadesidir.
Verilen AR(2) sürecinin durağan olabilmesi için parametrelerin durağanlık üçgenini oluşturan ϕ1+ϕ2<1\phi_1 + \phi_2 < 1, ϕ2−ϕ1<1\phi_2 - \phi_1 < 1 ve −1<ϕ2<1-1 < \phi_2 < 1 eşitsizliklerini sağlaması şarttır. Ek olarak, ACF grafiğinin sinüsoidal (sözde periyodik) bir şekilde dalgalanarak sönümlenmesi, modelin karakteristik denklemi olan 1−ϕ1z−ϕ2z2=01 - \phi_1 z - \phi_2 z^2 = 0'ın köklerinin karmaşık (complex) sayı olmasını gerektirir. Bu durum, denklemin diskriminantı olan ϕ12+4ϕ2\phi_1^2 + 4\phi_2 değerinin sıfırdan küçük olmasıyla (ϕ12+4ϕ2<0\phi_1^2 + 4\phi_2 < 0) mümkündür. Doğru seçenek tüm bu koşulları eksiksiz sağlamaktadır.

Adım Adım Çözüm

1
AR(2) modeli için temel durağanlık koşulları belirlenir.
Durağanlık için parametreler ϕ1+ϕ2<1\phi_1 + \phi_2 < 1, ϕ2−ϕ1<1\phi_2 - \phi_1 < 1 ve −1<ϕ2<1-1 < \phi_2 < 1 eşitsizliklerini sağlamalıdır.
Karakteristik denklemin köklerinin birim çemberin dışında yer alması için bu üç eşitsizlik zorunludur.
2
ACF'nin sönümlenen sinüsoidal bir yapı gösterme koşulu analiz edilir.
Sinüsoidal sönümlenme için 1−ϕ1z−ϕ2z2=01 - \phi_1 z - \phi_2 z^2 = 0 karakteristik denkleminin kökleri karmaşık (kompleks) sayı olmalıdır.
Gerçel kökler üstel sönümlenmeye, karmaşık kökler ise dalgalı/sinüsoidal sönümlenmeye yol açar.
3
Karmaşık kök koşulu için diskriminant hesaplanır.
Denklemin diskriminantı Δ=ϕ12−4(−ϕ2)=ϕ12+4ϕ2\Delta = \phi_1^2 - 4(-\phi_2) = \phi_1^2 + 4\phi_2 şeklindedir ve karmaşık kök için ϕ12+4ϕ2<0\phi_1^2 + 4\phi_2 < 0 olmalıdır.
İkinci dereceden bir denklemin köklerinin karmaşık olması diskriminantın negatif olmasına bağlıdır.

Anahtar Kavram

AR(2) Modellerinde Durağanlık Koşulları ve Karakteristik Denklem Kökleri
Tahmini Süre:1m 30s
Soru 10Soru →

Bir kargo şirketinde lojistik planlama uzmanı olarak çalışan bir istatistikçi, belirli bir dağıtım merkezindeki günlük kargo hacmi dalgalanmalarını analiz etmektedir. Gerekli ön işlemler yapılarak durağan hale getirilen zaman serisinin Otokorelasyon Fonksiyonu (ACF) incelendiğinde dalgalı bir şekilde sönümlendiği, Kısmi Otokorelasyon Fonksiyonu (PACF) incelendiğinde ise ilk iki gecikmede istatistiksel olarak anlamlı değerler alıp üçüncü gecikmeden itibaren güven sınırları içine girerek aniden sıfıra yaklaştığı (kesildiği) görülmüştür.

Buna göre, elde edilen bulgular doğrultusunda bu zaman serisini temsil eden en uygun model türü ve bu modelin durağanlık koşulu aşağıdakilerden hangisidir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: Model AR(2)'dir ve durağanlık için parametrelerin ϕ1+ϕ2<1\phi_1 + \phi_2 < 1, ϕ2−ϕ1<1\phi_2 - \phi_1 < 1 ve ∣ϕ2∣<1|\phi_2| < 1 koşullarını eş zamanlı sağlaması gerekir.

Cevap

En uygun model İkinci Dereceden Otoregresif (AR(2)) modelidir. Bu modelin durağan olması için ϕ1+ϕ2<1\phi_1 + \phi_2 < 1, ϕ2−ϕ1<1\phi_2 - \phi_1 < 1 ve ∣ϕ2∣<1|\phi_2| < 1 koşullarının tümü sağlanmalıdır.
Zaman serisi modellemesinde Box-Jenkins metodolojisine göre; eğer ACF (Otokorelasyon) grafiği üstel veya sinüzoidal şekilde sönümleniyor, PACF (Kısmi Otokorelasyon) grafiği ise 'p' gecikmesinden sonra aniden sıfıra yaklaşıyorsa (güven aralığı içine giriyorsa), süreç AR(p) olarak modellenir. Sorudaki senaryoda PACF 2. gecikmeden sonra kesildiği için en uygun model AR(2)'dir. Bir AR(2) modelinin (formülü: Yt=ϕ1Yt−1+ϕ2Yt−2+etY_t = \phi_1 Y_{t-1} + \phi_2 Y_{t-2} + e_t) teorik olarak durağan kabul edilebilmesi için parametre katsayılarının üç koşulu aynı anda sağlaması zorunludur: ϕ1+ϕ2<1\phi_1 + \phi_2 < 1, ϕ2−ϕ1<1\phi_2 - \phi_1 < 1 ve parametre varyansının pozitifliğini garantileyen ∣ϕ2∣<1|\phi_2| < 1.

Adım Adım Çözüm

1
ACF ve PACF grafiklerinin davranışlarına göre genel model türünü (AR, MA, ARMA) belirleme.
ACF sönümlenirken (tails off), PACF kesiliyorsa (cuts off) bu bir Otoregresif (AR) modeldir.
Teorik olarak otoregresif süreçler önceki kendi değerlerine bağlıdır, bu yüzden ACF sonsuz bir sönümlenme gösterirken, PACF sadece gerçek gecikme derecesine kadar anlamlı kalır.
2
PACF grafiğinin kesilme noktasına bakarak modelin derecesini (p) tespit etme.
PACF ilk iki gecikmede anlamlı olup üçüncüde kesildiği için modelin derecesi p=2'dir. Model AR(2)'dir.
AR(p) modellerinde PACF tam olarak p'nci gecikmeden sonra sıfıra düşer.
3
Belirlenen AR(2) modeli için durağanlık koşullarını tanımlama.
Durağanlık için karakteristik denklemin kökleri birim çemberin dışında olmalıdır, bu da parametrelerin ϕ1+ϕ2<1\phi_1 + \phi_2 < 1, ϕ2−ϕ1<1\phi_2 - \phi_1 < 1 ve ∣ϕ2∣<1|\phi_2| < 1 koşullarını sağlamasını gerektirir.
İkinci dereceden fark denkleminin istikrarlı çözüm sınırları bu üçgensel bölge ile ifade edilir.

Anahtar Kavram

Zaman serilerinde AR, MA ve ARMA modellerinin ACF/PACF grafikleri ile teşhisi ve AR(2) durağanlık sınırları.
Soru 11Soru →

Zaman serileri analizinde, sıfır ortalamalı bir süreç aşağıdaki ikinci dereceden otoregresif, AR(2), modeli ile tanımlanmıştır:

Yt=cYt−1+(c2−14)Yt−2+εtY_t = c Y_{t-1} + \left(c^2 - \frac{1}{4}\right) Y_{t-2} + \varepsilon_t

Burada cc bir gerçel sayı sabitini ve εt\varepsilon_t, sıfır ortalama ve σ2\sigma^2 varyanslı beyaz gürültü (white noise) sürecini temsil etmektedir.

Bu modelin durağan olması ve aynı zamanda otokorelasyon fonksiyonunun (ACF) sönümlenen sinüs dalgaları (sözde-periyodik) biçiminde bir yapı sergilemesi için cc parametresinin alabileceği değer aralığı aşağıdakilerden hangisidir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: −15<c<15-\frac{1}{\sqrt{5}} < c < \frac{1}{\sqrt{5}}

Cevap

Modelin istenen özellikleri sağlaması için c parametresinin −15<c<15-\frac{1}{\sqrt{5}} < c < \frac{1}{\sqrt{5}} aralığında olması gerekir.
İkinci dereceden otoregresif bir modelin, otokorelasyon fonksiyonunun sönümlenen sinüs dalgaları (sözde-periyodik yapı) üretebilmesi için karakteristik denkleminin karmaşık eşlenik köklere sahip olması gereklidir. Bu matematiksel koşul ϕ12+4ϕ2<0\phi_1^2 + 4\phi_2 < 0 şeklindedir. Verilen modelde ϕ1=c\phi_1 = c ve ϕ2=c2−0.25\phi_2 = c^2 - 0.25 yerine konduğunda, 5c2−1<05c^2 - 1 < 0 elde edilir. Bu eşitsizliğin çözümü c2<1/5c^2 < 1/5, yani −1/5<c<1/5-1/\sqrt{5} < c < 1/\sqrt{5} aralığıdır. Bu aralık, AR(2) durağanlık üçgeninin tamamıyla içindedir ve her iki şartı birden eşzamanlı sağlar.

Adım Adım Çözüm

1
AR(2) modelinin parametrelerini tanımla.
Modelden ϕ1=c\phi_1 = c ve ϕ2=c2−14\phi_2 = c^2 - \frac{1}{4} olarak belirlenir.
Zaman serisi özelliklerini analiz etmek için standart Yt=ϕ1Yt−1+ϕ2Yt−2+εtY_t = \phi_1 Y_{t-1} + \phi_2 Y_{t-2} + \varepsilon_t formuna dönüştürmek gerekir.
2
ACF'nin sönümlenen sinüs dalgası olma koşulunu uygula.
AR(2) sürecinde ACF'nin dalgalı (sözde-periyodik) olması için karakteristik denklemin kökleri karmaşık sayı olmalıdır. Bu koşul: ϕ12+4ϕ2<0\phi_1^2 + 4\phi_2 < 0 eşitsizliğidir.
Gerçel kökler üstel sönümlenmeye neden olurken, karmaşık eşlenik kökler trigonometrik bir dalgalanma (sinüs dalgası) yaratır.
3
Eşitsizliği c parametresine göre çöz.
c2+4(c2−14)<0  ⟹  c2+4c2−1<0  ⟹  5c2<1  ⟹  c2<15c^2 + 4(c^2 - \frac{1}{4}) < 0 \implies c^2 + 4c^2 - 1 < 0 \implies 5c^2 < 1 \implies c^2 < \frac{1}{5}. Buradan −15<c<15-\frac{1}{\sqrt{5}} < c < \frac{1}{\sqrt{5}} aralığı bulunur.
Parametreleri formülde yerine koyarak c'nin alabileceği sınırları cebirsel olarak hesaplıyoruz.
4
Bulunan aralığın durağanlık koşullarını sağlayıp sağlamadığını kontrol et.
Durağanlık için ∣ϕ2∣<1|\phi_2| < 1, ϕ1+ϕ2<1\phi_1 + \phi_2 < 1 ve ϕ2−ϕ1<1\phi_2 - \phi_1 < 1 olmalıdır. c2<15c^2 < \frac{1}{5} olduğunda ϕ2∈[−0.25,−0.05)\phi_2 \in [-0.25, -0.05) olur, ∣ϕ2∣<1|\phi_2|<1 sağlanır. Benzer şekilde diğer kısıtlar da bu dar aralıkta her zaman sağlanır.
Sürecin ACF'sinin tanımlı olabilmesi için modelin baştan durağan olması şarttır.

Anahtar Kavram

AR(2) Modellerinde Durağanlık ve Karakteristik Köklerin Doğası
Tahmini Süre:3m 0s
Soru 12Soru →

Bir çevre bilimci, bir metropoldeki aylık hava kirliliği endeksi sapmalarını analiz etmektedir. Yapılan incelemede serinin otokorelasyon fonksiyonunun (ACF) üstel olarak sönümlendiği, kısmi otokorelasyon fonksiyonunun (PACF) ise 2. gecikmeden sonra istatistiksel olarak sıfırdan farksız olduğu (kesildiği) gözlemlenmiştir.

Araştırmacı, bu grafikleri dikkate alarak aşağıdaki zaman serisi modelini tahmin etmiştir:

Yt=0.5Yt−1+0.6Yt−2+εtY_t = 0.5 Y_{t-1} + 0.6 Y_{t-2} + \varepsilon_t

Burada εt\varepsilon_t, sıfır ortalamalı ve sabit varyanslı beyaz gürültü sürecidir.

Buna göre, tanımlanan bu modelin türü ve durağanlık durumu ile ilgili aşağıdaki ifadelerden hangisi doğrudur?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: Model bir ikinci dereceden otoregresif, AR(2), sürecidir; ancak ϕ1+ϕ2<1\phi_1 + \phi_2 < 1 koşulunu ihlal ettiği için durağan değildir.

Cevap

Model bir ikinci dereceden otoregresif, AR(2), sürecidir; ancak ϕ1+ϕ2<1\phi_1 + \phi_2 < 1 koşulunu ihlal ettiği için durağan değildir.
Zaman serilerinde, Kısmi Otokorelasyon Fonksiyonunun (PACF) belirli bir gecikmeden sonra istatistiksel olarak sıfır olması ve Otokorelasyon Fonksiyonunun (ACF) sönümlenerek azalması süreci Otoregresif (AR) model olarak tanımlar. Soruda PACF 2. gecikmeden sonra kesildiğinden model AR(2)'dir. Bir AR(2) modelinin, Yt=ϕ1Yt−1+ϕ2Yt−2+εtY_t = \phi_1 Y_{t-1} + \phi_2 Y_{t-2} + \varepsilon_t, durağanlık koşulları şunlardır: 1) ϕ1+ϕ2<1\phi_1 + \phi_2 < 1, 2) ϕ2−ϕ1<1\phi_2 - \phi_1 < 1, 3) ∣ϕ2∣<1|\phi_2| < 1. Denklemdeki katsayılar ϕ1=0.5\phi_1 = 0.5 ve ϕ2=0.6\phi_2 = 0.6'dır. İlk koşul incelendiğinde 0.5+0.6=1.10.5 + 0.6 = 1.1 bulunur. Bu değer 1'den küçük olmadığı için model durağanlık varsayımını ihlal etmektedir.

Adım Adım Çözüm

1
Otokorelasyon Fonksiyonu (ACF) ve Kısmi Otokorelasyon Fonksiyonunun (PACF) davranışlarını analiz et.
PACF 2. gecikmede kesildiğinden ve ACF sönümlendiğinden süreç bir AR(2) modelidir.
Zaman serileri teorisine göre otoregresif modellerin (AR) derecesi (p), PACF grafiğinin istatistiksel olarak anlamlı kaldığı son gecikme noktası ile belirlenir.
2
AR(2) modeli için verilmiş olan ϕ1=0.5\phi_1 = 0.5 ve ϕ2=0.6\phi_2 = 0.6 katsayılarını kullanarak durağanlık koşullarını test et.
Durağanlık koşulu olan ϕ1+ϕ2<1\phi_1 + \phi_2 < 1 incelendiğinde, 0.5+0.6=1.10.5 + 0.6 = 1.1 bulunur. Bu değer 1'den küçüktür koşulunu sağlamaz.
Bir AR(2) sürecinin durağan olabilmesi için karakteristik denklemin köklerinin birim çemberin dışında olması gerekir. Bu da ancak şu üç koşulun aynı anda sağlanmasıyla mümkündür: ϕ1+ϕ2<1\phi_1 + \phi_2 < 1, ϕ2−ϕ1<1\phi_2 - \phi_1 < 1 ve ∣ϕ2∣<1|\phi_2| < 1.

Anahtar Kavram

AR(p) modellerinin belirlenmesi ve durağanlık koşulları
Tahmini Süre:1m 30s
Soru 13Soru →

Bir halk sağlığı uzmanı, haftalık grip vakalarındaki oransal değişimleri sıfır ortalamalı durağan bir zaman serisi süreci ile modellemektedir. Araştırmacı, serinin birinci gecikmeli otokorelasyon katsayısını ρ1=0,5\rho_1 = 0,5 olarak hesaplamış ve süreci aşağıdaki ikinci dereceden otoregresif, AR(2), modeli ile tanımlamıştır:

Yt=0,4Yt−1+θYt−2+ϵtY_t = 0,4 Y_{t-1} + \theta Y_{t-2} + \epsilon_t

Buna göre, θ\theta parametresinin değeri ve bu seriye ait kısmi otokorelasyon fonksiyonunun (PACF) teorik davranışı aşağıdakilerin hangisinde doğru olarak birlikte verilmiştir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 0,20,2 ; 2. gecikmeden sonra istatistiksel olarak sıfıra eşitlenir (kesilir)

Cevap

θ\theta parametresinin değeri 0,20,2'dir ve model AR(2) olduğu için Kısmi Otokorelasyon Fonksiyonu (PACF) 2. gecikmeden sonra aniden sıfıra düşerek kesilir.
Verilen zaman serisi modeli bir AR(2) sürecidir ve Yule-Walker denklemlerine göre ρ1=ϕ11−ϕ2\rho_1 = \frac{\phi_1}{1 - \phi_2} ilişkisi geçerlidir. Değerler yerine konduğunda 0,5=0,41−θ0,5 = \frac{0,4}{1 - \theta} eşitliğinden 1−θ=0,81 - \theta = 0,8 ve dolayısıyla θ=0,2\theta = 0,2 bulunur. Ayrıca, teorik olarak bir AR(p) sürecinin Kısmi Otokorelasyon Fonksiyonu (PACF) tam olarak p. gecikmeden sonra istatistiksel olarak sıfıra düşer (kesilir). Model AR(2) olduğu için PACF 2. gecikmeden sonra kesilmelidir.

Adım Adım Çözüm

1
AR(2) modeli için k=1 gecikmesindeki Yule-Walker denklemini yazın.
ρ1=ϕ11−ϕ2\rho_1 = \frac{\phi_1}{1 - \phi_2}
Otokorelasyon katsayıları ile otoregresif parametreler arasındaki ilişkiyi kurmak için standart Yule-Walker denklemleri kullanılır.
2
Verilen değerleri (ρ1=0,5\rho_1 = 0,5, ϕ1=0,4\phi_1 = 0,4, ϕ2=θ\phi_2 = \theta) denklemde yerine koyun ve θ\theta'yı çözün.
0,5=0,41−θ  ⟹  1−θ=0,40,5  ⟹  1−θ=0,8  ⟹  θ=0,20,5 = \frac{0,4}{1 - \theta} \implies 1 - \theta = \frac{0,4}{0,5} \implies 1 - \theta = 0,8 \implies \theta = 0,2
İkinci gecikme parametresi olan θ\theta'nın değerini bulmak için basit cebirsel çözüm yapılır.
3
Otoregresif (AR) modeller için Kısmi Otokorelasyon Fonksiyonunun (PACF) teorik davranışını belirleyin.
AR(p) modellerinde PACF, p. gecikmeden sonra sıfıra kesilir.
PACF, aradaki gecikmelerin etkisi arındırıldıktan sonraki saf ilişkiyi ölçer. AR(2) modelinde 3. ve sonraki gecikmelerin doğrudan etkisi yoktur.
4
Elde edilen verileri birleştirerek doğru seçeneği tanımlayın.
θ=0,2\theta = 0,2 ve PACF 2. gecikmeden sonra kesilir.
Hesaplanan katsayı ve teorik özellik eşleştirilir.

Anahtar Kavram

AR(p) modellerinde Yule-Walker denklemleri ve ACF/PACF grafikleri
Tahmini Süre:2m 0s
Soru 14Soru →

Bir ekonomi uzmanı, bir ülkenin aylık ihracat verilerindeki sapmaları analiz etmektedir. Serinin durağan olduğu belirlendikten sonra hazırlanan grafiklerde; otokorelasyon fonksiyonunun (ACFACF) üstel olarak azalarak sönümlendiği, kısmi otokorelasyon fonksiyonunun (PACFPACF) ise birinci gecikmeden sonra istatistiksel olarak sıfıra düşerek kesildiği gözlenmiştir. Bu bulgulara göre, söz konusu zaman serisi için önerilecek en uygun model aşağıdakilerden hangisidir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: AR(1)AR(1)

Cevap

Birinci dereceden otoregresif model olan AR(1)AR(1)
Zaman serileri analizinde, durağan bir serinin otoregresif derecesini belirlemek için kısmi otokorelasyon fonksiyonuna (PACFPACF) bakılır. AR(p)AR(p) modelleri için PACFPACF, pp gecikmesinden sonra istatistiksel olarak sıfıra düşer ve 'kesilir'. Soruda bu kesilmenin birinci gecikmeden sonra gerçekleştiği belirtildiği için model birinci dereceden otoregresiftir (AR(1)AR(1)). ACFACF'nin üstel olarak sönümlenmesi de bu tanıyı destekleyen tipik bir ARAR süreci özelliğidir.

Adım Adım Çözüm

1
ACFACF (Otokorelasyon Fonksiyonu) davranışını incele
ACFACF üstel olarak azalarak sönümlenmektedir (Tails off).
Bu durum serinin otoregresif (ARAR) bir bileşene sahip olduğunu veya durağan olduğunu gösterir.
2
PACFPACF (Kısmi Otokorelasyon Fonksiyonu) davranışını incele
PACFPACF birinci gecikmeden (laglag 11) sonra kesilmektedir (Cuts off).
Kısmi otokorelasyonun kesildiği nokta, otoregresif modelin derecesini (pp) belirler.
3
Box-Jenkins model tanılama kurallarını birleştir
ACFACF sönümleniyor ve PACFPACF p=1p=1 noktasında kesiliyorsa model AR(1)AR(1)'dir.
Teorik olarak AR(p)AR(p) modelleri PACFPACF grafiğinde pp gecikmesinden sonra sıfıra düşer.

Anahtar Kavram

Box-Jenkins Model Tanılama (ACF ve PACF Davranışları)

Alternatif Yöntem

Alternatif olarak, modelin matematiksel formu Yt=ϕYt−1+ϵtY_t = \phi Y_{t-1} + \epsilon_t şeklinde yazıldığında, sadece Yt−1Y_{t-1}'in YtY_t üzerindeki doğrudan etkisinin (kısmi etki) var olduğu, daha uzak gecikmelerin doğrudan etkisinin olmadığı PACFPACF üzerinden kolayca teyit edilebilir.
Tahmini Süre:1m 30s
Soru 15Soru →

T.C. Devlet Demiryolları (TCDD) bünyesinde çalışan bir istatistikçi, belirli bir hattaki aylık yolcu doluluk oranlarını zaman serisi analizi ile incelemektedir. Serinin durağan olduğu belirlendikten sonra elde edilen otokorelasyon fonksiyonunun (ACFACF) azalan bir yapıda dalgalanarak (pozitif ve negatif değerler arasında gidip gelerek) sönümlendiği, kısmi otokorelasyon fonksiyonunun (PACFPACF) ise birinci gecikmeden sonra kesilerek istatistiksel olarak anlamsız hale geldiği gözlenmiştir. Ayrıca PACFPACF'nin birinci gecikmedeki değeri −0,65-0,65 olarak hesaplanmıştır.

Buna göre, bu yolcu doluluk verilerini modellemek için en uygun zaman serisi modeli ve katsayı özelliği aşağıdakilerden hangisidir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: AR(1)AR(1) modeli; ϕ1=−0,65\phi_1 = -0,65

Cevap

Zaman serisi verileri için en uygun model, katsayısı -0,65 olan birinci dereceden otoregresif AR(1) modelidir.
PACF fonksiyonunun 1. gecikmeden sonra kesilmesi, serinin bir otoregresif (AR) süreç olduğunu ve derecesinin 1 olduğunu (p=1) kanıtlar. ACF'nin dalgalanarak (alternating) sönümlenmesi, katsayının negatif olduğunu gösterir. PACF'nin ilk gecikmedeki değeri doğrudan otoregresif katsayıyı verdiği için doğru model AR(1) ve katsayı -0,65'tir.

Adım Adım Çözüm

1
Fonksiyon davranışlarını analiz et
PACF 1. gecikmeden sonra kesiliyor, ACF ise sönümleniyor.
Zaman serilerinde PACF'nin p. gecikmeden sonra kesilmesi modelin AR(p) olduğunu gösterir.
2
Model derecesini ve türünü belirle
Model birinci dereceden otoregresif, yani AR(1) modelidir.
PACF'nin kesildiği nokta (p=1) modelin derecesini belirler.
3
Katsayı işaretini ve değerini yorumla
phi_1 = -0,65
AR(1) modelinde PACF'nin ilk gecikme değeri doğrudan otoregresif katsayıya eşittir (phi_1 = rho_1). Ayrıca ACF'nin dalgalanarak sönümlenmesi katsayının negatif olduğunu doğrular.
4
Durağanlık kontrolü yap
|-0,65| < 1 olduğu için süreç durağandır.
AR(1) modellerinde durağanlık için katsayının mutlak değerce 1'den küçük olması şarttır.

Anahtar Kavram

Otoregresif (AR) Modellerde Model Tanımlama (ACF/PACF Davranışları)
Soru 16Soru →

Bir tedarik zinciri yönetiminde, bir depodaki haftalık stok eksilme miktarları durağan bir zaman serisi olarak modellenmek istenmektedir. Verilerin otokorelasyon fonksiyonunun (ACF) üstel olarak sönümlendiği, kısmi otokorelasyon fonksiyonunun (PACF) ise 2. gecikmeden sonra aniden sıfıra düştüğü gözlemlenmiştir.

Bu özelliklere dayanarak, seri için sıfır ortalamalı aşağıdaki model tanımlanmıştır:
Yt=ϕ1Yt−1+ϕ2Yt−2+εtY_t = \phi_1 Y_{t-1} + \phi_2 Y_{t-2} + \varepsilon_t

Tahmin edilen bu modelde birinci gecikme katsayısı ϕ1=0,8\phi_1 = 0,8 olarak elde edilmiştir.

Buna göre, kurulan modelin durağanlık varsayımını sağlaması için ϕ2\phi_2 katsayısının alabileceği değer aralığı aşağıdakilerden hangisidir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: −1<ϕ2<0,2-1 < \phi_2 < 0,2

Cevap

Kurulan AR(2) modelinin durağan olabilmesi için ikinci gecikme katsayısının (ϕ2\phi_2) −1<ϕ2<0,2-1 < \phi_2 < 0,2 aralığında olması gerekmektedir.
AR(2) süreçlerinde durağanlık için karakteristik denklemin köklerinin birim çemberin dışında yer alması gerekir. Bunun için üç eşitsizlik sağlanmalıdır: ϕ1+ϕ2<1\phi_1 + \phi_2 < 1, ϕ2−ϕ1<1\phi_2 - \phi_1 < 1 ve −1<ϕ2<1-1 < \phi_2 < 1. İkinci dereceden otoregresif bir modelde birinci parametre ϕ1=0,8\phi_1 = 0,8 olarak verildiğinde; birinci koşuldan ϕ2<0,2\phi_2 < 0,2 ve ikinci koşuldan ϕ2<1,8\phi_2 < 1,8 üst sınırları bulunur. Üçüncü koşul olan −1<ϕ2<1-1 < \phi_2 < 1 ile birlikte tüm sınırların ortak kesişimi alındığında, ϕ2\phi_2'nin kesinlikle −1-1 ile 0,20,2 değerleri arasında olması gerektiği hesaplanır.

Adım Adım Çözüm

1
Serinin PACF değerinin 2. gecikmeden sonra kesilmesi ve ACF'nin sönümlenmesi bilgisinden hareketle sürecin AR(2) olduğuna karar verilir.
Modelin Yt=ϕ1Yt−1+ϕ2Yt−2+εtY_t = \phi_1 Y_{t-1} + \phi_2 Y_{t-2} + \varepsilon_t formatında bir ikinci dereceden otoregresif süreç olduğu doğrulanır.
Zaman serisi modellerini tanımlamada ACF ve PACF grafiklerinin özellikleri (kesilme ve sönümlenme davranışları) model derecesini belirleyen temel unsurlardır.
2
AR(2) süreçleri için gerekli olan üç temel durağanlık koşulu yazılır.
Durağanlık üçgeni koşulları: 1) ϕ1+ϕ2<1\phi_1 + \phi_2 < 1, 2) ϕ2−ϕ1<1\phi_2 - \phi_1 < 1, 3) ∣ϕ2∣<1|\phi_2| < 1
Karakteristik denklemin köklerinin birim çemberin dışında kalabilmesi için parametrelerin bu eşitsizlik sistemini sağlaması matematiksel bir zorunluluktur.
3
Verilen ϕ1=0,8\phi_1 = 0,8 değeri, durağanlık eşitsizliklerinde yerine konarak ϕ2\phi_2 için teorik sınırlar hesaplanır.
1) 0,8+ϕ2<1⇒ϕ2<0,20,8 + \phi_2 < 1 \Rightarrow \phi_2 < 0,2
2) ϕ2−0,8<1⇒ϕ2<1,8\phi_2 - 0,8 < 1 \Rightarrow \phi_2 < 1,8
3) −1<ϕ2<1-1 < \phi_2 < 1
Elde edilen veriler kullanılarak ϕ2\phi_2 parametresinin tek başına kısıtlandığı bölgeler ortaya çıkarılır.
4
Elde edilen üç farklı eşitsizliğin kesişim kümesi (ortak çözüm aralığı) bulunur.
Ortak alt sınır −1-1, ortak üst sınır ise hesaplanan en küçük üst sınır olan 0,20,2'dir. Nihai kesişim bölgesi: −1<ϕ2<0,2-1 < \phi_2 < 0,2
Modelin durağan olabilmesi için tüm koşulların aynı anda (eşzamanlı olarak) sağlanması gerekir.

Anahtar Kavram

AR(2) Modellerinde Durağanlık Koşulları
Soru 17Soru →

Bir kamu kurumu için hazırlanan ekonomik raporda, yıllık reel yatırım harcamalarındaki değişimlerin bir otoregresif süreç izlediği tespit edilmiştir. İlgili zaman serisi için tahmin edilen AR(2)AR(2) model denklemi şu şekildedir:

Yt=0,5Yt−1+0,3Yt−2+ϵtY_t = 0,5 Y_{t-1} + 0,3 Y_{t-2} + \epsilon_t

Burada ϵt\epsilon_t beyaz gürültü sürecidir. Bu modelin durağanlığı ve karakteristik özellikleri ile ilgili aşağıdakilerden hangisi doğrudur?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: Model durağandır ve kısmi otokorelasyon fonksiyonu (PACF) 2. gecikmeden sonra kesilir.

Cevap

Model durağandır ve kısmi otokorelasyon fonksiyonu (PACF) 2. gecikmeden sonra kesilir.
Verilen modelin katsayıları incelendiğinde; ϕ1+ϕ2=0,8<1\phi_1 + \phi_2 = 0,8 < 1, ϕ2−ϕ1=−0,2<1\phi_2 - \phi_1 = -0,2 < 1 ve ∣ϕ2∣=0,3<1|\phi_2| = 0,3 < 1 şartlarının tamamı sağlanmaktadır, bu nedenle model durağandır. Ayrıca, bir AR(p)AR(p) süreci için kısmi otokorelasyon fonksiyonu (PACF) tam olarak pp. gecikmeden sonra sıfıra düşer (kesilir). Bu model AR(2)AR(2) olduğu için PACF 2. gecikmeden sonra kesilmektedir.

Adım Adım Çözüm

1
Model katsayılarını belirleyin.
ϕ1=0,5\phi_1 = 0,5 ve ϕ2=0,3\phi_2 = 0,3.
AR(2)AR(2) denklemindeki gecikmeli terimlerin katsayıları durağanlık analizi için gereklidir.
2
AR(2)AR(2) durağanlık koşullarını test edin.
1) ϕ1+ϕ2=0,8<1\phi_1 + \phi_2 = 0,8 < 1
2) ϕ2−ϕ1=−0,2<1\phi_2 - \phi_1 = -0,2 < 1
3) ∣ϕ2∣=0,3<1|\phi_2| = 0,3 < 1
Bir AR(2)AR(2) sürecinin durağan olması için bu üç eşitsizliğin aynı anda sağlanması gerekir. Tüm şartlar sağlandığı için model durağandır.
3
AR(2)AR(2) modelinin teorik ACF ve PACF davranışını belirleyin.
ACF: Sönümlenir (Tails off), PACF: 2. gecikmede kesilir (Cuts off).
Otoregresif modellerin derecesi (pp), PACF grafiğindeki kesilme noktası ile tanımlanır.

Anahtar Kavram

AR(2) Modellerinde Durağanlık Şartları ve Tanımlama

İpuçları

1
AR(2)AR(2) durağanlık şartlarını (toplam, fark ve mutlak değer kontrolleri) hatırlayın.
2
AR(1)AR(1) için sadece ∣ϕ∣<1|\phi| < 1 yeterliyken, AR(2)AR(2) için üç ayrı eşitsizliği kontrol etmeniz gerekir.
3
ARAR modellerinde PACF grafiği modelin derecesini (pp) gösteren bir 'kesilme' (cutoff) sergiler.

Daha Fazla Pratik

Katsayıların işaretleri ters olsaydı (örneğin ϕ2=−0,8\phi_2 = -0,8) durağanlık durumunun nasıl değişeceğini analiz edin.

Alternatif Yöntem

Karakteristik denklemin köklerini (λ2−ϕ1λ−ϕ2=0)(\lambda^2 - \phi_1\lambda - \phi_2 = 0) bularak, köklerin mutlak değerce 1'den küçük (birim çember içinde) olup olmadığını kontrol ederek de durağanlığa karar verilebilir.
Tahmini Süre:1m 30s
Soru 18Soru →

Bir üretim tesisindeki haftalık enerji tüketimi verileri durağan hale getirildikten sonra incelenmiş ve seriye ait örneklem otokorelasyon katsayılarının (ACF) ilk ikisi ρ1=0,5\rho_1 = 0,5 ve ρ2=0,4\rho_2 = 0,4 olarak hesaplanmıştır.

Bunun yanı sıra, serinin kısmi otokorelasyon fonksiyonunun (PACF) 2. gecikmeden sonra istatistiksel olarak anlamsızlaştığı (güven sınırları içine girdiği ve kesildiği) belirlenmiştir.

Buna göre, bu zaman serisini modellemek için en uygun sürecin türü ve bu modele ait en yüksek dereceli parametrenin (AR(p) modeli için ϕp\phi_p, MA(q) modeli için θq\theta_q) tahmini değeri aşağıdakilerin hangisinde doğru verilmiştir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: AR(2) modeli; 0,2

Cevap

Seri AR(2) süreci ile modellenmelidir ve en yüksek dereceli parametresi olan ϕ2\phi_2'nin tahmini değeri 0,2'dir.
Verilen seride kısmi otokorelasyon fonksiyonu (PACF) 2. gecikmeden sonra istatistiksel olarak sıfırlandığı için bu seri açıkça bir AR(2) sürecidir. İkinci dereceden otoregresif modelin en yüksek dereceli parametresi (ϕ2\phi_2), Yule-Walker denklemlerinden türetilen ve ikinci kısmi otokorelasyon katsayısına eşit olan ϕ2=(ρ2−ρ12)/(1−ρ12)\phi_2 = (\rho_2 - \rho_1^2) / (1 - \rho_1^2) formülü ile bulunur. Değerler formülde yerine konduğunda (0,4−0,25)/(1−0,25)=0,15/0,75=0,2(0,4 - 0,25) / (1 - 0,25) = 0,15 / 0,75 = 0,2 elde edilir. Bu nedenle süreç AR(2)'dir ve beklenen parametre değeri 0,2'dir.

Adım Adım Çözüm

1
Serinin PACF grafiğinin nerede kesildiğini belirleyerek model türünü tespit etme.
PACF 2. gecikmeden sonra sıfırlandığı için süreç ikinci dereceden otoregresif, yani AR(2)'dir.
Zaman serilerinde AR(p) modellerinin karakteristik özelliği, kısmi otokorelasyon fonksiyonunun (PACF) p. gecikmeden sonra kesilmesidir.
2
AR(2) modeli için ikinci parametreyi (ϕ2\phi_2) bulmak amacıyla Yule-Walker denklemlerini kurma.
Yule-Walker denklemleri: ρ1=ϕ1+ϕ2ρ1\rho_1 = \phi_1 + \phi_2 \rho_1 ve ρ2=ϕ1ρ1+ϕ2\rho_2 = \phi_1 \rho_1 + \phi_2 şeklindedir.
Otokorelasyon katsayıları (ρ\rho) ile otoregresif parametreler (ϕ\phi) arasındaki ilişki Yule-Walker denklemleriyle formüle edilir.
3
Yule-Walker denklemlerini çözerek ϕ2\phi_2 değerini elde etme.
İlk denklemden ϕ1=ρ1(1−ϕ2)\phi_1 = \rho_1 (1 - \phi_2) çekilip ikinci denklemde yerine yazıldığında, ϕ2=(ρ2−ρ12)/(1−ρ12)\phi_2 = (\rho_2 - \rho_1^2) / (1 - \rho_1^2) formülü elde edilir.
Amacımız en yüksek dereceli parametre olan ϕ2\phi_2'yi mevcut ρ1\rho_1 ve ρ2\rho_2 değerleri cinsinden doğrudan hesaplamaktır.
4
Verilen değerleri (ρ1=0,5\rho_1 = 0,5 ve ρ2=0,4\rho_2 = 0,4) formülde yerine koyarak sonucu hesaplama.
ϕ2=(0,4−0,52)/(1−0,52)=(0,4−0,25)/(1−0,25)=0,15/0,75=0,2\phi_2 = (0,4 - 0,5^2) / (1 - 0,5^2) = (0,4 - 0,25) / (1 - 0,25) = 0,15 / 0,75 = 0,2 olarak bulunur.
Parametrenin sayısal tahmini için denklemlerde cebirsel işlemlerin tamamlanması gerekir.

Anahtar Kavram

AR(p) modellerinde model derecesinin PACF ile belirlenmesi ve Yule-Walker denklemleri kullanılarak parametre tahmini yapılması
Soru 19Soru →

Bir kamu kurumunun aylık bütçe harcamaları incelenmiş ve harcama serisinin Yt=0,6Yt−1+ϵtY_t = 0,6 Y_{t-1} + \epsilon_t şeklinde bir model yapısına sahip olduğu belirlenmiştir. Burada ϵt\epsilon_t terimi beyaz gürültü (hata) sürecini temsil etmektedir.

Bu zaman serisi modelinin türü ve durağanlık durumu ile ilgili aşağıdakilerden hangisi doğrudur?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: Birinci dereceden otoregresif [AR(1)] modelidir ve ∣ϕ∣<1|\phi| < 1 şartını sağladığı için durağandır.

Cevap

Model birinci dereceden otoregresif [AR(1)] yapısındadır ve katsayısı mutlak değerce 1'den küçük olduğu için durağandır.
Verilen Yt=0,6Yt−1+ϵtY_t = 0,6 Y_{t-1} + \epsilon_t denklemi, serinin mevcut değerinin doğrudan bir önceki değerine bağlı olduğunu ifade eden standart bir AR(1) modelidir. Bu tür modellerde durağanlık için gerekli ve yeterli şart, otoregresif katsayının mutlak değerinin 11'den küçük olmasıdır (∣ϕ∣<1|\phi| < 1). Denklemdeki katsayı 0,60,6 olduğu ve bu değer 11'den küçük olduğu için model durağandır.

Adım Adım Çözüm

1
Modelin matematiksel formunu analiz etmek.
YtY_t değerinin Yt−1Y_{t-1} değişkeni ile açıklanması, bu sürecin birinci dereceden bir otoregresif [AR(1)] süreci olduğunu kanıtlar.
Otoregresif (AR) modeller, bir zaman serisinin mevcut değerini kendi geçmiş değerlerinin doğrusal bir kombinasyonu olarak ifade eder.
2
Durağanlık şartını kontrol etmek.
Bir AR(1) modelinin durağan olabilmesi için otoregresif parametre olan ϕ\phi katsayısının mutlak değerinin 11'den küçük olması (∣ϕ∣<1|\phi| < 1) gerekir.
Bu şart, serinin varyansının ve ortalamasının zaman boyunca sabit kalmasını sağlayarak istatistiksel çıkarımların geçerli olmasını sağlar.
3
Verilen katsayıyı şartla karşılaştırmak.
Modelde ϕ=0,6\phi = 0,6 olarak verilmiştir. ∣0,6∣<1|0,6| < 1 eşitsizliği sağlandığı için seri durağandır.
Katsayı durağanlık bölgesi olan (−1,1)(-1, 1) aralığı içerisinde yer almaktadır.

Anahtar Kavram

AR(1) Modellerinde Tanımlama ve Durağanlık Şartı
Soru 20Soru →

Bir strateji geliştirme başkanlığında görevli istatistikçi, son 10 yıla ait aylık kamu harcamalarını modellemektedir. Serinin durağan olduğu belirlendikten sonra hesaplanan örneklem otokorelasyon fonksiyonunun (ACF)(ACF) yavaşça sönümlenerek azaldığı, kısmi otokorelasyon fonksiyonunun (PACF)(PACF) ise sadece birinci gecikmede istatistiksel olarak anlamlı olduğu ve sonraki gecikmelerde sıfıra kesildiği görülmüştür. Buna göre, bu zaman serisi verileri için önerilecek en uygun model aşağıdakilerden hangisidir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: Birinci dereceden otoregresif model [AR(1)][AR(1)]

Cevap

Birinci dereceden otoregresif model [AR(1)][AR(1)]
Zaman serisi analizinde [AR(p)][AR(p)] modellerinin teorik özelliği, kısmi otokorelasyon fonksiyonunun (PACF)(PACF) modelin derecesi olan pp. gecikmeden sonra istatistiksel olarak sıfıra düşmesi (kesilmesi) ve otokorelasyon fonksiyonunun (ACF)(ACF) ise üstel bir şekilde sönümlenerek azalmasıdır. Soruda PACF'nin 1. gecikmeden sonra kesildiği açıkça belirtildiğinden, bu bir [AR(1)][AR(1)] sürecidir.

Adım Adım Çözüm

1
PACF fonksiyonunun davranışını analiz et.
PACF 1. gecikmeden sonra kesilmektedir (p=1)(p=1).
Otoregresif modellerde PACF, modelin derecesini doğrudan belirleyen 'kesilme' (cuts off)(cuts \, off) davranışını gösterir.
2
ACF fonksiyonunun davranışını analiz et.
ACF fonksiyonu yavaşça sönümlenerek azalmaktadır (tails off)(tails \, off).
AR modellerinde ACF fonksiyonu, parametre değerine bağlı olarak üstel veya sinüzoidal şekilde sönümlenerek azalır.
3
Elde edilen bulguları birleştirerek modeli tanımla.
Süreç [AR(1)][AR(1)] modelidir.
PACF'nin pp. gecikmede kesilmesi ve ACF'nin sönümlenmesi süreci [AR(p)][AR(p)] olarak tanımlar.

Anahtar Kavram

Otoregresif (AR) süreçlerin ACF ve PACF davranışları ile tanımlanması.
Sayfa 1 / 2Sonraki
Otoregresif (AR) Modeller Alıştırma Soruları — KPSS İstatistik | Examkin