Examkin

Soru

Zorluk: OrtaÇok Değişkenli Normal Dağılımın Moment Çıkaran Fonksiyonu

Çok değişkenli istatistiksel analiz dersinde bir araştırmacı, üç boyutlu X=(X1,X2,X3)′\mathbf{X} = (X_1, X_2, X_3)' sürekli rasgele vektörünün moment çıkaran fonksiyonunu aşağıdaki gibi ifade etmiştir:

MX(t)=exp⁡(t1−2t2+5t3+4t12+3t22+6t32−2t1t2+8t2t3)M_{\mathbf{X}}(\mathbf{t}) = \exp \left( t_1 - 2t_2 + 5t_3 + 4t_1^2 + 3t_2^2 + 6t_3^2 - 2t_1 t_2 + 8t_2 t_3 \right)

Buna göre, X\mathbf{X} rasgele vektörünün varyans-kovaryans matrisi (Σ\boldsymbol{\Sigma}) aşağıdakilerden hangisidir?

  1. [8−20−2680812]\begin{bmatrix} 8 & -2 & 0 \\ -2 & 6 & 8 \\ 0 & 8 & 12 \end{bmatrix}Cevap
  2. B
    [4−20−238086]\begin{bmatrix} 4 & -2 & 0 \\ -2 & 3 & 8 \\ 0 & 8 & 6 \end{bmatrix}
  3. C
    [4−10−134046]\begin{bmatrix} 4 & -1 & 0 \\ -1 & 3 & 4 \\ 0 & 4 & 6 \end{bmatrix}
  4. D
    [8−40−461601612]\begin{bmatrix} 8 & -4 & 0 \\ -4 & 6 & 16 \\ 0 & 16 & 12 \end{bmatrix}
  5. E
    [8−10−1640412]\begin{bmatrix} 8 & -1 & 0 \\ -1 & 6 & 4 \\ 0 & 4 & 12 \end{bmatrix}

Cevap

Varyans-kovaryans matrisi [8−20−2680812]\begin{bmatrix} 8 & -2 & 0 \\ -2 & 6 & 8 \\ 0 & 8 & 12 \end{bmatrix} şeklinde olan seçenektir.
Verilen moment çıkaran fonksiyonun üssündeki karesel form 12t′Σt\frac{1}{2}\mathbf{t}'\boldsymbol{\Sigma}\mathbf{t} yapısındadır. Bu açılımda t12t_1^2, t22t_2^2 ve t32t_3^2 terimlerinin katsayıları sırasıyla σ11/2\sigma_{11}/2, σ22/2\sigma_{22}/2 ve σ33/2\sigma_{33}/2'ye eşittir. Bu durumda σ11=8\sigma_{11}=8, σ22=6\sigma_{22}=6 ve σ33=12\sigma_{33}=12 olarak köşegen elemanlar bulunur. Ortak çarpım terimleri olan t1t2t_1 t_2, t1t3t_1 t_3 ve t2t3t_2 t_3 için katsayılar doğrudan σ12\sigma_{12}, σ13\sigma_{13} ve σ23\sigma_{23}'ü verir. İlgili katsayılar -2, 0 ve 8 olduğundan doğru matris köşegeninde 8, 6, 12 ve köşegen dışında -2, 0, 8 değerlerini barındıran matristir.

Adım Adım Çözüm

1
Moment çıkaran fonksiyonun teorik üslü formülünü yazın.
MX(t)=exp⁡(t′μ+12t′Σt)M_{\mathbf{X}}(\mathbf{t}) = \exp \left( \mathbf{t}' \boldsymbol{\mu} + \frac{1}{2} \mathbf{t}' \boldsymbol{\Sigma} \mathbf{t} \right)
Varyans-kovaryans matrisinin (Σ\boldsymbol{\Sigma}) elemanlarını fonksiyondaki karesel terimlerle eşleştirmek için temel formül gereklidir.
2
Karesel formun açık halini Σ\boldsymbol{\Sigma} elemanları cinsinden ifade edin.
12t′Σt=12σ11t12+12σ22t22+12σ33t32+σ12t1t2+σ13t1t3+σ23t2t3\frac{1}{2} \mathbf{t}' \boldsymbol{\Sigma} \mathbf{t} = \frac{1}{2}\sigma_{11}t_1^2 + \frac{1}{2}\sigma_{22}t_2^2 + \frac{1}{2}\sigma_{33}t_3^2 + \sigma_{12}t_1t_2 + \sigma_{13}t_1t_3 + \sigma_{23}t_2t_3
Çarpım işleminin simetrisinden (titjt_it_j ve tjtit_jt_i) kaynaklanan 2 çarpanı ile 12\frac{1}{2} formül katsayısı sadeleşir ve kovaryans katsayıları doğrudan ortaya çıkar.
3
Verilen denklemdeki ti2t_i^2 katsayılarını eşleştirerek varyansları (köşegen elemanları) hesaplayın.
12σ11=4⇒σ11=8\frac{1}{2}\sigma_{11} = 4 \Rightarrow \sigma_{11} = 8
12σ22=3⇒σ22=6\frac{1}{2}\sigma_{22} = 3 \Rightarrow \sigma_{22} = 6
12σ33=6⇒σ33=12\frac{1}{2}\sigma_{33} = 6 \Rightarrow \sigma_{33} = 12
Varyans terimleri denklemde yarıya bölünmüş haliyle bulunur, matrise yerleştirirken 2 ile çarpılmalıdır.
4
Verilen denklemdeki titjt_i t_j çarpım katsayılarını eşleştirerek kovaryansları bulun.
σ12=−2\sigma_{12} = -2
σ13=0\sigma_{13} = 0 (terim yok)
σ23=8\sigma_{23} = 8
Kovaryans terimleri denklemde doğrudan asıl değeriyle yer alır. Simetrik özellik kullanılarak matrisin köşegen dışı alanları doldurulur.

Anahtar Kavram

Moment Çıkaran Fonksiyondan Varyans-Kovaryans Matrisinin Elde Edilmesi
Bu soruyu puanla

Konular

Çok Değişkenli Normal Dağılımın Moment Çıkaran Fonksiyonu

Bu konudan daha fazla soru