Examkin

Soru

Zorluk: ZorÇok Değişkenli Normal Dağılımın Moment Çıkaran Fonksiyonu

Üç değişkenli normal dağılıma sahip V=(V1,V2,V3)′\mathbf{V} = (V_1, V_2, V_3)' rasgele vektörünün moment çıkaran fonksiyonu,

MV(t1,t2,t3)=exp⁡(4t1+2t2−t3+2t12+t22+t32+2t1t2−t2t3)M_{\mathbf{V}}(t_1, t_2, t_3) = \exp\left( 4t_1 + 2t_2 - t_3 + 2t_1^2 + t_2^2 + t_3^2 + 2t_1 t_2 - t_2 t_3 \right)

olarak verilmiştir.

Buna göre, Z=V1−2V2+V3Z = V_1 - 2V_2 + V_3 rasgele değişkeninin dağılımı aşağıdakilerden hangisidir?

  1. A
    N(−1,5)N(-1, 5)
  2. N(−1,10)N(-1, 10)Cevap
  3. C
    N(−1,14)N(-1, 14)
  4. D
    N(−1,18)N(-1, 18)
  5. E
    N(1,10)N(1, 10)

Cevap

ZZ rasgele değişkeni −1-1 ortalamalı ve 1010 varyanslı normal dağılıma sahiptir.
Çok değişkenli normal dağılıma sahip V\mathbf{V} vektörünün doğrusal kombinasyonu olan Z=a1V1+a2V2+a3V3Z = a_1V_1 + a_2V_2 + a_3V_3 değişkeninin moment çıkaran fonksiyonu MZ(s)=MV(a1s,a2s,a3s)M_Z(s) = M_{\mathbf{V}}(a_1s, a_2s, a_3s) formülüyle elde edilir. İfadeler yerine yazılıp sadeleştirildiğinde MZ(s)=exp⁡(−s+5s2)M_Z(s) = \exp(-s + 5s^2) bulunur. Bu ifade tek değişkenli normal dağılımın MX(t)=exp⁡(μt+σ2t2/2)M_X(t) = \exp(\mu t + \sigma^2 t^2 / 2) yapısı ile karşılaştırıldığında μ=−1\mu = -1 ve σ2/2=5  ⟹  σ2=10\sigma^2/2 = 5 \implies \sigma^2 = 10 elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1
Z=V1−2V2+V3Z = V_1 - 2V_2 + V_3 doğrusal kombinasyonunun moment çıkaran fonksiyonunu bulmak için MZ(s)=MV(s,−2s,s)M_Z(s) = M_{\mathbf{V}}(s, -2s, s) eşitliğini kullanmak.
MZ(s)=exp⁡(4(s)+2(−2s)−(s)+2(s)2+(−2s)2+(s)2+2(s)(−2s)−(−2s)(s))M_Z(s) = \exp\left(4(s) + 2(-2s) - (s) + 2(s)^2 + (-2s)^2 + (s)^2 + 2(s)(-2s) - (-2s)(s)\right)
Çok değişkenli moment çıkaran fonksiyonda her tit_i parametresi yerine, ilgili değişkenin doğrusal kombinasyondaki katsayısı ile ss'nin çarpımı yazılır.
2
Elde edilen ifadedeki üstel fonksiyonun içini sadeleştirmek.
MZ(s)=exp⁡(4s−4s−s+2s2+4s2+s2−4s2+2s2)=exp⁡(−s+5s2)M_Z(s) = \exp(4s - 4s - s + 2s^2 + 4s^2 + s^2 - 4s^2 + 2s^2) = \exp(-s + 5s^2)
Sadeleştirilmiş form, rasgele değişkenin dağılım parametrelerini doğrudan bulabilmemizi sağlar.
3
Sadeleştirilen MZ(s)M_Z(s) fonksiyonunu, tek değişkenli normal dağılımın standart moment çıkaran fonksiyonu olan exp⁡(μs+12σ2s2)\exp(\mu s + \frac{1}{2}\sigma^2 s^2) ile eşleştirmek.
μ=−1\mu = -1 ve 12σ2=5  ⟹  σ2=10\frac{1}{2}\sigma^2 = 5 \implies \sigma^2 = 10
Moment çıkaran fonksiyonların benzersizliği teoremi gereğince, ZZ rasgele değişkeni N(−1,10)N(-1, 10) dağılımına sahiptir.

Anahtar Kavram

Çok Değişkenli Normal Dağılımın Moment Çıkaran Fonksiyonu ve Doğrusal Kombinasyonların Dağılımı

Alternatif Yöntem

Alternatif olarak, üstel fonksiyonun içindeki katsayılar t′μ+12t′Σt\mathbf{t}'\boldsymbol{\mu} + \frac{1}{2} \mathbf{t}'\boldsymbol{\Sigma}\mathbf{t} eşitliği yardımıyla ayrılarak μ=[4,2,−1]′\boldsymbol{\mu} = [4, 2, -1]' vektörü ve Σ\boldsymbol{\Sigma} matrisi (örneğin σ11/2=2  ⟹  σ11=4\sigma_{11}/2 = 2 \implies \sigma_{11} = 4) çıkarılabilir. Sonrasında Var(Z)=a′Σa\text{Var}(Z) = \mathbf{a}'\boldsymbol{\Sigma}\mathbf{a} formülü kullanılarak da varyans 1010 olarak doğrulanabilir.
Tahmini Süre:2m 30s
Bu soruyu puanla

Konular

Çok Değişkenli Normal Dağılımın Moment Çıkaran Fonksiyonu

Bu konudan daha fazla soru