Examkin

Soru

Zorluk: ZorÇok Değişkenli Normal Dağılımın Moment Çıkaran Fonksiyonu

X=[X1,X2,X3]′\mathbf{X} = [X_1, X_2, X_3]' rasgele vektörünün moment çıkaran fonksiyonu,

MX(t)=exp⁡(t1−2t3+32t12+2t22+52t32+t1t2−t1t3+2t2t3)M_{\mathbf{X}}(\mathbf{t}) = \exp \left( t_1 - 2t_3 + \frac{3}{2} t_1^2 + 2 t_2^2 + \frac{5}{2} t_3^2 + t_1 t_2 - t_1 t_3 + 2t_2 t_3 \right)

olarak verilmektedir. (Burada t=[t1,t2,t3]′\mathbf{t} = [t_1, t_2, t_3]''dir.)

Buna göre, Y=X1+X2+X3Y = X_1 + X_2 + X_3 rasgele değişkeninin varyansı (Var(Y)Var(Y)) kaçtır?

  1. A
    8
  2. B
    10
  3. C
    12
  4. 16Cevap
  5. E
    20

Cevap

16
Çok değişkenli normal dağılımda moment çıkaran fonksiyonun üssündeki karesel kısım 12t′Σt\frac{1}{2}\mathbf{t}'\mathbf{\Sigma}\mathbf{t} şeklindedir. Katsayılar eşleştirildiğinde varyanslar σ11=3\sigma_{11}=3, σ22=4\sigma_{22}=4, σ33=5\sigma_{33}=5 olarak, kovaryanslar ise σ12=1\sigma_{12}=1, σ13=−1\sigma_{13}=-1, σ23=2\sigma_{23}=2 olarak bulunur. Bir toplamın varyansı, ilgili kovaryans matrisindeki tüm elemanların toplamına denk gelir. Buna göre 12+2(1−1+2)=1612 + 2(1 - 1 + 2) = 16 değeri doğru sonucu verir.

Adım Adım Çözüm

1
Çok değişkenli normal dağılımın moment çıkaran fonksiyonunun (MGF) genel formülünü hatırlamak.
MX(t)=exp⁡(t′μ+12t′Σt)M_{\mathbf{X}}(\mathbf{t}) = \exp\left(\mathbf{t}'\boldsymbol{\mu} + \frac{1}{2}\mathbf{t}'\mathbf{\Sigma}\mathbf{t}\right) olduğu bilinmelidir.
Verilen üstel fonksiyon ile teorik yapıyı eşleştirerek Σ\mathbf{\Sigma} (kovaryans) matrisinin elemanlarını elde etmek için.
2
Karesel formun (12t′Σt\frac{1}{2}\mathbf{t}'\mathbf{\Sigma}\mathbf{t}) açılımını kullanarak varyans ve kovaryansları belirlemek.
Varyanslar: 12σ11=32  ⟹  σ11=3\frac{1}{2}\sigma_{11} = \frac{3}{2} \implies \sigma_{11} = 3, 12σ22=2  ⟹  σ22=4\frac{1}{2}\sigma_{22} = 2 \implies \sigma_{22} = 4, 12σ33=52  ⟹  σ33=5\frac{1}{2}\sigma_{33} = \frac{5}{2} \implies \sigma_{33} = 5.
Kovaryanslar: t1t2t_1 t_2 katsayısı σ12=1\sigma_{12} = 1, t1t3t_1 t_3 katsayısı σ13=−1\sigma_{13} = -1, t2t3t_2 t_3 katsayısı σ23=2\sigma_{23} = 2.
MGF katsayıları eşleştirmesinde köşegen elemanlarda 1/2 çarpanı bulunurken, çapraz elemanların katsayılarının doğrudan kovaryansa eşit olması kuralıdır.
3
Y=X1+X2+X3Y = X_1 + X_2 + X_3 toplamının varyansını hesaplamak.
Var(Y)=∑i=13σii+2∑i<jσij=(3+4+5)+2(1−1+2)=12+2(2)=16Var(Y) = \sum_{i=1}^{3} \sigma_{ii} + 2 \sum_{i < j} \sigma_{ij} = (3 + 4 + 5) + 2(1 - 1 + 2) = 12 + 2(2) = 16
Rasgele değişkenlerin doğrusal kombinasyonunun varyansı, değişkenlerin kendi varyansları ile aralarındaki kovaryansların ikişer katının toplamıdır.

Anahtar Kavram

Çok Değişkenli Normal Dağılımın Moment Çıkaran Fonksiyonu (MGF)
Bu soruyu puanla

Konular

Çok Değişkenli Normal Dağılımın Moment Çıkaran Fonksiyonu

Bu konudan daha fazla soru