\mathbf{X}, p \times 1 boyutlu, ortalama vektörü \boldsymbol{\mu} ve varyans-kovaryans mat… — KPSS İstatistik

$\mathbf{X}$ , $p \times 1$ boyutlu, ortalama vektörü $\boldsymbol{\mu}$ ve varyans-kovaryans matrisi $\boldsymbol{\Sigma}$ olan çok değişkenli normal dağılıma sahip bir rasgele vektördür. $\mathbf{A}$ , $k \times p$ boyutlu sabit bir matris ve $\mathbf{b}$ , $k \times 1$ boyutlu sabit bir vektör olmak üzere, $\mathbf{Y} = \mathbf{A}\mathbf{X} + \mathbf{b}$ doğrusal dönüşümü tanımlanıyor.

Buna göre, $\mathbf{Y}$ rasgele vektörünün moment çıkaran fonksiyonu olan $M_{\mathbf{Y}}(\mathbf{t})$ aşağıdakilerden hangisidir?

$\exp\left(\mathbf{t}'(\mathbf{A}\boldsymbol{\mu} + \mathbf{b}) + \frac{1}{2}\mathbf{t}'(\mathbf{A}\boldsymbol{\Sigma}\mathbf{A}')\mathbf{t}\right)$ Cevap
B
$\exp\left(\mathbf{t}'(\mathbf{A}\boldsymbol{\mu} + \mathbf{b}) + \frac{1}{2}\mathbf{t}'(\mathbf{A}'\boldsymbol{\Sigma}\mathbf{A})\mathbf{t}\right)$
C
$\exp\left(\mathbf{t}'(\mathbf{A}\boldsymbol{\mu} + \mathbf{b}) - \frac{1}{2}\mathbf{t}'(\mathbf{A}\boldsymbol{\Sigma}\mathbf{A}')\mathbf{t}\right)$
D
$\exp\left(\mathbf{t}'(\mathbf{A}\boldsymbol{\mu} + \mathbf{b}) + \mathbf{t}'(\mathbf{A}\boldsymbol{\Sigma}\mathbf{A}')\mathbf{t}\right)$
E
$\exp\left(\mathbf{t}'(\mathbf{A}\boldsymbol{\mu} + \mathbf{b}) + \frac{1}{2} iz(\mathbf{A}\boldsymbol{\Sigma}\mathbf{A}') \mathbf{t}'\mathbf{t}\right)$

Cevap

Doğru cevap,

\mathbf{Y}

vektörünün beklenen değerini

\mathbf{A}\boldsymbol{\mu} + \mathbf{b}

ve varyans-kovaryans matrisini

\mathbf{A}\boldsymbol{\Sigma}\mathbf{A}'

olarak alıp standart üssel formülde yerine yazan ifadedir.

Çok değişkenli normal dağılıma sahip

\mathbf{X}

vektörünün

\mathbf{Y} = \mathbf{A}\mathbf{X} + \mathbf{b}

doğrusal dönüşümü de normal dağılır. Yeni ortalama vektörü

E(\mathbf{Y}) = \mathbf{A}\boldsymbol{\mu} + \mathbf{b}

ve yeni varyans-kovaryans matrisi

Cov(\mathbf{Y}) = \mathbf{A}\boldsymbol{\Sigma}\mathbf{A}'

olur. Moment çıkaran fonksiyonun genel kalıbı

M_{\mathbf{Y}}(\mathbf{t}) = \exp(\mathbf{t}'\mu_{\mathbf{Y}} + \frac{1}{2}\mathbf{t}'\Sigma_{\mathbf{Y}}\mathbf{t})

olduğundan, doğru seçenek bu parametrelerin eksiksiz yerleştirildiği ifadedir.

Adım Adım Çözüm

\mathbf{Y} = \mathbf{A}\mathbf{X} + \mathbf{b}

vektörünün beklenen değerini (ortalama vektörünü) hesaplama.

E(\mathbf{Y}) = E(\mathbf{A}\mathbf{X} + \mathbf{b}) = \mathbf{A}E(\mathbf{X}) + \mathbf{b} = \mathbf{A}\boldsymbol{\mu} + \mathbf{b}

Moment çıkaran fonksiyonun birinci terimi, dağılımın ortalama vektörünü gerektirir.

\mathbf{Y}

vektörünün varyans-kovaryans matrisini hesaplama.

Cov(\mathbf{Y}) = Cov(\mathbf{A}\mathbf{X} + \mathbf{b}) = \mathbf{A}Cov(\mathbf{X})\mathbf{A}' = \mathbf{A}\boldsymbol{\Sigma}\mathbf{A}'

Moment çıkaran fonksiyonun ikinci (karesel) terimi, dağılımın varyans-kovaryans matrisini kullanır. Sabit vektörün varyansı sıfırdır ve sabit matris formüle

\mathbf{A}(\cdot)\mathbf{A}'

şeklinde yansır.

Elde edilen ortalama ve varyans-kovaryans değerlerini çok değişkenli normal dağılımın moment çıkaran fonksiyonu genel formülünde yerine koyma.

M_{\mathbf{Y}}(\mathbf{t}) = \exp\left(\mathbf{t}'E(\mathbf{Y}) + \frac{1}{2}\mathbf{t}'Cov(\mathbf{Y})\mathbf{t}\right) = \exp\left(\mathbf{t}'(\mathbf{A}\boldsymbol{\mu} + \mathbf{b}) + \frac{1}{2}\mathbf{t}'(\mathbf{A}\boldsymbol{\Sigma}\mathbf{A}')\mathbf{t}\right)

Çok değişkenli normal dağılımın moment çıkaran fonksiyonu sadece ortalama vektörü ve varyans-kovaryans matrisine bağlıdır.

Anahtar Kavram

Çok Değişkenli Normal Dağılımda Doğrusal Dönüşümler ve Moment Çıkaran Fonksiyon

Soru

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Konular

Bu konudan daha fazla soru