Examkin

Soru

Zorluk: OrtaÇok Değişkenli Normal Dağılımın Moment Çıkaran Fonksiyonu

Bir finansal risk analizinde kullanılan X1X_1 ve X2X_2 getiri oranları, ortaklaşa (iki değişkenli) normal dağılıma sahiptir. Bu değişkenlerin ortak moment çıkaran fonksiyonu aşağıdaki gibi modellenmiştir:

M(t1,t2)=e3t1+2t2+t12−t1t2+2t22M(t_1, t_2) = e^{3t_1 + 2t_2 + t_1^2 - t_1 t_2 + 2t_2^2}

Bir analist, bu iki finansal varlığı kullanarak Y=X1−2X2Y = X_1 - 2X_2 şeklinde yeni bir portföy değişkeni tanımlamıştır.

Buna göre, oluşturulan YY değişkeninin varyansı aşağıdakilerden hangisidir?

  1. A
    7
  2. B
    11
  3. C
    14
  4. D
    18
  5. 22Cevap

Cevap

Oluşturulan Y değişkeninin varyansı 22'dir.
Çok değişkenli normal dağılımda moment çıkaran fonksiyon genel formülü M(t)=exp⁡(t′μ+12t′Σt)M(\mathbf{t}) = \exp(\mathbf{t}'\boldsymbol{\mu} + \frac{1}{2}\mathbf{t}'\boldsymbol{\Sigma}\mathbf{t}) şeklindedir. Verilen fonksiyonda üslü ifadenin karesel kısmı 12(2t12−2t1t2+4t22)\frac{1}{2}(2t_1^2 - 2t_1 t_2 + 4t_2^2) olarak düzenlendiğinde, X1X_1'in varyansı σ12=2\sigma_1^2 = 2, X2X_2'nin varyansı σ22=4\sigma_2^2 = 4 ve kovaryans σ12=−1\sigma_{12} = -1 olarak bulunur. Y=X1−2X2Y = X_1 - 2X_2 doğrusal dönüşümünün varyansı ise V(Y)=V(X1)+4V(X2)−4Cov(X1,X2)=2+4(4)−4(−1)=22V(Y) = V(X_1) + 4V(X_2) - 4Cov(X_1, X_2) = 2 + 4(4) - 4(-1) = 22 sonucunu verir. (Alternatif olarak MY(t)=M(t,−2t)M_Y(t) = M(t, -2t) yazılarak e−t+11t2e^{-t + 11t^2} elde edilir, buradan 12σY2=11  ⟹  σY2=22\frac{1}{2}\sigma_Y^2 = 11 \implies \sigma_Y^2 = 22 bulunur.)

Adım Adım Çözüm

1
Moment çıkaran fonksiyondan (MGF) parametreleri belirleme
12σ12=1  ⟹  σ12=2\frac{1}{2}\sigma_1^2 = 1 \implies \sigma_1^2 = 2
σ12=−1\sigma_{12} = -1
12σ22=2  ⟹  σ22=4\frac{1}{2}\sigma_2^2 = 2 \implies \sigma_2^2 = 4
Çok değişkenli normal dağılımın MGF'sinde varyans ve kovaryans değerleri karesel terimlerin katsayılarından elde edilir.
2
Doğrusal bileşimin varyans formülünü uygulama
V(Y)=2+4(4)−4(−1)=2+16+4=22V(Y) = 2 + 4(4) - 4(-1) = 2 + 16 + 4 = 22
Varyans operatörünün doğrusal kombinasyonlara uygulanma kuralı gereği, katsayıların kareleri alınır ve çapraz terimlerde katsayılar çarpımı kovaryans ile çarpılır.

Anahtar Kavram

Çok Değişkenli Normal Dağılımın Moment Çıkaran Fonksiyonu
Bu soruyu puanla

Konular

Çok Değişkenli Normal Dağılımın Moment Çıkaran Fonksiyonu

Bu konudan daha fazla soru