Examkin

Soru

Zorluk: ZorÇok Değişkenli Normal Dağılımın Moment Çıkaran Fonksiyonu

X=[X1X2]\mathbf{X} = \begin{bmatrix} X_1 \\ X_2 \end{bmatrix} iki değişkenli normal dağılıma sahip bir rasgele vektör olmak üzere, X\mathbf{X}'in moment çıkaran fonksiyonu aşağıdaki gibi verilmiştir:

MX(t1,t2)=exp⁡(2t1−3t2+2t12−2t1t2+4t22)M_{\mathbf{X}}(t_1, t_2) = \exp(2t_1 - 3t_2 + 2t_1^2 - 2t_1t_2 + 4t_2^2)

Buna göre, Y=X1+2X2Y = X_1 + 2X_2 rasgele değişkeninin moment çıkaran fonksiyonu MY(t)M_Y(t) aşağıdakilerden hangisidir?

  1. A
    exp⁡(−4t+18t2)\exp(-4t + 18t^2)
  2. B
    exp⁡(−4t+8t2)\exp(-4t + 8t^2)
  3. exp⁡(−4t+14t2)\exp(-4t + 14t^2)Cevap
  4. D
    exp⁡(−4t+28t2)\exp(-4t + 28t^2)
  5. E
    exp⁡(−4t+7t2)\exp(-4t + 7t^2)

Cevap

exp⁡(−4t+14t2)\exp(-4t + 14t^2) ifadesi doğru fonksiyondur.
Çok değişkenli moment çıkaran fonksiyondaki katsayılar eşleştirildiğinde ortalamalar μ1=2,μ2=−3\mu_1 = 2, \mu_2 = -3 ve varyans-kovaryans elemanları σ11=4,σ22=8,σ12=−2\sigma_{11} = 4, \sigma_{22} = 8, \sigma_{12} = -2 olarak bulunur. Y=X1+2X2Y = X_1 + 2X_2 doğrusal kombinasyonu için ortalama μY=2+2(−3)=−4\mu_Y = 2 + 2(-3) = -4, varyans ise V(Y)=4+4(8)+4(−2)=28V(Y) = 4 + 4(8) + 4(-2) = 28 olur. Tek değişkenli normal dağılım MGF formülüne (exp⁡(μt+0.5σ2t2)\exp(\mu t + 0.5\sigma^2 t^2)) bu değerler yazıldığında doğru sonuç exp⁡(−4t+14t2)\exp(-4t + 14t^2) elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1
Verilen çok değişkenli moment çıkaran fonksiyonundan ortalama vektörü ve kovaryans matrisi parametrelerinin elde edilmesi
μ1=2,μ2=−3\mu_1 = 2, \mu_2 = -3 ve σ11=4,σ22=8,σ12=−2\sigma_{11} = 4, \sigma_{22} = 8, \sigma_{12} = -2 bulunur.
MX(t)=exp⁡(t′μ+12t′Σt)M_{\mathbf{X}}(\mathbf{t}) = \exp(\mathbf{t}'\boldsymbol{\mu} + \frac{1}{2}\mathbf{t}'\boldsymbol{\Sigma}\mathbf{t}) standart formülü ile katsayılar eşleştirilir.
2
Doğrusal kombinasyonun (Y=X1+2X2Y = X_1 + 2X_2) beklenen değerinin hesaplanması
μY=E(X1)+2E(X2)=2+2(−3)=−4\mu_Y = E(X_1) + 2E(X_2) = 2 + 2(-3) = -4 elde edilir.
Beklenen değer operatörünün doğrusallık özelliği kullanılır.
3
Doğrusal kombinasyonun varyansının hesaplanması
V(Y)=V(X1)+4V(X2)+4Cov(X1,X2)=4+4(8)+4(−2)=28V(Y) = V(X_1) + 4V(X_2) + 4Cov(X_1, X_2) = 4 + 4(8) + 4(-2) = 28 olarak hesaplanır.
V(a′X)=a′ΣaV(\mathbf{a}'\mathbf{X}) = \mathbf{a}'\boldsymbol{\Sigma}\mathbf{a} karesel formülü veya varyansın doğrusal kombinasyon özellikleri gereği.
4
Elde edilen parametrelerin tek değişkenli moment çıkaran fonksiyon formülünde yerine konması
MY(t)=exp⁡(−4t+282t2)=exp⁡(−4t+14t2)M_Y(t) = \exp(-4t + \frac{28}{2}t^2) = \exp(-4t + 14t^2) bulunur.
Normal dağılan YY değişkeni için MY(t)=exp⁡(μYt+12σY2t2)M_Y(t) = \exp(\mu_Y t + \frac{1}{2}\sigma_Y^2 t^2) formülü geçerlidir.

Anahtar Kavram

Çok değişkenli normal dağılımda moment çıkaran fonksiyon ve doğrusal dönüşümler
Bu soruyu puanla

Konular

Çok Değişkenli Normal Dağılımın Moment Çıkaran Fonksiyonu

Bu konudan daha fazla soru