Examkin

Soru

Zorluk: ZorPoisson Süreci

Bir veri tabanı sunucusuna gelen anlık sorgu istekleri, saniyede ortalama λ=8\lambda = 8 sorgu oranıyla bir Poisson süreci, {N(t),t≥0}\{N(t), t \geq 0\}, olarak modellenmektedir.

Buna göre, bu süreç ile ilgili aşağıdaki ifadelerden hangisi kesinlikle doğrudur?

  1. A
    Herhangi bir 33 saniyelik zaman aralığında tam olarak 22 sorgu gelme olasılığı, süreç parametresi zamanla değişmediği için P(N(3)=2)=e−8822!P(N(3)=2) = \frac{e^{-8} 8^2}{2!} olarak hesaplanır.
  2. B
    Sürecin herhangi bir tt zaman aralığında sunucuya ulaşan toplam sorgu sayısı N(t)N(t), olasılık yoğunluk fonksiyonu f(t)=8e−8tf(t) = 8e^{-8t} olan sürekli bir dağılımla modellenir.
  3. Sürece ait ardışık iki sorgu arasındaki bekleme süreleri üstel dağılıma sahiptir ve sürecin bağımsız artışlar özelliği gereği, kesişmeyen zaman aralıklarında gerçekleşen sorgu sayıları birbirinden bağımsızdır.Cevap
  4. D
    Sürecin herhangi bir tt anındaki toplam sorgu sayısı N(t)N(t) için, bu rastgele değişken 22 katsayısı ile çarpıldığında varyansı Var(2N(t))=2⋅Var(N(t))=16tVar(2N(t)) = 2 \cdot Var(N(t)) = 16t olur.
  5. E
    Sürecin bağımsız artışlara sahip olması, [0,1][0, 1] zaman aralığında sorgu gelmesi olayı ile [1,2][1, 2] zaman aralığında sorgu gelmesi olaylarının ayrık (kesişimi boş küme) olaylar olduğunu ifade eder.

Cevap

Ardışık iki sorgu isteği arasında geçen süre üstel dağılıma sahiptir ve sürecin bağımsız artışlar özelliği gereği, kesişmeyen zaman aralıklarında gerçekleşen sorgu sayıları birbirinden bağımsızdır.
Poisson sürecinde, ardışık olaylar (sorgular) arasında geçen bekleme süreleri her zaman üstel dağılıma sahiptir. Aynı zamanda bu süreç 'bağımsız artışlar' (independent increments) özelliğine sahiptir; bu da kesişmeyen (farklı) zaman aralıklarında gözlemlenen olay sayılarının rastgele değişkenler olarak birbirinden bütünüyle bağımsız olduğu anlamına gelir.

Adım Adım Çözüm

1
Poisson sürecinde zaman parametresi ile olayın sayısının (kesikli) ve bekleme süresinin (sürekli) dağılımlarını belirlemek.
Olay sayısı (N(t)) Poisson dağılımına, bekleme süresi (T) Üstel dağılıma uyar.
Poisson sürecinin teorik tanımı gereği, olayların geliş sayıları kesikli iken geçen süre süreklidir.
2
Bağımsız artışlar özelliğinin anlamını analiz etmek.
Kesişmeyen (ayrık) zaman aralıklarındaki olay sayıları birbirinden bağımsız rastgele değişkenlerdir.
Sürecin geçmişten bağımsız olarak sadece aralığın uzunluğuna bağlı olmasını sağlayan temel özelliktir.
3
Seçeneklerdeki ifadelerin doğruluğunu teorem ve kurallara göre test etmek.
Doğru olan tek ifade, bekleme sürelerinin üstel dağıldığı ve ayrık zaman aralıklarındaki artışların bağımsız olduğu C seçeneğindeki ifadedir.
Diğer ifadeler; oran parametresinin zamanla ölçeklenmemesi, varyans hesabı hatası ve ayrıklık-bağımsızlık kavramlarının karıştırılmasını içermektedir.

Anahtar Kavram

Poisson Sürecinin Özellikleri ve Dağılım İlişkileri
Bu soruyu puanla

Konular

Poisson Süreci

Bu konudan daha fazla soru