Poisson Süreci Alıştırma Soruları — KPSS İstatistik

Soru 1Soru →

Bir kamu kurumunun evrak kayıt birimine gelen dilekçeler, saatte ortalama $\lambda = 12$ dilekçe oranına sahip bir Poisson süreci $\{N(t), t \geq 0\}$ ile modellenmektedir. (Zaman parametresi $t$ , saat cinsinden ifade edilmektedir).

Bu süreçle ilgili aşağıdakilerden hangisi doğrudur?

Herhangi bir 20 dakikalık zaman diliminde tam olarak 2 dilekçe gelme olasılığı

8e^{-4}

'tür.

Ardışık iki dilekçe başvurusu arasında geçen bekleme süresi, beklenen değeri

\frac{1}{12}

olan bir Poisson dağılımına sahiptir.

Herhangi bir 30 dakikalık zaman diliminde hiç dilekçe gelmeme olasılığı

e^{-12}

'dir.

10:00 - 10:30 ile 10:15 - 10:45 saatleri arasındaki dilekçe sayıları, sürecin bağımsız artışlar özelliğinden dolayı birbirinden bağımsızdır.

Kurumun 1 saatlik işlem maliyeti

Y = 5N(1) + 100

(TL) fonksiyonu ile tanımlandığında, bu maliyetin varyansı

160

'tır.

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: Herhangi bir 20 dakikalık zaman diliminde tam olarak 2 dilekçe gelme olasılığı $8e^{-4}$ 'tür.

Cevap

Herhangi bir 20 dakikalık zaman diliminde tam olarak 2 dilekçe gelme olasılığının

8e^{-4}

olduğunu belirten ifade doğrudur.

Poisson sürecinde

t

uzunluğundaki bir zaman diliminde gerçekleşen olay sayısı, ortalaması

\lambda t

olan bir Poisson dağılımına uyar. 20 dakikalık süre,

t = 1/3

saate denktir. Beklenen olay sayısı

12 \times (1/3) = 4

olarak bulunur. Poisson formülünde (

\mu=4, k=2

) değerleri yerine konulduğunda, sonuç

\frac{e^{-4} 4^2}{2!} = 8e^{-4}

olarak doğru şekilde elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1

İstenen zaman dilimini uygun birime (saat) dönüştürme ve yeni oran parametresini hesaplama.

t = 20 \text{ dakika} = \frac{1}{3} \text{ saat}

. Yeni ortalama

\lambda t = 12 \times \frac{1}{3} = 4

bulunur.

Poisson sürecinde verilen temel

\lambda

değeri 1 saatliktir; olasılık hesabı için

t

uzunluğundaki süreye ait ortalama bulunmalıdır.

2

Poisson olasılık kütle fonksiyonunu kullanarak tam olarak 2 olayın gerçekleşme olasılığını bulma.

P(X = 2) = \frac{e^{-4} \times 4^2}{2!} = \frac{16e^{-4}}{2} = 8e^{-4}

sonucu elde edilir.

Bir Poisson rastgele değişkeni için nokta olasılığı formülü

P(X=k) = \frac{e^{-\mu} \mu^k}{k!}

şeklindedir.

3

Diğer seçeneklerin teorik doğruluğunu kontrol etme.

Bekleme sürelerinin üstel dağıldığı, 30 dakika için ortalamanın 6 olması gerektiği, kesişen aralıkların bağımsız olmadığı ve varyans hesabında katsayının karesinin alınması gerektiği teyit edilir.

Soru formatı diğer seçeneklerdeki kavramsal yanılgıları ve tuzakları test etmektedir.

Anahtar Kavram

Poisson Sürecinin Temel Özellikleri (Oran Ölçekleme, Bekleme Süreleri ve Bağımsız Artışlar)

Tahmini Süre:2m 30s

Soru 2Soru →

Bir belediyenin çağrı merkezine gelen altyapı arıza bildirimleri, saatte ortalama $\lambda = 5$ bildirim oranıyla bir Poisson süreci, $\{N(t), t \geq 0\}$ , olarak modellenmektedir.

Buna göre, bu süreçle ilgili aşağıdaki ifadelerden hangisi doğrudur?

Ardışık iki arıza bildirimi arasında geçen süre, beklenen değeri

0,20

saat olan üstel dağılıma sahiptir.

Ardışık iki arıza bildirimi arasında geçen süre, parametresi

\lambda = 5

olan Poisson dağılımı ile modellenir.

Herhangi bir

2

saatlik zaman diliminde çağrı merkezine hiç arıza bildirimi gelmeme olasılığı

e^{-5}

'tir.

Sürecin

3

saatlik herhangi bir zaman dilimi içerisindeki toplam bildirim sayısının varyansı

45

'tir.

İlk saat içerisinde en az bir bildirim gelmesi olayı ile ikinci saat içerisinde en az bir bildirim gelmesi olayı birbirinden ayrık olaylardır.

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: Ardışık iki arıza bildirimi arasında geçen süre, beklenen değeri $0,20$ saat olan üstel dağılıma sahiptir.

Cevap

Doğru seçenek, ardışık iki bildirim arasındaki sürenin beklenen değeri 0,20 saat olan üstel dağılıma sahip olduğunu belirten ifadedir.

Poisson sürecinin en temel matematiksel özelliklerinden biri, olayların sayısının Poisson dağılımına uymasına karşılık, iki ardışık olay arasında geçen sürenin Üstel (Exponential) dağılıma sahip olmasıdır.

\lambda = 5

bildirim/saat olduğuna göre, bekleme süresinin beklenen değeri

1/\lambda = 1/5 = 0,20

saattir. Bu nedenle ifade kesinlikle doğrudur.

Adım Adım Çözüm

1

Poisson sürecinin temel tanımını ve parametresini belirleme

Süreç parametresi

\lambda = 5

bildirim/saat olarak tespit edilir.

Zaman içindeki olayların sayısını ve gelişler arası sürenin dağılımını ifade etmek için oran parametresi gereklidir.

2

Gelişler arası sürenin (interarrival time) dağılımını ve beklenen değerini hesaplama

Gelişler arası süre

T \sim \text{Üstel}(\lambda=5)

dağılımına uyar. Beklenen değer

E[T] = \frac{1}{\lambda} = \frac{1}{5} = 0,20

saattir.

Poisson süreci tanımına göre ardışık iki olay arasındaki zaman sürekli bir rastgele değişkendir ve daima üstel dağılıma sahiptir.

3

Seçeneklerdeki ifadelerin doğruluğunu süreç özellikleri üzerinden kontrol etme

Zaman ölçekleme (

\lambda t

), bağımsız artışlar özelliği ve rastgele değişkenlerde varyans özellikleri kullanılarak diğer ifadelerdeki matematiksel hatalar tespit edilir.

Soruda hangi ifadenin kesinlikle doğru olduğu sorulduğundan, hatalı çeldirici önermelerin kavramsal yanlışlıkları ispatlanmalıdır.

Anahtar Kavram

Poisson sürecinde ardışık olaylar arası zamanın dağılımı, zaman ölçeklemesi ve bağımsız artışlar

Soru 3Soru →

Bir ilçe nüfus müdürlüğüne pasaport işlemi için gelen randevusuz vatandaşların gelişleri, saatte ortalama $\lambda = 3$ kişi oranıyla bir Poisson süreci, $\{N(t), t \geq 0\}$ , olarak modellenmektedir.

Buna göre, bu süreçle ilgili aşağıdaki ifadelerden hangisi doğrudur?

Herhangi bir

2

saatlik zaman diliminde tam olarak

4

vatandaş gelme olasılığı

\frac{e^{-3}3^4}{4!}

formülü ile hesaplanır.

Ardışık iki vatandaşın gelişleri arasında geçen süre, beklenen değeri

3

saat olan üstel dağılıma sahiptir.

Sürecin herhangi bir

t

zaman aralığındaki olay sayısının varyansı

3t^2

'dir.

Ayrık zaman aralıkları olan 09:00-10:00 ile 10:00-12:00 saatleri arasında kuruma gelen vatandaş sayıları birbiriyle bağımlı rastgele değişkenlerdir.

Sürecin ilk bir saati içinde tam olarak

2

vatandaş gelmiş olması koşuluyla, başlangıçtan itibaren ilk üç saatin sonuna kadar toplam

5

vatandaş gelmiş olma olasılığı

\frac{e^{-6}6^3}{3!}

'tür.

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: Sürecin ilk bir saati içinde tam olarak $2$ vatandaş gelmiş olması koşuluyla, başlangıçtan itibaren ilk üç saatin sonuna kadar toplam $5$ vatandaş gelmiş olma olasılığı $\frac{e^{-6}6^3}{3!}$ 'tür.

Cevap

Doğru ifade, sürecin bağımsız ve durağan artışlar özelliğini doğru şekilde uygulayan ve koşullu olasılığı

\frac{e^{-6}6^3}{3!}

olarak veren ifadedir.

Poisson süreci bağımsız ve durağan artışlar özelliklerine sahiptir. İstenen durum

P(N(3)=5 | N(1)=2)

şeklinde ifade edilebilir. Bağımsız artışlar özelliği gereği, ayrık aralıklar olan

(0, 1]

ve

(1, 3]

birbirini etkilemez; yani

N(3)-N(1)

ile

N(1)

bağımsızdır. Bu yüzden ifade

P(N(3)-N(1)=3)

olasılığına dönüşür. Durağan artışlar özelliği gereği bu, 2 saatlik herhangi bir aralıkta 3 kişi gelme olasılığına, yani

P(N(2)=3)

'e eşittir. Oran parametresi 2 saat için

\lambda t = 3 \times 2 = 6

olacağından, Poisson olasılık formülü ile sonuç

\frac{e^{-6}6^3}{3!}

olarak doğru şekilde bulunur.

Adım Adım Çözüm

1

Koşullu olasılık ifadesindeki aralıkları ve olay sayılarını tanımlama.

İstenen olasılık

P(N(3)=5 | N(1)=2)

şeklinde yazılır. Bu ifade

P(N(3)-N(1)=3 | N(1)=2)

ile aynı anlama gelir.

İlk bir saatte 2 kişi geldiğine göre, toplamda 5 kişi olması için sonraki 2 saatlik zaman diliminde tam olarak 3 kişinin gelmesi gerekmektedir.

2

Poisson sürecinin bağımsız artışlar özelliğini uygulama.

N(3)-N(1)

rastgele değişkeni ile

N(1)

rastgele değişkeni birbirinden bağımsızdır. Bu nedenle koşul düşer:

P(N(3)-N(1)=3)

.

(0, 1]

aralığı ile

(1, 3]

aralığı birbiriyle kesişmeyen ayrık zaman aralıklarıdır.

3

Durağan artışlar özelliğini ve ölçeklenmiş oran parametresini kullanarak olasılığı hesaplama.

2 saatlik aralık için yeni ortalama

\lambda t = 3 \times 2 = 6

'dır. Formül uygulanırsa:

P(N(2)=3) = \frac{e^{-6}6^3}{3!}

sonucu elde edilir.

N(3)-N(1)

'in dağılımı

N(2)

'nin dağılımı ile aynıdır ve

6

parametreli Poisson dağılımına uyar.

Anahtar Kavram

Poisson Süreci Özellikleri (Bağımsız Artışlar, Durağan Artışlar, Beklenen Değer ve Varyans)

Tahmini Süre:1m 30s

Soru 4Soru →

Bir veri tabanı sunucusuna gelen anlık sorgu istekleri, saniyede ortalama $\lambda = 8$ sorgu oranıyla bir Poisson süreci, $\{N(t), t \geq 0\}$ , olarak modellenmektedir.

Buna göre, bu süreç ile ilgili aşağıdaki ifadelerden hangisi kesinlikle doğrudur?

Herhangi bir

3

saniyelik zaman aralığında tam olarak

2

sorgu gelme olasılığı, süreç parametresi zamanla değişmediği için

P(N(3)=2) = \frac{e^{-8} 8^2}{2!}

olarak hesaplanır.

Sürecin herhangi bir

t

zaman aralığında sunucuya ulaşan toplam sorgu sayısı

N(t)

, olasılık yoğunluk fonksiyonu

f(t) = 8e^{-8t}

olan sürekli bir dağılımla modellenir.

Sürece ait ardışık iki sorgu arasındaki bekleme süreleri üstel dağılıma sahiptir ve sürecin bağımsız artışlar özelliği gereği, kesişmeyen zaman aralıklarında gerçekleşen sorgu sayıları birbirinden bağımsızdır.

Sürecin herhangi bir

t

anındaki toplam sorgu sayısı

N(t)

için, bu rastgele değişken

2

katsayısı ile çarpıldığında varyansı

Var(2N(t)) = 2 \cdot Var(N(t)) = 16t

olur.

Sürecin bağımsız artışlara sahip olması,

[0, 1]

zaman aralığında sorgu gelmesi olayı ile

[1, 2]

zaman aralığında sorgu gelmesi olaylarının ayrık (kesişimi boş küme) olaylar olduğunu ifade eder.

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: Sürece ait ardışık iki sorgu arasındaki bekleme süreleri üstel dağılıma sahiptir ve sürecin bağımsız artışlar özelliği gereği, kesişmeyen zaman aralıklarında gerçekleşen sorgu sayıları birbirinden bağımsızdır.

Cevap

Ardışık iki sorgu isteği arasında geçen süre üstel dağılıma sahiptir ve sürecin bağımsız artışlar özelliği gereği, kesişmeyen zaman aralıklarında gerçekleşen sorgu sayıları birbirinden bağımsızdır.

Poisson sürecinde, ardışık olaylar (sorgular) arasında geçen bekleme süreleri her zaman üstel dağılıma sahiptir. Aynı zamanda bu süreç 'bağımsız artışlar' (independent increments) özelliğine sahiptir; bu da kesişmeyen (farklı) zaman aralıklarında gözlemlenen olay sayılarının rastgele değişkenler olarak birbirinden bütünüyle bağımsız olduğu anlamına gelir.

Adım Adım Çözüm

1

Poisson sürecinde zaman parametresi ile olayın sayısının (kesikli) ve bekleme süresinin (sürekli) dağılımlarını belirlemek.

Olay sayısı (N(t)) Poisson dağılımına, bekleme süresi (T) Üstel dağılıma uyar.

Poisson sürecinin teorik tanımı gereği, olayların geliş sayıları kesikli iken geçen süre süreklidir.

2

Bağımsız artışlar özelliğinin anlamını analiz etmek.

Kesişmeyen (ayrık) zaman aralıklarındaki olay sayıları birbirinden bağımsız rastgele değişkenlerdir.

Sürecin geçmişten bağımsız olarak sadece aralığın uzunluğuna bağlı olmasını sağlayan temel özelliktir.

3

Seçeneklerdeki ifadelerin doğruluğunu teorem ve kurallara göre test etmek.

Doğru olan tek ifade, bekleme sürelerinin üstel dağıldığı ve ayrık zaman aralıklarındaki artışların bağımsız olduğu C seçeneğindeki ifadedir.

Diğer ifadeler; oran parametresinin zamanla ölçeklenmemesi, varyans hesabı hatası ve ayrıklık-bağımsızlık kavramlarının karıştırılmasını içermektedir.

Anahtar Kavram

Poisson Sürecinin Özellikleri ve Dağılım İlişkileri

Soru 5Soru →

Bir semt polikliniğine muayene için gelen hastaların varışları, saatte ortalama $\lambda = 12$ hasta oranıyla bir Poisson süreci, $\{N(t), t \geq 0\}$ , olarak modellenmektedir. Buna göre, polikliniğe gelen ardışık iki hasta arasında geçen sürenin beklenen değeri kaç dakikadır?

2

5

10

12

60

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 5

Cevap

Ardışık iki hasta arasında geçen sürenin beklenen değeri 5 dakikadır.

Doğru yanıt olan 5 dakikaya, Poisson sürecindeki gelişler arası sürenin

\lambda = 12

parametreli üstel dağılım gösterdiği ve beklenen değerin

E[T] = 1/\lambda = 1/12

saat olduğu bilgisiyle ulaşılır.

1/12

saat,

60

ile çarpıldığında

5

dakikaya karşılık gelir.

Adım Adım Çözüm

1

Poisson sürecinde gelişler arası zaman dağılımının belirlenmesi

Gelişler arası süre

T \sim \text{Üstel}(\lambda)

dağılımına sahiptir.

Poisson sürecinin temel özelliğine göre, olaylar arası geçen süreler

\lambda

parametreli üstel dağılım gösterir.

2

Beklenen değer formülünün uygulanması

E[T] = \frac{1}{\lambda} = \frac{1}{12}

saat

Üstel dağılımın beklenen değeri oran parametresinin tersine (

1/\lambda

) eşittir.

3

Sonucun dakika cinsinden hesaplanması

\frac{1}{12} \times 60 = 5

dakika

Soru sonucu dakika cinsinden istemektedir, bu nedenle saat birimi dakikaya çevrilmelidir.

Anahtar Kavram

Poisson sürecinde olaylar arasındaki süreler (inter-arrival times), sürecin oranı olan

\lambda

parametresiyle üstel dağılım gösterir ve bu sürelerin ortalaması

1/\lambda

değerine eşittir.

Tahmini Süre:45s

Soru 6Soru →

Bir organize sanayi bölgesindeki elektrik trafolarında meydana gelen arızaların sayısı, saatte ortalama $\lambda$ arıza olan bir Poisson süreci $\{N(t), t \geq 0\}$ ile modellenmektedir.

Buna göre, $t$ saatlik bir zaman diliminde meydana gelen toplam arıza sayısı $N(t)$ rastgele değişkeninin olasılık dağılımı ve bu dağılıma ait parametre aşağıdakilerden hangisidir?

Poisson dağılımı; parametre

\lambda

Poisson dağılımı; parametre

\lambda t

Üstel dağılım; parametre

\lambda

Üstel dağılım; parametre

\lambda t

Binom dağılımı; parametreler

n=t, p=\lambda

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: Poisson dağılımı; parametre $\lambda t$

Cevap

Toplam arıza sayısı

N(t)

, parametresi

\lambda t

olan Poisson dağılımı ile modellenir.

Poisson sürecinin tanımı gereği, belirli bir

t

zaman aralığında gerçekleşen toplam olay sayısı

N(t)

, ortalaması

\lambda t

olan bir Poisson dağılımı izler. Burada

\lambda

birim zamandaki olay oranını,

t

ise geçen toplam süreyi temsil eder.

Adım Adım Çözüm

1

Poisson süreci tanımını analiz edin.

Poisson süreci

\{N(t), t \geq 0\}

, birim zamanda ortalama

\lambda

olay gerçekleşen bir sistemde

[0, t]

aralığındaki toplam olay sayısını ifade eder.

Sürecin temel tanımı, zaman aralığına bağlı olay sayısının dağılımını belirler.

2

Dağılımın parametresini ölçeklendirin.

Eğer birim zamandaki (1 saat) ortalama olay sayısı

\lambda

ise,

t

saatlik sürede beklenen olay sayısı

E[N(t)] = \lambda \times t

olur.

Poisson dağılımında beklenen değer (ortalama), dağılımın tek parametresine eşittir.

3

Dağılım türünü ve nihai parametreyi belirleyin.

N(t) \sim \text{Poisson}(\lambda t)

olduğu sonucuna varılır.

Poisson süreci özelliklerine göre, belirli bir aralıktaki sayım verileri Poisson dağılımı izler.

Anahtar Kavram

Poisson sürecinde

N(t)

değişkeni, hızı

\lambda

ve süresi

t

olan olaylar için

\text{Poisson}(\lambda t)

dağılımına sahiptir.

Daha Fazla Pratik

Poisson sürecinde ardışık iki olay arasındaki sürenin (inter-arrival time) beklenen değerini hesaplayarak kavramlar arasındaki farkı pekiştirebilirsiniz.

Tahmini Süre:45s

Soru 7Soru →

Bir kamu kütüphanesine gelen okuyucuların varışları, saatte ortalama $\lambda = 6$ kişi olan, bağımsız ve durağan artışlara sahip bir Poisson süreci ile modellenmektedir. Buna göre, kütüphaneye gelen ilk okuyucunun varış süresinin $20$ dakikadan fazla olma olasılığı aşağıdakilerden hangisidir?

e^{-6}

e^{-2}

1 - e^{-2}

e^{-120}

e^{-1/3}

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: $e^{-2}$

Cevap

İstenen olasılık

e^{-2}

değerine eşittir.

Poisson sürecinde, gelişler arası sürenin

t

süresinden fazla olması, o

t

süresi boyunca hiç olay gerçekleşmemesi durumuna eşittir. Saatte ortalama

6

kişi gelen bir süreçte,

20

dakikalık (

1/3

saat) bir sürede beklenen geliş sayısı

\lambda t = 6 \times (1/3) = 2

olur. Poisson formülüne göre hiç geliş olmama olasılığı

e^{-2}

olarak bulunur.

Adım Adım Çözüm

1

Parametreleri tanımlayın ve birimleri eşitleyin.

\lambda = 6

kişi/saat;

t = 20

dakika =

1/3

saat.

Olasılık hesaplaması için zaman birimi ile geliş oranının birimi aynı (saat) olmalıdır.

2

Poisson süreci ile Üstel dağılım arasındaki ilişkiyi kurun.

P(T_1 > t) = P(N(t) = 0)

İlk geliş süresinin

t

zamanından büyük olması, o süre zarfında sürece hiç varış (okuyucu) gelmemesi durumuna eşdeğerdir.

3

Belirli zaman aralığı için ortalama geliş sayısını (\mu = \lambda t) hesaplayın.

\mu = 6 \times \frac{1}{3} = 2

.

Poisson dağılımının parametresi, birim oran ile geçen sürenin çarpımıdır.

4

Poisson olasılık formülünü kullanarak hiç geliş olmama olasılığını bulun.

P(N(1/3) = 0) = \frac{e^{-2} \cdot 2^0}{0!} = e^{-2}

.

x=0

için Poisson olasılık kütle fonksiyonu uygulanmıştır.

Anahtar Kavram

Poisson Süreci ve Bekleme Süreleri İlişkisi

Daha Fazla Pratik

Aynı süreç için ardışık iki okuyucu arasındaki sürenin beklenen değerini dakika cinsinden hesaplayarak Üstel dağılım özelliklerini pekiştirebilirsiniz.

Tahmini Süre:45s

Soru 8Soru →

Bir hava trafik kontrol merkezine giren uçakların sayısı, saatte ortalama $\lambda = 4$ uçak oranıyla bir Poisson süreci, $\{N(t), t \geq 0\}$ , olarak modellenmektedir.

Sürecin durağan ve bağımsız artışlara (independent and stationary increments) sahip olduğu varsayımı altında;
I. İlk saatte tam olarak 5 uçak girdiği bilindiğinde, ikinci ve üçüncü saatler arasındaki 2 saatlik zaman diliminde (yani $t=1$ ile $t=3$ saatleri arasında) merkeze tam olarak 6 uçak girme olasılığı ( $P$ ),
II. Art arda gelen iki uçağın merkeze girişi arasında geçen sürenin beklenen değeri ( $E[T]$ , dakika cinsinden)

aşağıdakilerin hangisinde sırasıyla doğru olarak verilmiştir?

P = \frac{8^6 e^{-8}}{6!}

ve

E[T] = 15

P = \frac{4^6 e^{-4}}{6!}

ve

E[T] = 15

P = \frac{8^6 e^{-8}}{6!}

ve

E[T] = 4

P = \frac{4^6 e^{-4}}{6!}

ve

E[T] = 0,25

P = \frac{12^6 e^{-12}}{6!}

ve

E[T] = 15

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: $P = \frac{8^6 e^{-8}}{6!}$ ve $E[T] = 15$

Cevap

İki saatlik dilim için 6 uçak gelme olasılığı

P = \frac{8^6 e^{-8}}{6!}

ve gelişler arası beklenen süre

E[T] = 15

dakikadır.

Soru, Poisson sürecinin bağımsız ve durağan artışlar özellikleri ile Üstel dağılımla olan ilişkisini sınamaktadır. Bağımsız artışlar özelliği gereği, ilk saatteki uçak sayısı (5), sonraki zaman dilimlerini etkilemez. Durağan artışlar kuralına göre,

t=1

ile

t=3

saatleri arasındaki 2 saatlik periyotta gerçekleşen uçak giriş sayısı

N(3) - N(1)

,

\lambda \cdot t = 4 \cdot 2 = 8

parametreli Poisson dağılımına sahiptir. Dolayısıyla tam olarak 6 uçak girme olasılığı

P = \frac{8^6 e^{-8}}{6!}

olur. Ek olarak, Poisson sürecinde ardışık iki geliş arasındaki süre Üstel dağılıma uyar ve beklenen değeri

E[T] = 1/\lambda

saattir.

1/4

saat, 15 dakikaya eşittir. Olasılığı ölçeklenmiş parametreyle hesaplayan ve beklenen süreyi 15 dakika olarak veren seçenek doğru yanıttır.

Adım Adım Çözüm

1

Bağımsız ve durağan artışlar özelliğini kullanarak incelenecek zaman aralığını ve yeni oran parametresini belirle.

N(3) - N(1)

rassal değişkeni, ilk saatteki gelişlerden tamamen bağımsızdır. Aradaki süre

t = 3 - 1 = 2

saattir. Yeni oran parametresi

\lambda \cdot t = 4 \cdot 2 = 8

olur.

Poisson sürecinde kesişmeyen zaman aralıklarındaki olay sayıları birbirinden bağımsızdır (bağımsız artışlar) ve sadece aralığın uzunluğuna bağlıdır (durağan artışlar).

2

Belirlenen parametre ile Poisson olasılık fonksiyonunu hesapla.

P(N(3) - N(1) = 6) = \frac{8^6 e^{-8}}{6!}

elde edilir.

Poisson olasılık kütle fonksiyonu

P(X=k) = \frac{(\lambda t)^k e^{-\lambda t}}{k!}

formülüyle hesaplanır.

3

Ardışık iki olay arasındaki sürenin beklenen değerini hesapla ve dakika cinsine çevir.

Gelişler arası süre Üstel dağılıma sahiptir.

E[T] = \frac{1}{\lambda} = \frac{1}{4}

saat. Dakikaya çevrildiğinde

\frac{1}{4} \cdot 60 = 15

dakika bulunur.

Poisson sürecinde ardışık olaylar arası geçen süre

\lambda

parametreli Üstel dağılıma uyar ve beklenen değeri

1/\lambda

'dır.

Anahtar Kavram

Poisson Süreci, Bağımsız ve Durağan Artışlar, Üstel Dağılım İlişkisi

Soru 9Soru →

Bir gümrük kapısına gelen tırların sayısı, saatte ortalama $\lambda = 2$ tır oranıyla bir Poisson süreci, $\{N(t), t \geq 0\}$ , olarak modellenmektedir.

Buna göre, bu stokastik süreçle ilgili aşağıdaki ifadelerden hangisi kesinlikle doğrudur?

Ardışık iki tırın geliş zamanları arasındaki süre, beklenen değeri 30 dakika olan üstel dağılıma sahiptir.

Herhangi bir 3 saatlik periyotta gümrük kapısına tam olarak 4 tır gelme olasılığı

\frac{2^4 e^{-2}}{4!}

formülü ile hesaplanır.

Belirli bir tırın gelişinden sonra, bir sonraki tırın gelmesine kadar geçen sürenin dağılımı

\lambda = 2

parametreli Poisson dağılımıdır.

Sürecin

(0, 2]

saatleri arasındaki tır geliş sayısı ile

(1, 3]

saatleri arasındaki tır geliş sayısı birbirinden bağımsız rastgele değişkenlerdir.

Sürecin herhangi bir

t

saatlik zaman diliminde gelen tır sayısının varyansı

2t^2

değerine eşittir.

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: Ardışık iki tırın geliş zamanları arasındaki süre, beklenen değeri 30 dakika olan üstel dağılıma sahiptir.

Cevap

Ardışık iki tırın geliş zamanları arasındaki süre, beklenen değeri 30 dakika olan üstel dağılıma sahiptir.

Poisson süreçlerinin doğası gereği, iki olay arasında geçen bekleme süresi Üstel (Exponential) dağılıma sahiptir. Parametresi saatlik

\lambda = 2

olan bir dağılımda, beklenen bekleme süresi

1/\lambda = 1/2

saattir. Bu da 30 dakikaya eşdeğerdir ve ifade tamamen doğrudur.

Adım Adım Çözüm

1

Sürecin temel oran parametresini ve birimini belirlemek.

Geliş oranı

\lambda = 2

tır/saat olarak verilmiştir.

Olay sayısını ve zamanlar arası dağılımı hesaplayabilmek için referans oranın tespiti gereklidir.

2

Poisson sürecinin gelişler arası zaman (interarrival time) dağılımını ve beklenen değerini formüle etmek.

Gelişler arası süre

T \sim Exp(2)

dağılımına sahiptir. Beklenen değer

E[T] = 1/\lambda = 1/2

saat (30 dakika) olarak bulunur.

Zaman içinde homojen olan Poisson sürecinin temel özelliklerinden biri, bekleme sürelerinin üstel dağılım göstermesidir.

3

Diğer seçeneklerde yer alan iddiaları Poisson dağılımı kuralları ile test etmek.

Artışların bağımsızlığı için aralıkların kesişmemesi gerektiği,

t

aralığındaki olay sayısının oranının

\lambda t

olarak revize edilmesi gerektiği ve varyansın

\lambda t

olduğu doğrulanarak yanlış seçenekler elenir.

Poisson sürecinde yapılan yaygın konsept hatalarını filtrelemek.

Anahtar Kavram

Poisson sürecinde beklenen değer, bağımsız artışlar ve gelişler arası sürenin Üstel dağılım göstermesi

Soru 10Soru →

Bir kamu kurumunun evrak kayıt servisine gelen dilekçelerin varışları, saatte ortalama $\lambda = 4$ dilekçe olan bir Poisson süreci $\{N(t), t \geq 0\}$ ile modellenmektedir. Buna göre, sisteme ulaşan ardışık iki dilekçe arasında geçen sürenin beklenen değeri kaç dakikadır?

4

15

1/4

16

60

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: $15$

Cevap

Ardışık iki dilekçe arasında geçen sürenin beklenen değeri

15

dakikadır.

Doğru cevap, Poisson sürecinin temel bir özelliği olan olaylar arası sürenin (interarrival time) Üstel dağılım göstermesine dayanır. Oranı

\lambda = 4

olan bu süreçte, ardışık iki dilekçe arasındaki sürenin beklenen değeri

1/\lambda = 1/4

saattir. Bu değer dakikaya çevrildiğinde

15

sonucu elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1

Poisson süreci ile gelişler arası süre arasındaki ilişkinin belirlenmesi

Gelişler arası süre

T \sim \text{Üstel}(\lambda)

Oranı

\lambda

olan bir Poisson sürecinde, ardışık iki olay arasındaki süre parametresi

\lambda

olan Üstel dağılıma sahiptir.

2

Beklenen değer formülünün uygulanması

E[T] = 1/\lambda = 1/4

saat

Üstel dağılımın beklenen değeri oran parametresinin tersine (

1/\lambda

) eşittir.

3

Zaman biriminin dönüştürülmesi

(1/4) \times 60 = 15

dakika

Soru kökünde sonucun dakika cinsinden ifade edilmesi istenmiştir;

1

saat

60

dakikadır.

Anahtar Kavram

Poisson sürecinde ardışık iki olay arasındaki sürenin (interarrival time) beklenen değeri

1/\lambda

formülü ile bulunur.

Poisson Süreci

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Daha Fazla Pratik

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Daha Fazla Pratik

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar