Examkin

Soru

Zorluk: Çok zorİki Değişkenli Normal Dağılım

Bir araştırmacı, bir popülasyondaki bireylerin sistolik kan basıncı (X1X_1) ve kolesterol seviyesi (X2X_2) ölçümlerinin iki değişkenli normal dağılıma uyduğunu modellemiştir. Bu modele ait ortalama vektörü ve varyans-kovaryans matrisi sırasıyla aşağıdaki gibi elde edilmiştir:

μ=[120200],Σ=[2256060100] \mu = \begin{bmatrix} 120 \\ 200 \end{bmatrix}, \quad \Sigma = \begin{bmatrix} 225 & 60 \\ 60 & 100 \end{bmatrix}

Araştırmacı, kolesterol seviyesi X2=230X_2 = 230 olarak ölçülen bir bireyin sistolik kan basıncını (X1X_1) tahmin etmek ve bu tahminin belirsizliğini değerlendirmek istemektedir.

Buna göre, X1X_1'in koşullu beklenen değeri E(X1∣X2=230)E(X_1 | X_2 = 230), koşullu varyansı Var(X1∣X2=230)Var(X_1 | X_2 = 230) ve iki değişkenli normal dağılımda bağımsızlık koşuluyla ilgili aşağıdaki ifadelerden hangisi doğrudur?

  1. A
    E(X1∣X2=230)=120E(X_1 | X_2 = 230) = 120 ve Var(X1∣X2=230)=225Var(X_1 | X_2 = 230) = 225'tir. İki değişkenli normal dağılımda Cov(X1,X2)=0Cov(X_1, X_2) = 0 koşulu, değişkenlerin bağımsız olması için yeterli değildir.
  2. B
    E(X1∣X2=230)=138E(X_1 | X_2 = 230) = 138 ve Var(X1∣X2=230)=225Var(X_1 | X_2 = 230) = 225'tir. İki değişkenli normal dağılımda Cov(X1,X2)=0Cov(X_1, X_2) = 0 koşulu, değişkenlerin bağımsız olması için yeterli değildir.
  3. C
    E(X1∣X2=230)=132E(X_1 | X_2 = 230) = 132 ve Var(X1∣X2=230)=189Var(X_1 | X_2 = 230) = 189'dur. İki değişkenli normal dağılımda Cov(X1,X2)=0Cov(X_1, X_2) = 0 koşulu, değişkenlerin bağımsız olması için yeterlidir.
  4. E(X1∣X2=230)=138E(X_1 | X_2 = 230) = 138 ve Var(X1∣X2=230)=189Var(X_1 | X_2 = 230) = 189'dur. İki değişkenli normal dağılımda Cov(X1,X2)=0Cov(X_1, X_2) = 0 koşulu, değişkenlerin bağımsız olması için yeterlidir.Cevap
  5. E
    E(X1∣X2=230)=138E(X_1 | X_2 = 230) = 138 ve Var(X1∣X2=230)=261Var(X_1 | X_2 = 230) = 261'dir. İki değişkenli normal dağılımda Cov(X1,X2)=0Cov(X_1, X_2) = 0 koşulu, değişkenlerin bağımsız olması için yeterlidir.

Cevap

Doğru ifadede X1X_1'in koşullu beklenen değeri 138, koşullu varyansı 189 olarak verilir ve iki değişkenli normal dağılımda kovaryansın sıfır olmasının bağımsızlık için yeterli olduğu belirtilir.
Verilen soruda matris elemanları incelendiğinde E(X1)=120E(X_1) = 120, E(X2)=200E(X_2) = 200, Var(X1)=225Var(X_1) = 225, Var(X2)=100Var(X_2) = 100 ve Cov(X1,X2)=60Cov(X_1, X_2) = 60'tır. Koşullu beklenen değer formülü E(X1∣X2=230)=120+60100(230−200)=138E(X_1 | X_2 = 230) = 120 + \frac{60}{100}(230-200) = 138 sonucunu verir. Koşullu varyans ise Var(X1)−Cov(X1,X2)2Var(X2)=225−3600100=189Var(X_1) - \frac{Cov(X_1, X_2)^2}{Var(X_2)} = 225 - \frac{3600}{100} = 189 olarak bulunur. Son olarak, iki değişkenli normal dağılımda değişkenlerin korelasyonsuz (kovaryansın sıfır) olması, bağımsız olmaları için yeterli bir şarttır. Tüm bu üç bilginin doğru verildiği tek seçenek doğru yanıttır.

Adım Adım Çözüm

1
Verilen ortalama vektörü ve varyans-kovaryans matrisinden parametrelerin ayrıştırılması.
μ1=120\mu_1 = 120, μ2=200\mu_2 = 200, σ12=225\sigma_1^2 = 225, σ22=100\sigma_2^2 = 100, σ12=60\sigma_{12} = 60. Ayrıca x2=230x_2 = 230 olarak verilmiştir.
Koşullu beklenen değer ve varyans formüllerinde kullanılacak olan marjinal istatistikleri doğrudan matrisler üzerinden belirlemek işlemi basitleştirir.
2
X2=230X_2 = 230 koşulu altında X1X_1'in beklenen değerinin (koşullu ortalamasının) hesaplanması.
E(X1∣X2=230)=μ1+σ12σ22(x2−μ2)=120+60100(230−200)=120+0.6×30=120+18=138E(X_1 | X_2 = 230) = \mu_1 + \frac{\sigma_{12}}{\sigma_2^2} (x_2 - \mu_2) = 120 + \frac{60}{100}(230 - 200) = 120 + 0.6 \times 30 = 120 + 18 = 138.
İki değişkenli normal dağılımda koşullu beklenen değer, diğer değişkendeki sapmanın iki değişken arasındaki regresyon katsayısı (β1∣2\beta_{1|2}) ile çarpılıp marjinal ortalamaya eklenmesiyle elde edilir.
3
X2=230X_2 = 230 koşulu altında X1X_1'in koşullu varyansının hesaplanması.
Var(X1∣X2=230)=σ12−σ122σ22=225−602100=225−3600100=225−36=189Var(X_1 | X_2 = 230) = \sigma_1^2 - \frac{\sigma_{12}^2}{\sigma_2^2} = 225 - \frac{60^2}{100} = 225 - \frac{3600}{100} = 225 - 36 = 189.
Koşullu varyans hesaplanırken X1X_1'in marjinal varyansından X2X_2 ile olan ortak varyans bilgisi düşülür. İki değişkenli normal dağılımda koşullu varyans, X2X_2'nin aldığı değerden (230230) bağımsız sabit bir değerdir.
4
Bağımsızlık teoreminin değerlendirilmesi.
İki değişkenli normal dağılım özelliği nedeniyle Cov(X1,X2)=0Cov(X_1, X_2) = 0 ise bu durum bağımsızlık için yeterlidir.
Genel rastgele değişkenler için kovaryansın sıfır olması bağımsızlığı kesin olarak göstermezken (sadece doğrusal ilişki olmadığını gösterir), Çok Değişkenli Normal Dağılım teoremine göre Cov=0Cov=0 olması bağımsızlık için gerekli ve yeterli koşuldur.

Anahtar Kavram

İki Değişkenli Normal Dağılımda Koşullu Olasılık ve Bağımsızlık
Bu soruyu puanla

Konular

İki Değişkenli Normal Dağılım

Bu konudan daha fazla soru