İki değişkenli normal dağılıma sahip (X_1, X_2) tesadüfi vektörünün ortalama vektörü ve va… — KPSS İstatistik

İki değişkenli normal dağılıma sahip $(X_1, X_2)$ tesadüfi vektörünün ortalama vektörü ve varyans-kovaryans matrisi sırasıyla aşağıda verilmiştir:

\mu = \begin{bmatrix} 50 \\ 100 \end{bmatrix}, \quad \Sigma = \begin{bmatrix} 25 & 40 \\ 40 & 100 \end{bmatrix}

Buna göre, $X_2 = 120$ koşulu altında $X_1$ değişkeninin koşullu dağılımı ve bu iki değişkenin bağımsızlık durumu ile ilgili aşağıdaki ifadelerden hangisi doğrudur?

A
$X_1$ ve $X_2$ bağımsızdır; $X_1$ 'in koşullu beklenen değeri $50$ 'dir.
B
$X_1$ ve $X_2$ bağımlıdır; $X_1$ 'in koşullu beklenen değeri $66$ ve koşullu varyansı $9$ 'dur.
C
$X_1$ ve $X_2$ bağımlıdır; $X_1$ 'in koşullu beklenen değeri $58$ ve koşullu varyansı $25$ 'tir.
$X_1$ ve $X_2$ bağımlıdır; $X_1$ 'in koşullu beklenen değeri $58$ ve koşullu varyansı $9$ 'dur.Cevap
E
$X_1$ ve $X_2$ bağımsızdır; $X_1$ 'in koşullu beklenen değeri $58$ ve koşullu varyansı $25$ 'tir.

Cevap

X_1

X_2

bağımlıdır;

X_1

'in koşullu beklenen değeri

58

ve koşullu varyansı

9

'dur.

Verilen iki değişkenli normal dağılımda kovaryans

40

olduğu için (

40 \neq 0

) bu iki değişken bağımlıdır.

X_2 = 120

verildiğinde

X_1

'in koşullu beklenen değeri hesaplama formülünden

50 + (40/100)\times(120 - 100) = 58

olarak bulunur. Koşullu varyans ise

\Sigma_{11} - (\Sigma_{12})^2 / \Sigma_{22} = 25 - (1600/100) = 9

şeklinde elde edilir.

Adım Adım Çözüm

Kovaryans değerini kontrol ederek bağımsızlık durumunu belirleme

Cov(X_1, X_2) = \Sigma_{12} = 40 \neq 0

olduğu için

X_1

X_2

değişkenleri istatistiksel olarak bağımlıdır.

İki değişkenli normal dağılımda, kovaryansın sıfır olması bağımsızlık için gerek ve yeter şarttır.

X_2 = 120

koşulu altında

X_1

'in koşullu beklenen değerini hesaplama

E(X_1 | X_2 = 120) = \mu_1 + \frac{\Sigma_{12}}{\Sigma_{22}} (x_2 - \mu_2) = 50 + \frac{40}{100} (120 - 100) = 50 + 0.4 \times 20 = 58

Koşullu ortalama, marjinal ortalamanın koşul değişkeninin sapmasına göre doğrusal olarak düzeltilmesiyle bulunur.

X_2 = 120

koşulu altında

X_1

'in koşullu varyansını hesaplama

Var(X_1 | X_2 = 120) = \Sigma_{11} - \frac{(\Sigma_{12})^2}{\Sigma_{22}} = 25 - \frac{40^2}{100} = 25 - \frac{1600}{100} = 25 - 16 = 9

Koşullu varyans, marjinal varyanstan iki değişken arasındaki lineer ilişki nedeniyle açıklanan varyansın çıkarılmasıyla bulunur.

Anahtar Kavram

İki Değişkenli Normal Dağılımda Koşullu Dağılımlar ve Bağımsızlık

Tahmini Süre:1m 30s

Soru

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Konular

Bu konudan daha fazla soru