Bir kamu kurumunun uzman yardımcılığı giriş sınavında adayların genel yetenek (X_1) ve ala… — KPSS İstatistik

Bir kamu kurumunun uzman yardımcılığı giriş sınavında adayların genel yetenek ( $X_1$ ) ve alan bilgisi ( $X_2$ ) testlerinden aldıkları puanlar, iki değişkenli normal dağılıma sahip bir $(X_1, X_2)$ tesadüfi vektörü ile modellenmektedir.

Bu dağılıma ilişkin parametreler aşağıda verilmiştir:
* Genel yetenek puanlarının beklenen değeri: $\mu_1 = 75$
* Alan bilgisi puanlarının beklenen değeri: $\mu_2 = 80$
* Genel yetenek puanlarının varyansı: $\sigma_1^2 = 36$
* Alan bilgisi puanlarının varyansı: $\sigma_2^2 = 64$
* $X_1$ ve $X_2$ arasındaki korelasyon katsayısı: $\rho = 0.5$

Buna göre, bu dağılımla ilgili aşağıdaki ifadelerden hangisi doğrudur?

A
Alan bilgisi testinden 96 puan alan bir adayın genel yetenek puanının beklenen değeri 83'tür.
B
Alan bilgisi testinden alınan puan bilindiğinde, genel yetenek puanının koşullu varyansı marjinal varyansına eşittir ve 36'dır.
C
$X_1$ ve $X_2$ puanlarının birbirinden bağımsız olması için $\rho = 0$ olması genel olarak sadece gerek şart olup, yeterli bir şart değildir.
Alan bilgisi testinden 96 puan alan bir adayın genel yetenek puanının koşullu dağılımı $N(81, 27)$ şeklindedir.Cevap
E
Genel yetenek ve alan bilgisi puanları arasındaki kovaryans değeri 48'dir.

Cevap

Alan bilgisi testinden 96 puan alan bir adayın genel yetenek puanının koşullu dağılımı N(81, 27) şeklindedir.

İki değişkenli normal dağılımda,

X_2 = x_2

verildiğinde

X_1

'in koşullu dağılımı normaldir. Koşullu beklenen değer

E(X_1 | X_2 = 96) = 75 + 0.5 \times \frac{6}{8} \times (96 - 80) = 81

ve koşullu varyans

Var(X_1 | X_2 = 96) = 36 \times (1 - 0.5^2) = 27

olarak hesaplanır. Bu nedenle koşullu dağılım

N(81, 27)

şeklindedir.

Adım Adım Çözüm

Verilen parametrelerden standart sapmaları belirle.

\sigma_1 = \sqrt{36} = 6

\sigma_2 = \sqrt{64} = 8

Koşullu dağılım parametrelerinin hesabında varyansların kareköküne ihtiyaç vardır.

X_2 = 96

koşulu altında

X_1

'in beklenen değerini hesapla.

E(X_1 | X_2 = 96) = 75 + 0.5 \times \frac{6}{8} \times (96 - 80) = 75 + 0.5 \times 0.75 \times 16 = 81

İki değişkenli normal dağılımda koşullu ortalama formülü

E(X_1 | X_2 = x_2) = \mu_1 + \rho \frac{\sigma_1}{\sigma_2} (x_2 - \mu_2)

şeklindedir.

X_2 = 96

koşulu altında

X_1

'in koşullu varyansını hesapla.

Var(X_1 | X_2 = 96) = 36 \times (1 - 0.5^2) = 36 \times 0.75 = 27

Koşullu varyans

Var(X_1 | X_2 = x_2) = \sigma_1^2(1 - \rho^2)

formülü ile bulunur ve verilen

x_2

değerinden bağımsızdır.

Elde edilen sonuçlara göre koşullu dağılımı ifade et.

X_1 | X_2 = 96 \sim N(81, 27)

İki değişkenli normal dağılımın bileşenlerinin koşullu dağılımları da normal dağılıma sahiptir.

Anahtar Kavram

İki Değişkenli Normal Dağılımda Koşullu Ortalama ve Koşullu Varyans Hesaplamaları

Soru

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Konular

Bu konudan daha fazla soru