Bir sistemin iki farklı bileşeninin performans skorları (X_1, X_2) tesadüfi vektörü ile mo… — KPSS İstatistik

Bir sistemin iki farklı bileşeninin performans skorları $(X_1, X_2)$ tesadüfi vektörü ile modellenmiştir. Bu vektörün iki değişkenli normal dağılıma sahip olduğu, ortalama vektörünün ve varyans-kovaryans matrisinin sırasıyla

\boldsymbol{\mu} = \begin{bmatrix} 8 \\ 12 \end{bmatrix} \quad \text{ve} \quad \boldsymbol{\Sigma} = \begin{bmatrix} 25 & 10 \\ 10 & 16 \end{bmatrix}

olduğu bilinmektedir.

Buna göre;
I. $X_2 = 20$ olarak gözlemlendiğinde $X_1$ 'in beklenen değeri $E(X_1 | X_2 = 20)$ ,
II. $X_2 = 20$ olarak gözlemlendiğinde $X_1$ 'in varyansı $Var(X_1 | X_2 = 20)$ ,
III. $X_1 - cX_2$ tesadüfi değişkeninin $X_2$ ile istatistiksel olarak bağımsız olmasını sağlayan $c$ sabiti

değerleri sırasıyla aşağıdakilerin hangisinde doğru verilmiştir?

$13 \quad ; \quad \frac{75}{4} \quad ; \quad \frac{5}{8}$ Cevap
B
$13 \quad ; \quad 25 \quad ; \quad \frac{5}{8}$
C
$13 \quad ; \quad 25 \quad ; \quad 0$
D
$\frac{41}{2} \quad ; \quad \frac{75}{4} \quad ; \quad \frac{5}{8}$
E
$\frac{56}{5} \quad ; \quad 12 \quad ; \quad \frac{2}{5}$

Cevap

Doğru hesaplanan değerler sırasıyla

13

\frac{75}{4}

\frac{5}{8}

şeklindedir.

İki değişkenli normal dağılımın temel özelliklerine göre işlemler adım adım uygulandığında: 1) Koşullu beklenen değer formülünden

E(X_1 | X_2 = 20) = 8 + \frac{10}{16}(20 - 12) = 13

elde edilir. 2) Koşullu varyans formülünden

Var(X_1 | X_2 = 20) = 25 - \frac{10^2}{16} = \frac{75}{4}

bulunur. 3) Bağımsızlık için iki ifadenin kovaryansının sıfır olması gerektiğinden

Cov(X_1 - cX_2, X_2) = 10 - 16c = 0

denklemi çözülerek

c = \frac{5}{8}

sonucuna ulaşılır.

Adım Adım Çözüm

Koşullu beklenen değerin formülünü uygulayarak

E(X_1 | X_2 = 20)

değerini hesaplamak.

E(X_1 | X_2 = 20) = 8 + \frac{10}{16}(20 - 12) = 8 + 5 = 13

bulunur.

İki değişkenli normal dağılımda koşullu beklenen değer

E(X_1 | X_2 = x_2) = \mu_1 + \frac{\sigma_{12}}{\sigma_2^2}(x_2 - \mu_2)

formülü ile bulunur.

Koşullu varyans formülünü kullanarak

Var(X_1 | X_2 = 20)

değerini hesaplamak.

Var(X_1 | X_2 = 20) = 25 - \frac{10^2}{16} = 25 - 6.25 = 18.75 = \frac{75}{4}

bulunur.

İki değişkenli normal dağılımda koşullu varyans

Var(X_1 | X_2 = x_2) = \sigma_1^2 - \frac{\sigma_{12}^2}{\sigma_2^2}

formülü ile hesaplanır ve

X_2

'nin aldığı değerden bağımsızdır.

X_1 - cX_2

ile

X_2

değişkenlerinin bağımsız olması için gereken

c

değerini kovaryans özelliğinden bulmak.

Cov(X_1 - cX_2, X_2) = 0 \implies Cov(X_1, X_2) - c \cdot Var(X_2) = 0 \implies 10 - 16c = 0 \implies c = \frac{10}{16} = \frac{5}{8}

bulunur.

İki değişkenli normal dağılıma sahip değişkenlerin doğrusal kombinasyonları da normal dağılır ve aralarındaki kovaryans sıfır ise istatistiksel olarak tam bağımsızdırlar.

Anahtar Kavram

İki Değişkenli Normal Dağılımda Koşullu Dağılım Özellikleri ve Bağımsızlık Şartı

Soru

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Konular

Bu konudan daha fazla soru