Examkin

Soru

Zorluk: Ortaİki Değişkenli Normal Dağılım

(X1,X2)(X_1, X_2) tesadüfi vektörü, ortalama vektörü μ=(8070)\mu = \begin{pmatrix} 80 \\ 70 \end{pmatrix} ve varyans-kovaryans matrisi Σ=(144484864)\Sigma = \begin{pmatrix} 144 & 48 \\ 48 & 64 \end{pmatrix} olan iki değişkenli normal dağılıma sahiptir. Bu bilgilere göre, X2=74X_2 = 74 olduğu bilindiğinde X1X_1 değişkeninin koşullu dağılımı ile ilgili aşağıdakilerden hangisi doğrudur?

  1. Koşullu beklenen değer 83, koşullu varyans 108'dir.Cevap
  2. B
    Koşullu beklenen değer 83, koşullu varyans 144'tür.
  3. C
    Koşullu beklenen değer 80, koşullu varyans 108'dir.
  4. D
    X1X_1 ve X2X_2 değişkenleri istatistiksel olarak bağımsızdır.
  5. E
    Koşullu beklenen değer 83, koşullu varyans 64'tür.

Cevap

Koşullu beklenen değerin 83 ve koşullu varyansın 108 olduğu ifade doğrudur.
Koşullu beklenen değer formülü uygulandığında 80+(48/64)×(74−70)=8380 + (48/64) \times (74-70) = 83 sonucu elde edilir. Koşullu varyans ise σ12−(σ122/σ22)\sigma_1^2 - (\sigma_{12}^2 / \sigma_2^2) formülüyle 144−36=108144 - 36 = 108 olarak bulunur. Bu iki değerin bir arada verildiği seçenek doğrudur.

Adım Adım Çözüm

1
Verilen matris ve vektörden parametreleri belirleyiniz.
μ1=80,μ2=70,σ12=144,σ22=64,σ12=48\mu_1 = 80, \mu_2 = 70, \sigma_1^2 = 144, \sigma_2^2 = 64, \sigma_{12} = 48
Koşullu dağılım parametrelerini hesaplamak için bileşenlerin marjinal istatistiklerine ihtiyaç vardır.
2
X2=74X_2 = 74 için X1X_1'in koşullu beklenen değerini E(X1∣X2=x2)=μ1+σ12σ22(x2−μ2)E(X_1 | X_2 = x_2) = \mu_1 + \frac{\sigma_{12}}{\sigma_2^2}(x_2 - \mu_2) formülüyle hesaplayınız.
E(X1∣X2=74)=80+4864(74−70)=80+0,75(4)=83E(X_1 | X_2 = 74) = 80 + \frac{48}{64}(74 - 70) = 80 + 0,75(4) = 83
İki değişkenli normal dağılımda koşullu ortalama, diğer değişkenin gözlenen değerine bağlı olarak doğrusal bir değişim gösterir.
3
X1X_1'in koşullu varyansını Var(X1∣X2=x2)=σ12−σ122σ22Var(X_1 | X_2 = x_2) = \sigma_1^2 - \frac{\sigma_{12}^2}{\sigma_2^2} formülüyle hesaplayınız.
Var(X1∣X2=74)=144−48264=144−230464=144−36=108Var(X_1 | X_2 = 74) = 144 - \frac{48^2}{64} = 144 - \frac{2304}{64} = 144 - 36 = 108
Koşullu varyans, marjinal varyanstan iki değişken arasındaki ilişki miktarı kadar (belirlilik katsayısı oranında) daha küçüktür.
4
Bağımsızlık durumunu kontrol ediniz.
σ12=48≠0\sigma_{12} = 48 \neq 0 olduğu için X1X_1 ve X2X_2 bağımsız değildir.
Normal dağılımda bağımsızlık için kovaryansın sıfır olması gerek ve yeter şarttır.

Anahtar Kavram

İki değişkenli normal dağılımda koşullu dağılım parametrelerinin (ortalama ve varyans) hesaplanması.

İpuçları

1
Koşullu beklenen değer formülünde X2X_2 değişkenindeki sapmanın, regresyon katsayısı (σ12/σ22σ_{12}/σ_2^2) ile çarpılarak μ1μ_1 değerine ekleneceğini hatırlayınız.
2
Koşullu varyansın σ12(1−ρ2)\sigma_1^2(1-\rho^2) formülüyle de hesaplanabileceğini, burada ρ\rho'nun korelasyon katsayısı olduğunu düşününüz.

Daha Fazla Pratik

Korelasyon katsayısı ρ=1\rho = 1 veya ρ=−1\rho = -1 olduğunda koşullu varyansın ne olacağını tartışınız.
Tahmini Süre:1m 40s
Bu soruyu puanla

Konular

İki Değişkenli Normal Dağılım

Bu konudan daha fazla soru