Examkin

Soru

Zorluk: Zorİki Değişkenli Normal Dağılım

(X1,X2)(X_1, X_2) tesadüfi vektörü, iki değişkenli normal dağılıma sahiptir. Bu dağılıma ait ortalama vektörü μ\mu ve varyans-kovaryans matrisi Σ\Sigma aşağıda verilmiştir:

μ=[2015],Σ=[25−6−69] \mu = \begin{bmatrix} 20 \\ 15 \end{bmatrix}, \quad \Sigma = \begin{bmatrix} 25 & -6 \\ -6 & 9 \end{bmatrix}

Buna göre, X2=12X_2 = 12 olduğu bilindiğinde X1X_1 değişkeninin koşullu beklenen değeri E(X1∣X2=12)E(X_1 | X_2 = 12), koşullu varyansı Var(X1∣X2=12)Var(X_1 | X_2 = 12) ve X1X_1 ile X2X_2 arasındaki bağımsızlık durumu aşağıdakilerin hangisinde sırasıyla ve doğru olarak verilmiştir?

  1. E(X1∣X2=12)=22E(X_1 | X_2 = 12) = 22, Var(X1∣X2=12)=21Var(X_1 | X_2 = 12) = 21, Değişkenler bağımlıdırCevap
  2. B
    E(X1∣X2=12)=22E(X_1 | X_2 = 12) = 22, Var(X1∣X2=12)=25Var(X_1 | X_2 = 12) = 25, Değişkenler bağımlıdır
  3. C
    E(X1∣X2=12)=18E(X_1 | X_2 = 12) = 18, Var(X1∣X2=12)=21Var(X_1 | X_2 = 12) = 21, Değişkenler bağımlıdır
  4. D
    E(X1∣X2=12)=22E(X_1 | X_2 = 12) = 22, Var(X1∣X2=12)=21Var(X_1 | X_2 = 12) = 21, Değişkenler bağımsızdır
  5. E
    E(X1∣X2=12)=18E(X_1 | X_2 = 12) = 18, Var(X1∣X2=12)=25Var(X_1 | X_2 = 12) = 25, Değişkenler bağımsızdır

Cevap

Doğru seçenekte X1X_1'in koşullu beklenen değeri 2222, koşullu varyansı 2121 olarak hesaplanmış ve kovaryans sıfırdan farklı olduğu için değişkenlerin bağımlı olduğu belirtilmiştir.
İki değişkenli normal dağılımda koşullu beklenen değer E(X1∣X2=x2)=μ1+σ12σ22(x2−μ2)E(X_1|X_2=x_2) = \mu_1 + \frac{\sigma_{12}}{\sigma_2^2}(x_2-\mu_2) ve koşullu varyans Var(X1∣X2=x2)=σ12−σ122σ22Var(X_1|X_2=x_2) = \sigma_1^2 - \frac{\sigma_{12}^2}{\sigma_2^2} formülleriyle hesaplanır. İlgili değerler formülde yerine konulduğunda sırasıyla 2222 ve 2121 elde edilir. Ayrıca matriste kovaryansın sıfırdan farklı (−6-6) olduğu açıkça görülmektedir, bu da değişkenlerin birbirine bağımlı olduğu anlamına gelir.

Adım Adım Çözüm

1
Verilen matrislerden parametre değerlerini belirle.
μ1=20\mu_1 = 20, μ2=15\mu_2 = 15, σ12=25\sigma_1^2 = 25, σ22=9\sigma_2^2 = 9, σ12=−6\sigma_{12} = -6 olarak tespit edilir.
Koşullu dağılım formüllerini uygulayabilmek için ilgili parametrelere ihtiyaç vardır.
2
X1X_1'in koşullu beklenen değerini hesapla.
E(X1∣X2=12)=20+−69(12−15)=20+(−23)(−3)=22E(X_1 | X_2 = 12) = 20 + \frac{-6}{9} (12 - 15) = 20 + (-\frac{2}{3})(-3) = 22 bulunur.
İki değişkenli normal dağılımda koşullu beklenen değer formülü E(X1∣X2=x2)=μ1+σ12σ22(x2−μ2)E(X_1|X_2=x_2) = \mu_1 + \frac{\sigma_{12}}{\sigma_2^2}(x_2-\mu_2) şeklindedir.
3
X1X_1'in koşullu varyansını hesapla.
Var(X1∣X2=12)=25−(−6)29=25−369=21Var(X_1 | X_2 = 12) = 25 - \frac{(-6)^2}{9} = 25 - \frac{36}{9} = 21 bulunur.
Koşullu varyans, formülü gereği marjinal varyanstan (2525) belirli bir düzeltme miktarının çıkarılmasıyla hesaplanır.
4
Bağımsızlık durumunu değerlendir.
Kovaryans σ12=−6≠0\sigma_{12} = -6 \neq 0 olduğu için değişkenler bağımlıdır.
İki değişkenli normal dağılımda bağımsızlık yalnızca kovaryansın (veya korelasyonun) sıfır olması durumunda geçerlidir.

Anahtar Kavram

İki Değişkenli Normal Dağılımda Koşullu Parametreler ve Bağımsızlık
Bu soruyu puanla

Konular

İki Değişkenli Normal Dağılım

Bu konudan daha fazla soru