Examkin

Soru

Zorluk: ZorKesikli Düzgün Dağılım

Bir e-ticaret platformunda, belirli bir kampanyaya katılan müşterilere sistem tarafından dağıtılan özel indirim kodları aa ile bb (a,b∈Z+a, b \in \mathbb{Z}^+ ve a<ba < b) arasındaki ardışık tam sayılardan oluşmaktadır. Her bir müşteriye bu aralıktaki numaralardan biri rastgele ve eşit olasılıkla atanmaktadır.

Sistemde dağıtılan bu indirim kodlarının beklenen değeri 1010 ve varyansı 44 olarak hesaplanmıştır.

Buna göre, kampanyaya katılan rastgele bir müşteriye atanan indirim kodunun 1111 veya daha büyük olma olasılığı aşağıdakilerden hangisidir?

  1. A
    13\frac{1}{3}
  2. B
    27\frac{2}{7}
  3. 37\frac{3}{7}Cevap
  4. D
    12\frac{1}{2}
  5. E
    57\frac{5}{7}

Cevap

Rastgele seçilen bir müşterinin indirim kodunun 1111 veya daha büyük olma olasılığı 37\frac{3}{7}'dir.
Verilen dağılım ardışık tam sayılardan oluştuğu için Kesikli Düzgün Dağılımdır. Varyans formülü Var(X)=n2−112=4Var(X) = \frac{n^2 - 1}{12} = 4 kullanıldığında dağılımın n=7n=7 elemandan oluştuğu anlaşılır. Beklenen değer formülü E(X)=a+b2=10E(X) = \frac{a+b}{2} = 10 eşitliğinden a+b=20a+b=20 toplamı elde edilir. b−a=n−1=6b-a = n-1 = 6 ilişkisi ile a+b=20a+b=20 denklemi birlikte çözüldüğünde alt sınır a=7a=7 ve üst sınır b=13b=13 olarak bulunur. Dağılım {7,8,9,10,11,12,13}\{7, 8, 9, 10, 11, 12, 13\} kümesi üzerinde tanımlıdır. Bizden 1111 ve daha büyük değerlerin olasılığı (11,12,1311, 12, 13) istenmektedir. Bu duruma uyan 33 değer olduğu için olasılık 37\frac{3}{7}'dir.

Adım Adım Çözüm

1
Dağılım türünü ve özelliklerini belirleyin.
İndirim kodları aa ve bb arasında ardışık tam sayılar olduğundan, rastgele değişkenimiz n=b−a+1n = b - a + 1 elemanlı Kesikli Düzgün Dağılıma (Discrete Uniform Distribution) uymaktadır.
Olasılık hesaplaması yapabilmek için örnek uzayın eleman sayısının ve aralık sınırlarının formüller yardımıyla bulunması gerekir.
2
Varyans bilgisini kullanarak örnek uzayın eleman sayısını (nn) hesaplayın.
Var(X)=n2−112=4  ⟹  n2−1=48  ⟹  n2=49  ⟹  n=7Var(X) = \frac{n^2 - 1}{12} = 4 \implies n^2 - 1 = 48 \implies n^2 = 49 \implies n = 7 olarak bulunur.
Kesikli düzgün dağılımın varyans formülü, örnek uzaydaki toplam eleman sayısını doğrudan verir.
3
Beklenen değer bilgisini ve nn sayısını kullanarak dağılımın sınırlarını (aa ve bb) bulun.
E(X)=a+b2=10  ⟹  a+b=20E(X) = \frac{a + b}{2} = 10 \implies a + b = 20. Aynı zamanda n=b−a+1=7  ⟹  b−a=6n = b - a + 1 = 7 \implies b - a = 6. Bu iki denklem ortak çözüldüğünde 2b=26  ⟹  b=132b = 26 \implies b = 13 ve a=7a = 7 elde edilir.
Olasılığı istenen şartın (X≥11X \ge 11) kapsamına tam olarak hangi tam sayıların girdiğini belirlemek için alt ve üst sınıra ihtiyaç vardır.
4
İstenen durumun olasılığını (P(X≥11)P(X \ge 11)) hesaplayın.
Örnek uzay kümesi {7,8,9,10,11,12,13}\{7, 8, 9, 10, 11, 12, 13\} şeklindedir. 1111 veya daha büyük olan numaralar {11,12,13}\{11, 12, 13\} olmak üzere 33 tanedir. İstenen olasılık P(X≥11)=37P(X \ge 11) = \frac{3}{7} olarak elde edilir.
Kesikli düzgün dağılımda olasılık, elverişli sonuç sayısının örnek uzayın toplam eleman sayısına (nn) bölünmesiyle hesaplanır.

Anahtar Kavram

Kesikli Düzgün Dağılımda Beklenen Değer ve Varyans Özellikleri
Bu soruyu puanla

Konular

Kesikli Düzgün Dağılım

Bu konudan daha fazla soru