Bir elektronik şans oyununda sistem, her defasında 1 ile 25 arasındaki (1 ve 25 dâhil) tam… — KPSS İstatistik

Bir elektronik şans oyununda sistem, her defasında $1$ ile $25$ arasındaki ( $1$ ve $25$ dâhil) tam sayılardan birini eşit olasılıkla rastgele seçmektedir. Seçilen bu sayı $X$ rastgele değişkeni ile ifade edilmektedir.

Oyunun kuralları gereği, oyuncunun kazanacağı puan $Y = 2X - 5$ eşitliği ile tanımlanan $Y$ rastgele değişkenine göre belirlenmektedir.

Buna göre, $Y$ rastgele değişkeninin varyansı (değişintisi) kaçtır?

A
52
B
104
208Cevap
D
233
E
312

Cevap

Y

rastgele değişkeninin varyansı 208'dir.

Kesikli düzgün dağılımda,

1

'den

n

'e kadar değer alan bir değişkenin varyansı

(n^2 - 1) / 12

formülü ile elde edilir. Soruda

n=25

olduğundan

Var(X) = (625 - 1) / 12 = 52

bulunur.

Y = 2X - 5

eşitliğinin varyansını bulmak için

Var(aX + b) = a^2 \cdot Var(X)

özelliğinden faydalanılır. Buradan

Var(Y) = 2^2 \cdot 52 = 4 \cdot 52 = 208

sonucuna ulaşılır.

Adım Adım Çözüm

X

rastgele değişkeninin dağılımını ve parametrelerini belirleme.

X

1

ile

25

arasındaki ardışık tam sayıları eşit olasılıkla aldığı için Kesikli Düzgün Dağılıma (Discrete Uniform) sahiptir ve kümenin eleman sayısı

n = 25

'tir.

Varyans hesabında kullanılması gereken doğru formülü seçebilmek için dağılımın türünün ve parametrelerinin tespit edilmesi gerekir.

Kesikli düzgün dağılımın varyans formülünü kullanarak

X

'in varyansını hesaplama.

Var(X) = \frac{n^2 - 1}{12} = \frac{25^2 - 1}{12} = \frac{625 - 1}{12} = \frac{624}{12} = 52

olarak bulunur.

Y

'nin varyansına ulaşabilmek için temel değişken olan

X

'in varyansının bilinmesi zorunludur.

Y = 2X - 5

eşitliğine varyansın doğrusal dönüşüm özelliklerini uygulama.

Var(Y) = Var(2X - 5) = 2^2 \cdot Var(X) = 4 \cdot 52 = 208

elde edilir.

Varyans özelliklerine göre

Var(aX + b) = a^2 \cdot Var(X)

eşitliği geçerlidir. Sabit terim (-5) varyansı etkilemezken, değişkenin katsayısının (2) karesi alınarak varyans büyütülür.

Anahtar Kavram

Kesikli Düzgün Dağılımın Varyansı ve Varyansın Doğrusal Dönüşüm Özellikleri

Soru

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Konular

Bu konudan daha fazla soru