Kesikli Düzgün Dağılım Alıştırma Soruları — KPSS İstatistik

Soru 1Soru →

Bir kamu kurumunda, vatandaşların başvurularını sıraya koymak amacıyla günlük olarak verilen evrak kayıt numaraları kesikli düzgün dağılıma sahip $X$ rastgele değişkeni ile modellenmektedir.

Belirli bir iş gününde verilen evrak kayıt numaraları $12$ 'den başlayıp $36$ 'da ( $12$ ve $36$ dâhil) sona ermektedir.

Kurumun işlem yoğunluğunu analiz etmek amacıyla, bu kayıt numaraları üzerinden $T = 5X - 20$ doğrusal dönüşümü tanımlanmıştır.

Buna göre, $T$ değişkeninin varyansı ( $Var(T)$ ) aşağıdakilerden hangisidir?

260

1200

1280

1300

1320

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 1300

Cevap

Dönüşümü yapılan değişkenin varyansı 1300 olarak bulunur.

Verilen problemde

X

değişkeni

12, 13, \dots, 36

değerlerini alan kesikli düzgün dağılıma sahiptir. Bu kümedeki eleman sayısı

N = 36 - 12 + 1 = 25

'tir. Kesikli düzgün dağılımın varyansı

Var(X) = \frac{N^2 - 1}{12}

formülü ile hesaplanır, bu da bizi

\frac{25^2 - 1}{12} = \frac{624}{12} = 52

sonucuna götürür. Soruda istenen değer

T = 5X - 20

değişkeninin varyansıdır. Varyansın doğrusal dönüşüm özelliği olan

Var(aX + b) = a^2 Var(X)

eşitliği gereğince

Var(5X - 20) = 5^2 \cdot Var(X) = 25 \cdot 52 = 1300

değerine ulaşılır.

Adım Adım Çözüm

1

X

rastgele değişkeninin tanım kümesindeki eleman sayısını (

N

) belirlemek.

N = 36 - 12 + 1 = 25

bulunur.

Kesikli düzgün dağılımda varyans hesabı için serideki toplam terim sayısına ihtiyaç vardır.

2

X

değişkeninin varyansını (

Var(X)

) hesaplamak.

Var(X) = \frac{N^2 - 1}{12} = \frac{25^2 - 1}{12} = \frac{624}{12} = 52

olarak hesaplanır.

Doğrusal dönüşümün varyansını bulmadan önce, orijinal değişkenin varyansının bilinmesi gerekir.

3

T = 5X - 20

dönüşümü için varyans özelliklerini uygulamak.

Var(T) = Var(5X - 20) = 5^2 \cdot Var(X) = 25 \cdot 52 = 1300

elde edilir.

Rastgele bir değişkenin doğrusal dönüşümünün varyansı hesaplanırken, katsayının karesi alınır ve eklenen veya çıkarılan sabitin varyansa etkisi olmaz (

Var(aX + b) = a^2 Var(X)

).

Anahtar Kavram

Kesikli Düzgün Dağılım

Tahmini Süre:2m 0s

Soru 2Soru →

Bir elektronik şans oyununda sistem, her defasında $1$ ile $25$ arasındaki ( $1$ ve $25$ dâhil) tam sayılardan birini eşit olasılıkla rastgele seçmektedir. Seçilen bu sayı $X$ rastgele değişkeni ile ifade edilmektedir.

Oyunun kuralları gereği, oyuncunun kazanacağı puan $Y = 2X - 5$ eşitliği ile tanımlanan $Y$ rastgele değişkenine göre belirlenmektedir.

Buna göre, $Y$ rastgele değişkeninin varyansı (değişintisi) kaçtır?

52

104

208

233

312

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 208

Cevap

Y

rastgele değişkeninin varyansı 208'dir.

Kesikli düzgün dağılımda,

1

'den

n

'e kadar değer alan bir değişkenin varyansı

(n^2 - 1) / 12

formülü ile elde edilir. Soruda

n=25

olduğundan

Var(X) = (625 - 1) / 12 = 52

bulunur.

Y = 2X - 5

eşitliğinin varyansını bulmak için

Var(aX + b) = a^2 \cdot Var(X)

özelliğinden faydalanılır. Buradan

Var(Y) = 2^2 \cdot 52 = 4 \cdot 52 = 208

sonucuna ulaşılır.

Adım Adım Çözüm

1

X

rastgele değişkeninin dağılımını ve parametrelerini belirleme.

X

,

1

ile

25

arasındaki ardışık tam sayıları eşit olasılıkla aldığı için Kesikli Düzgün Dağılıma (Discrete Uniform) sahiptir ve kümenin eleman sayısı

n = 25

'tir.

Varyans hesabında kullanılması gereken doğru formülü seçebilmek için dağılımın türünün ve parametrelerinin tespit edilmesi gerekir.

2

Kesikli düzgün dağılımın varyans formülünü kullanarak

X

'in varyansını hesaplama.

Var(X) = \frac{n^2 - 1}{12} = \frac{25^2 - 1}{12} = \frac{625 - 1}{12} = \frac{624}{12} = 52

olarak bulunur.

Y

'nin varyansına ulaşabilmek için temel değişken olan

X

'in varyansının bilinmesi zorunludur.

3

Y = 2X - 5

eşitliğine varyansın doğrusal dönüşüm özelliklerini uygulama.

Var(Y) = Var(2X - 5) = 2^2 \cdot Var(X) = 4 \cdot 52 = 208

elde edilir.

Varyans özelliklerine göre

Var(aX + b) = a^2 \cdot Var(X)

eşitliği geçerlidir. Sabit terim (-5) varyansı etkilemezken, değişkenin katsayısının (2) karesi alınarak varyans büyütülür.

Anahtar Kavram

Kesikli Düzgün Dağılımın Varyansı ve Varyansın Doğrusal Dönüşüm Özellikleri

Soru 3Soru →

Bir e-ticaret platformunda, belirli bir kampanyaya katılan müşterilere sistem tarafından dağıtılan özel indirim kodları $a$ ile $b$ ( $a, b \in \mathbb{Z}^+$ ve $a < b$ ) arasındaki ardışık tam sayılardan oluşmaktadır. Her bir müşteriye bu aralıktaki numaralardan biri rastgele ve eşit olasılıkla atanmaktadır.

Sistemde dağıtılan bu indirim kodlarının beklenen değeri $10$ ve varyansı $4$ olarak hesaplanmıştır.

Buna göre, kampanyaya katılan rastgele bir müşteriye atanan indirim kodunun $11$ veya daha büyük olma olasılığı aşağıdakilerden hangisidir?

\frac{1}{3}

\frac{2}{7}

\frac{3}{7}

\frac{1}{2}

\frac{5}{7}

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: $\frac{3}{7}$

Cevap

Rastgele seçilen bir müşterinin indirim kodunun

11

veya daha büyük olma olasılığı

\frac{3}{7}

'dir.

Verilen dağılım ardışık tam sayılardan oluştuğu için Kesikli Düzgün Dağılımdır. Varyans formülü

Var(X) = \frac{n^2 - 1}{12} = 4

kullanıldığında dağılımın

n=7

elemandan oluştuğu anlaşılır. Beklenen değer formülü

E(X) = \frac{a+b}{2} = 10

eşitliğinden

a+b=20

toplamı elde edilir.

b-a = n-1 = 6

ilişkisi ile

a+b=20

denklemi birlikte çözüldüğünde alt sınır

a=7

ve üst sınır

b=13

olarak bulunur. Dağılım

\{7, 8, 9, 10, 11, 12, 13\}

kümesi üzerinde tanımlıdır. Bizden

11

ve daha büyük değerlerin olasılığı (

11, 12, 13

) istenmektedir. Bu duruma uyan

3

değer olduğu için olasılık

\frac{3}{7}

'dir.

Adım Adım Çözüm

1

Dağılım türünü ve özelliklerini belirleyin.

İndirim kodları

a

ve

b

arasında ardışık tam sayılar olduğundan, rastgele değişkenimiz

n = b - a + 1

elemanlı Kesikli Düzgün Dağılıma (Discrete Uniform Distribution) uymaktadır.

Olasılık hesaplaması yapabilmek için örnek uzayın eleman sayısının ve aralık sınırlarının formüller yardımıyla bulunması gerekir.

2

Varyans bilgisini kullanarak örnek uzayın eleman sayısını (

n

) hesaplayın.

Var(X) = \frac{n^2 - 1}{12} = 4 \implies n^2 - 1 = 48 \implies n^2 = 49 \implies n = 7

olarak bulunur.

Kesikli düzgün dağılımın varyans formülü, örnek uzaydaki toplam eleman sayısını doğrudan verir.

3

Beklenen değer bilgisini ve

n

sayısını kullanarak dağılımın sınırlarını (

a

ve

b

) bulun.

E(X) = \frac{a + b}{2} = 10 \implies a + b = 20

. Aynı zamanda

n = b - a + 1 = 7 \implies b - a = 6

. Bu iki denklem ortak çözüldüğünde

2b = 26 \implies b = 13

ve

a = 7

elde edilir.

Olasılığı istenen şartın (

X \ge 11

) kapsamına tam olarak hangi tam sayıların girdiğini belirlemek için alt ve üst sınıra ihtiyaç vardır.

4

İstenen durumun olasılığını (

P(X \ge 11)

) hesaplayın.

Örnek uzay kümesi

\{7, 8, 9, 10, 11, 12, 13\}

şeklindedir.

11

veya daha büyük olan numaralar

\{11, 12, 13\}

olmak üzere

3

tanedir. İstenen olasılık

P(X \ge 11) = \frac{3}{7}

olarak elde edilir.

Kesikli düzgün dağılımda olasılık, elverişli sonuç sayısının örnek uzayın toplam eleman sayısına (

n

) bölünmesiyle hesaplanır.

Anahtar Kavram

Kesikli Düzgün Dağılımda Beklenen Değer ve Varyans Özellikleri

Soru 4Soru →

Bir havaalanında yolcu bagajlarının yönlendirildiği konveyör bantları, $18$ 'den $42$ 'ye kadar ( $18$ ve $42$ dâhil) ardışık tam sayılarla numaralandırılmıştır. Sisteme giren her bir bagajın bu bantlardan herhangi birine yönlendirilme olasılığı eşittir.

Buna göre, rastgele seçilen bir bagajın yönlendirildiği bant numarasının beklenen değeri ve varyansı sırasıyla aşağıdakilerden hangisidir?

25

ve

52

30

ve

48

30

ve

52

24

ve

48

30

ve

312

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: $30$ ve $52$

Cevap

Rastgele seçilen bagajın yönlendirildiği bant numarasının beklenen değeri

30

, varyansı ise

52

'dir.

Rastgele değişken olan bant numarası

X

,

18

ile

42

arasındaki ardışık tam sayılar üzerinde kesikli düzgün dağılıma sahiptir. Bu dağılımda beklenen değer uç noktaların aritmetik ortalaması olan

\frac{18+42}{2} = 30

olarak bulunur. Varyans ise terim sayısı

n = 42 - 18 + 1 = 25

olmak üzere,

\frac{n^2 - 1}{12} = \frac{25^2 - 1}{12} = \frac{624}{12} = 52

olarak hesaplanır.

Adım Adım Çözüm

1

Dağılımın türünü ve parametrelerini belirleme

Bagaj numarası

X \sim U\{18, 42\}

kesikli düzgün dağılımına sahiptir.

Her bir ardışık tam sayı değerinin (

18

'den

42

'ye) gelme olasılığı eşit olduğu için modelleme bu şekilde yapılır.

2

Beklenen değeri hesaplama

E(X) = \frac{18 + 42}{2} = \frac{60}{2} = 30

Kesikli düzgün dağılımda beklenen değer, rastgele değişkenin tanımlı olduğu alt (

a

) ve üst (

b

) sınırların aritmetik ortalamasıdır.

3

Aralıktaki toplam terim sayısını (n) bulma

n = 42 - 18 + 1 = 25

Kesikli düzgün dağılımın varyans formülünde kullanılmak üzere, aralıkta kaç adet ayrık tam sayı değeri olduğunu belirlemek gereklidir.

4

Varyansı hesaplama

Var(X) = \frac{n^2 - 1}{12} = \frac{25^2 - 1}{12} = \frac{625 - 1}{12} = \frac{624}{12} = 52

Kesikli düzgün dağılımda varyans formülü

\frac{n^2 - 1}{12}

şeklindedir.

Anahtar Kavram

Kesikli Düzgün Dağılımda Beklenen Değer ve Varyans

Tahmini Süre:1m 30s

Soru 5Soru →

Bir kamu bankasının teftiş kurulunda, iç denetim amacıyla şubelerden gelen kredi dosyaları belirli bir döneme ait olmak üzere $11$ 'den $59$ 'a kadar ( $11$ ve $59$ dâhil) ardışık tam sayılarla numaralandırılmıştır. Denetim sürecinin ilk aşamasında, bu dosyalar arasından rastgele bir dosya seçilerek detaylı risk analizine tabi tutulacaktır. Her bir dosyanın seçilme olasılığının eşit olduğu bilinmektedir.

Buna göre, seçilecek olan dosyanın numarasının beklenen değeri ve varyansı sırasıyla aşağıdakilerden hangisinde doğru olarak verilmiştir?

35

ve

192

24

ve

200

35

ve

200

35

ve

48

24

ve

192

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: $35$ ve $200$

Cevap

Beklenen değer

35

ve varyans

200

'dür.

Sorudaki durum,

a=11

ve

b=59

parametrelerine sahip bir kesikli düzgün dağılımdır. Beklenen değer, formüle göre bu iki sınır değerin ortalamasıdır:

(11+59)/2 = 35

. Varyans için öncelikle listedeki toplam eleman sayısı hesaplanmalıdır:

n = 59 - 11 + 1 = 49

. Kesikli düzgün dağılım varyans formülü olan

(n^2 - 1)/12

formülünde

n

yerine konularak

(49^2 - 1)/12 = (2401 - 1)/12 = 2400/12 = 200

değeri bulunur.

Adım Adım Çözüm

1

Problemin istatistiksel dağılım türünü belirlemek.

Dosya numaraları ardışık tam sayılar olduğundan ve her birinin seçilme olasılığı eşit olduğundan, değişken Kesikli Düzgün Dağılım gösterir:

X \sim U(11, 59)

.

Hesaplamalarda kullanılacak doğru formüllerin (sürekli mi kesikli mi olduğuna göre) seçilmesi için dağılımın türünün baştan netleştirilmesi zorunludur.

2

E(X) = \frac{a+b}{2}

formülü ile beklenen değeri hesaplamak.

E(X) = \frac{11+59}{2} = \frac{70}{2} = 35

Kesikli düzgün dağılımda beklenen değer, serinin simetrik yapısı gereği en küçük ve en büyük değerlerin aritmetik ortalamasına eşittir.

3

Kümeye ait toplam terim sayısını (

n

) bulmak.

n = b - a + 1 = 59 - 11 + 1 = 49

Varyans formülünde farklar üzerinden değil, serideki toplam eleman sayısı (

n

) üzerinden işlem yapılması gerekmektedir.

4

Var(X) = \frac{n^2-1}{12}

formülü ile varyansı hesaplamak.

Var(X) = \frac{49^2-1}{12} = \frac{2401-1}{12} = \frac{2400}{12} = 200

Ardışık tam sayılardan oluşan kesikli düzgün dağılımın varyansı terim sayısının karesinin bir eksiğinin on ikiye bölünmesi kuralı ile elde edilir.

Anahtar Kavram

Kesikli Düzgün Dağılım

Soru 6Soru →

Bir ilçe seçim kurulunda, muhafaza altına alınan mühürlü oy çuvalları kayıt altına alınırken $125$ 'ten $173$ 'e kadar ( $125$ ve $173$ dâhil) ardışık tam sayılarla numaralandırılmıştır.

Kurula yapılan bir itiraz üzerine, incelenmek amacıyla bu çuvallar arasından rastgele bir tanesi seçilecektir.

Buna göre, seçilen çuvalın numarasının beklenen değeri ve varyansı sırasıyla aşağıdakilerin hangisinde doğru verilmiştir?

149

ve

192

149

ve

200

149

ve

1200

24

ve

200

24

ve

192

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: $149$ ve $200$

Cevap

Seçilen çuval numarasının beklenen değeri 149, varyansı ise 200'dür.

Sorudaki durum,

a=125

ve

b=173

sınırlarına sahip bir Kesikli Düzgün Dağılımı ifade etmektedir. Bu dağılımda beklenen değer

E(X) = (a+b)/2

formülü ile, varyans ise

n = b-a+1

olmak üzere

Var(X) = (n^2-1)/12

formülü ile hesaplanır.

E(X) = (125+173)/2 = 149

olarak bulunur. Terim sayısı

n = 173 - 125 + 1 = 49

'dur. Buradan varyans

Var(X) = (49^2 - 1)/12 = (2401 - 1)/12 = 2400 / 12 = 200

olarak hesaplanır. İki değeri sırasıyla doğru veren seçenek, aradığımız doğru cevaptır.

Adım Adım Çözüm

1

Dağılım türünü ve parametreleri belirle.

Seçim işlemi ardışık tam sayılar üzerinden yapıldığı için dağılım Kesikli Düzgün Dağılımdır. Alt sınır

a = 125

, üst sınır

b = 173

'tür.

Olasılık hesaplamalarında doğru formülleri kullanabilmek için değişkenin dağılım türünün ve sınır değerlerinin tanımlanması gerekir.

2

Terim sayısını (

n

) hesapla.

n = b - a + 1 \Rightarrow n = 173 - 125 + 1 = 49

olarak bulunur.

Kesikli düzgün dağılımda varyans hesabı, aralıktaki toplam tam sayı adedine (

n

) bağlıdır.

3

Beklenen değeri (

E(X)

) hesapla.

E(X) = \frac{a + b}{2} = \frac{125 + 173}{2} = \frac{298}{2} = 149

elde edilir.

Kesikli düzgün dağılımda beklenen değer, tanımlı olduğu alt ve üst sınırların aritmetik ortalamasına eşittir.

4

Varyansı (

Var(X)

) hesapla.

Var(X) = \frac{n^2 - 1}{12} = \frac{49^2 - 1}{12} = \frac{2401 - 1}{12} = \frac{2400}{12} = 200

elde edilir.

Kesikli düzgün dağılımın yapısal özelliği gereği varyans formülü

(n^2 - 1)/12

şeklinde tanımlıdır.

Anahtar Kavram

Kesikli Düzgün Dağılımda Beklenen Değer ve Varyans

Soru 7Soru →

Bir kamu hizmet binasındaki evrak kayıt masaları $1$ ’den $11$ ’e kadar ( $1$ ve $11$ dâhil) ardışık tam sayılarla numaralandırılmıştır. Rastgele seçilen bir masanın numarasını temsil eden $X$ rastgele değişkeni kesikli düzgün dağılıma sahip olduğuna göre, bu değişkenin varyansı ( $Var(X)$ ) kaçtır?

5

6

10

11

12

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 10

Cevap

Masa numarasını temsil eden rastgele değişkenin varyansı 10 olarak hesaplanır.

Masa numaraları

1, 2, \dots, 11

kümesinden seçildiği için bu bir kesikli düzgün dağılımdır. Bu tip dağılımlarda varyans

\frac{n^2-1}{12}

formülü ile hesaplanır. Burada

n=11

olduğu için

\frac{121-1}{12} = 10

sonucu bulunur.

Adım Adım Çözüm

1

Dağılımın parametrelerini ve terim sayısını belirle

n = 11

Masa numaraları

1

ile

11

arasında olduğu için toplam

11

farklı tam sayı değeri vardır.

2

Kesikli düzgün dağılım için varyans formülünü uygula

Var(X) = \frac{11^2 - 1}{12}

Destek kümesi

\{1, 2, \dots, n\}

olan kesikli düzgün dağılımın varyansı

Var(X) = \frac{n^2 - 1}{12}

formülü ile bulunur.

3

Matematiksel işlemi sonuçlandır

Var(X) = \frac{121 - 1}{12} = \frac{120}{12} = 10

Karesel farkın paydadaki sabit değere bölünmesiyle varyans değeri elde edilir.

Anahtar Kavram

Kesikli Düzgün Dağılım Varyansı

Soru 8Soru →

Bir bölge müdürlüğünde yürütülen denetim faaliyetleri kapsamında, 1'den 11'e kadar (1 ve 11 dâhil) ardışık tam sayılarla numaralandırılmış denetim birimleri bulunmaktadır. Bu birimler arasından rastgele seçilen bir birimin numarasını gösteren $X$ rastgele değişkeni kesikli düzgün dağılıma sahip olduğuna göre, bu değişkenin varyansı kaçtır?

6

10

11

60

120

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 10

Cevap

1'den 11'e kadar olan kesikli düzgün dağılımda varyans değeri 10'dur.

Verilen problemde

X

rastgele değişkeni

\{1, 2, ..., 11\}

kümesi üzerinde kesikli düzgün dağılıma sahiptir. Bu dağılımda toplam değer sayısı

n=11

olduğundan, varyans formülü olan

\frac{n^2-1}{12}

ifadesi uygulandığında

\frac{121-1}{12}=10

sonucu elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1

Dağılımın parametrelerini ve eleman sayısını belirleyin.

n = 11 - 1 + 1 = 11

1'den 11'e kadar olan tam sayıların kümesinde toplam 11 adet değer bulunmaktadır.

2

Kesikli düzgün dağılım için varyans formülünü uygulayın.

Var(X) = \frac{n^2 - 1}{12}

Tam sayı değerleri alan kesikli düzgün dağılımda varyans bu standart formül ile hesaplanır.

3

Değerleri formülde yerine koyarak hesaplamayı tamamlayın.

Var(X) = \frac{11^2 - 1}{12} = \frac{121 - 1}{12} = \frac{120}{12} = 10

Matematiksel işlemler sonucunda varyans değeri 10 olarak bulunur.

Anahtar Kavram

Kesikli Düzgün Dağılım Varyansı

İpuçları

1

Değişkenin 1'den 11'e kadar kaç farklı değer alabildiğini (n) belirleyerek başlayın.

2

Kesikli düzgün dağılımda varyansın

n

parametresine bağlı olan

\frac{n^2-1}{12}

formülünü hatırlayın.

Daha Fazla Pratik

Aynı aralık için beklenen değeri (

E(X)

) hesaplayıp varyans ile arasındaki farkı gözlemleyebilirsiniz.

Tahmini Süre:45s

Soru 9Soru →

Bir kamu kurumunun envanter kontrolü sırasında, birimdeki taşınır malların $50$ ’den $110$ ’a kadar ( $50$ ve $110$ dâhil) ardışık tam sayılarla numaralandırıldığı görülmüştür. Bu mallar arasından rastgele seçilen birinin numarasını temsil eden $X$ rastgele değişkeni kesikli düzgün dağılıma sahip olduğuna göre, bu değişkenin varyansı kaçtır?

310

80

1860

300

61

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: $310$

Cevap

Varyans değeri

310

olarak hesaplanır.

Değişkenin değer aralığı

50

ile

110

arasındaki tam sayılar olduğu için toplam terim sayısı

n = 61

olur. Kesikli düzgün dağılımın genel varyans formülü olan

Var(X) = \frac{n^2 - 1}{12}

ifadesinde

n = 61

yazıldığında

\frac{3720}{12} = 310

sonucuna ulaşılır.

Adım Adım Çözüm

1

Dağılımın destek kümesindeki toplam tam sayı adedini (

n

) belirleyiniz.

n = 110 - 50 + 1 = 61

Kesikli düzgün dağılımda

a

ile

b

arasındaki tam sayıların sayısı

n = b - a + 1

formülü ile bulunur.

2

Kesikli düzgün dağılımın varyans formülünü uygulayınız.

Var(X) = \frac{n^2 - 1}{12}

Eş olasılıklı tam sayılardan oluşan bir dağılımın varyansı bu standart formülle hesaplanır.

3

Değerleri formülde yerine koyarak sonucu hesaplayınız.

\frac{61^2 - 1}{12} = \frac{3721 - 1}{12} = \frac{3720}{12} = 310

Matematiksel işlemin sonucunda varyans elde edilir.

Anahtar Kavram

Kesikli düzgün dağılımın varyans parametresinin hesaplanması.

Tahmini Süre:45s

Soru 10Soru →

Bir kamu kurumunda yapılan görevde yükselme sınavına katılan adaylara, $101$ ’den $151$ ’e kadar ( $101$ ve $151$ dâhil) ardışık tam sayılarla mülakat sıra numarası verilmiştir. Sınav komisyonu tarafından bu adaylar arasından rastgele bir adayın seçilmesi durumunda, seçilen adayın mülakat sıra numarasını temsil eden $X$ rastgele değişkeninin beklenen değeri ( $E[X]$ ) kaçtır?

126

51

151

26

101

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 126

Cevap

Seçilen adayın mülakat sıra numarasının beklenen değeri

126

’dır.

Verilen problemde

X

rastgele değişkeni

[101, 151]

aralığındaki tam sayılar üzerinde tanımlı bir kesikli düzgün dağılımdır. Bu dağılımın beklenen değeri

E[X] = (a+b)/2

formülü ile hesaplanır.

101

ile

151

sayılarının toplamının yarısı

126

değerini verir.

Adım Adım Çözüm

1

Rastgele değişkenin türünü ve parametrelerini belirlemek

X

değişkeni

a=101

ve

b=151

parametrelerine sahip bir Kesikli Düzgün Dağılım gösterir.

Numaraların ardışık tam sayılar olması ve her birinin seçilme olasılığının eşit olması bu dağılıma işaret eder.

2

Kesikli düzgün dağılım için beklenen değer formülünü uygulamak

E[X] = \frac{a + b}{2} = \frac{101 + 151}{2} = \frac{252}{2} = 126

Simetrik bir kesikli düzgün dağılımda beklenen değer (ortalama), alt ve üst sınırların ortasına eşittir.

Anahtar Kavram

Kesikli Düzgün Dağılımın Beklenen Değeri

Soru 11Soru →

Bir araştırma merkezinde, laboratuvar ortamındaki bir sensörün kalibrasyon testleri sırasında, referans sinyali olarak $20$ ile $50$ arasındaki ( $20$ ve $50$ dâhil) tam sayılardan biri eşit olasılıkla rastgele seçilerek cihaza gönderilmektedir.

Gönderilen referans sinyalinin değerini $X$ rastgele değişkeni ile gösterelim.

Buna göre, $X$ rastgele değişkeninin beklenen değeri ve varyansı sırasıyla aşağıdakilerden hangisidir?

35

ve

80

35

ve

75

15

ve

80

15

ve

75

35

ve

450

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: $35$ ve $80$

Cevap

Beklenen değerin

35

ve varyansın

80

olduğunu gösteren seçenektir.

Doğru seçenek, kesikli düzgün dağılım gösteren

X

değişkeninin beklenen değerinin

(20+50)/2 = 35

formülüyle hesaplandığı ve

n = 50-20+1 = 31

terim üzerinden varyansının

(31^2 - 1)/12 = 80

olarak hatasız bulunduğu seçenektir.

Adım Adım Çözüm

1

Rastgele değişkenin dağılımını ve sınır parametrelerini belirleme.

X

rastgele değişkeni, alt sınırı

a = 20

ve üst sınırı

b = 50

olan kesikli düzgün dağılıma (discrete uniform distribution) sahiptir.

Değişken, belirli bir aralıktaki ardışık tam sayıları eşit olasılıkla aldığı için kesikli düzgün dağılım kuralları uygulanmalıdır.

2

Kesikli düzgün dağılım için beklenen değer (aritmetik ortalama) hesabı yapma.

E(X) = \frac{a + b}{2} = \frac{20 + 50}{2} = \frac{70}{2} = 35

olarak elde edilir.

Kesikli düzgün dağılımın beklenen değeri, aldığı en küçük ve en büyük değerlerin ortalamasına eşittir.

3

Olası sonuçların terim sayısını (

n

) bulma.

Terim sayısı

n = b - a + 1

formülünden

n = 50 - 20 + 1 = 31

olarak hesaplanır.

Varyans formülünde kullanılacak olan parametre, sınır değerleri farkı değil, aralıktaki toplam nokta sayısıdır.

4

Kesikli düzgün dağılım varyans formülü ile hesaplama yapma.

Var(X) = \frac{n^2 - 1}{12} = \frac{31^2 - 1}{12} = \frac{961 - 1}{12} = \frac{960}{12} = 80

olarak bulunur.

Kesikli düzgün dağılımda varyansın formülü

n

(toplam değer sayısı) üzerinden

\frac{n^2-1}{12}

şeklinde hesaplanır.

Anahtar Kavram

Kesikli Düzgün Dağılımın Beklenen Değeri ve Varyansı

Soru 12Soru →

Bir üniversite kütüphanesinde, final haftalarında öğrencilere geçici olarak tahsis edilmek üzere ayrılmış kilitli dolaplar, $a$ ve $b$ ( $a, b \in \mathbb{Z}^+$ ve $a < b$ ) dâhil olmak üzere bu iki değer arasındaki ardışık tam sayılarla numaralandırılmıştır.

Sistemden dolap talep eden bir öğrenciye bu dolaplardan herhangi biri eşit olasılıkla rastgele atanmaktadır. Öğrenciye atanan dolap numarasını temsil eden $X$ rastgele değişkeninin beklenen değeri $45$ ve varyansı $24$ olarak hesaplanmıştır.

Buna göre, öğrencilere tahsis edilebilecek en büyük kilitli dolap numarası ( $b$ ) kaçtır?

37

48

53

57

89

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 53

Cevap

En büyük kilitli dolap numarası 53'tür.

Kesikli düzgün dağılımda terim sayısı

n = b - a + 1

olmak üzere varyans

Var(X) = \frac{n^2 - 1}{12}

formülü ile hesaplanır. Varyansın

24

olması formülde yerine konulduğunda

n = 17

olduğu bulunur. Beklenen değer ise uç noktaların ortalaması olan

E(X) = \frac{a + b}{2}

formülüyle hesaplanır ve

45

değeri

a + b = 90

eşitliğini verir. Toplam eleman sayısı üzerinden

b - a = 16

olduğu bilinmektedir. Bu iki denklem (

b - a = 16

ve

a + b = 90

) taraf tarafa toplandığında doğru yanıtı temsil eden üst sınır (

b

) değeri

53

olarak bulunur.

Adım Adım Çözüm

1

Dağılım türünü ve terim sayısını belirleme

Dolap numaraları ardışık tam sayılar olduğundan

X

kesikli düzgün dağılıma sahiptir ve terim sayısı

n = b - a + 1

olarak ifade edilir.

Varyans ve beklenen değer formüllerini doğru uygulayabilmek için dağılımın temel parametrelerini tanımlamak gerekir.

2

Varyans bilgisini kullanarak terim sayısını (

n

) hesaplama

Kesikli düzgün dağılım varyans formülü

Var(X) = \frac{n^2 - 1}{12} = 24

olarak eşitlendiğinde

n^2 = 289

ve buradan

n = 17

bulunur.

Kesikli düzgün dağılımda varyans sadece toplam terim sayısına (

n

) bağlıdır.

3

Beklenen değer formülü ile sınırların toplamını elde etme

Beklenen değer formülü

E(X) = \frac{a + b}{2} = 45

kullanıldığında

a + b = 90

denklemi elde edilir.

Kesikli düzgün dağılımın beklenen değeri, dağılımın alt ve üst sınırlarının aritmetik ortalamasıdır.

4

İki bilinmeyenli denklem sistemini çözerek

b

değerini bulma

n = b - a + 1 = 17

eşitliğinden

b - a = 16

bulunur.

a + b = 90

ile ortak çözüldüğünde taraf tarafa toplama yapılarak

2b = 106

ve nihayetinde

b = 53

sonucuna ulaşılır.

Soruda bizden istenen en büyük kilitli dolap numarası, sistemin üst sınırı olan

b

değeridir.

Anahtar Kavram

Kesikli Düzgün Dağılımda Beklenen Değer ve Varyans

Kesikli Düzgün Dağılım

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

İpuçları

Daha Fazla Pratik

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar