Examkin

Soru

Zorluk: KolayMartingaleler

{Fn}n≥0\{\mathcal{F}_n\}_{n \geq 0} filtrasyonuna göre bir martingale (martingal) olduğu bilinen {Xn}n≥0\{X_n\}_{n \geq 0} stokastik süreci için n=4n=4 anındaki değer X4=15X_4 = 15 olarak gözlemlenmiştir. Buna göre, bu sürecin n=10n=10 adımındaki değerinin n=4n=4 adımına kadarki bilgilere göre koşullu beklenen değeri olan E[X10∣F4]E[X_{10} | \mathcal{F}_4] kaçtır?

  1. 15Cevap
  2. B
    0
  3. C
    21
  4. D
    37,5
  5. E
    E[X10]E[X_{10}]

Cevap

Sürecin mevcut gözlemlenen değeri olan 15 cevabı doğrudur.
Martingal süreçlerin en temel özelliği 'adil oyun' (fair game) prensibidir. Matematiksel olarak, {Xn}\{X_n\} bir martingal ise her m>nm > n için E[Xm∣Fn]=XnE[X_m | \mathcal{F}_n] = X_n eşitliği sağlanır. Soruda X4=15X_4 = 15 olarak verildiğinden, bu bilgiyi içeren filtrasyon altında gelecekteki X10X_{10} değerinin beklentisi yine 15 olacaktır.

Adım Adım Çözüm

1
Martingal özelliğini tanımlama
E[Xn+1∣Fn]=XnE[X_{n+1} | \mathcal{F}_n] = X_n
Martingal tanımı, sürecin bir sonraki adımdaki beklenen değerinin mevcut duruma eşit olmasını gerektirir.
2
Kule özelliğini (Tower Property) kullanarak beklentiyi ileriye taşıma
E[Xn+k∣Fn]=XnE[X_{n+k} | \mathcal{F}_n] = X_n
Martingal mülkiyeti ardışık olarak uygulandığında, herhangi bir gelecek zaman adımı için beklenti mevcut değere sabitlenir.
3
Verilen değerleri yerine koyma
E[X10∣F4]=X4=15E[X_{10} | \mathcal{F}_4] = X_4 = 15
n=4n=4 ve k=6k=6 değerleri için süreç martingal olduğundan sonuç doğrudan gözlemlenen değere eşittir.

Anahtar Kavram

Martingal Beklenti Değişmezliği
Tahmini Süre:45s
Bu soruyu puanla

Konular

Martingaleler

Bu konudan daha fazla soru