Examkin

Soru

Zorluk: OrtaMartingaleler

{Zn}n≥1\{Z_n\}_{n \geq 1} bağımsız ve aynı dağılımlı rastgele değişkenler dizisi olmak üzere, bu dizideki her bir ZnZ_n değişkeni aşağıdaki olasılık dağılımına sahiptir:

P(Zn=2)=pP(Z_n = 2) = p
P(Zn=12)=1−pP(Z_n = \frac{1}{2}) = 1-p

Fn=σ(Z1,Z2,…,Zn)\mathcal{F}_n = \sigma(Z_1, Z_2, \dots, Z_n), nn anına kadar olan bilgiyi temsil eden doğal filtrasyon ve başlangıç değeri M0=1M_0 = 1 olmak üzere çarpım süreci,

Mn=∏i=1nZi M_n = \prod_{i=1}^n Z_i

şeklinde tanımlanıyor.

Buna göre, {Mn}n≥0\{M_n\}_{n \geq 0} sürecinin bir Fn\mathcal{F}_n-martingal olması için pp olasılık değeri aşağıdakilerden hangisi olmalıdır?

  1. A
    14\frac{1}{4}
  2. 13\frac{1}{3}Cevap
  3. C
    12\frac{1}{2}
  4. D
    35\frac{3}{5}
  5. E
    23\frac{2}{3}

Cevap

Çarpım sürecinin bir martingal olması için Z_n rastgele değişkenlerinin beklenen değerinin 1 olması gerekir. Bu denklem çözüldüğünde p = 1/3 elde edilir.
{Mn}\{M_n\} sürecinin bir martingal olabilmesi için E[Mn+1∣Fn]=MnE[M_{n+1} | \mathcal{F}_n] = M_n temel şartı sağlanmalıdır. Mn+1=Mn⋅Zn+1M_{n+1} = M_n \cdot Z_{n+1} şeklinde verildiğinden ve Zn+1Z_{n+1}, geçmişteki bilgileri barındıran Fn\mathcal{F}_n filtrasyonundan bağımsız olduğundan, E[Mn+1∣Fn]=Mn⋅E[Zn+1]E[M_{n+1} | \mathcal{F}_n] = M_n \cdot E[Z_{n+1}] olur. Bu ifadenin her durumda MnM_n'e eşit olabilmesi için E[Zn+1]=1E[Z_{n+1}] = 1 olması zorunludur. Dağılımın beklenen değerini hesaplarsak: E[Zn+1]=2p+12(1−p)=3p2+12E[Z_{n+1}] = 2p + \frac{1}{2}(1-p) = \frac{3p}{2} + \frac{1}{2} elde edilir. 3p2+12=1\frac{3p}{2} + \frac{1}{2} = 1 denklemi çözüldüğünde 3p2=12\frac{3p}{2} = \frac{1}{2} ve dolayısıyla p=13p = \frac{1}{3} bulunur.

Adım Adım Çözüm

1
Martingal tanımını çarpım süreci için uygulamak
E[Mn+1∣Fn]=E[Mn⋅Zn+1∣Fn]E[M_{n+1} | \mathcal{F}_n] = E[M_n \cdot Z_{n+1} | \mathcal{F}_n] bağıntısı yazılır.
Bir sürecin martingal olması için mevcut bilgiye göre bir sonraki adımın beklenen değerinin şu anki değere eşit olması (E[Mn+1∣Fn]=MnE[M_{n+1} | \mathcal{F}_n] = M_n) gereklidir.
2
Koşullu beklenen değeri sadeleştirmek
MnM_n bilindiği için koşul dışına alınır ve Zn+1Z_{n+1} bağımsız olduğundan koşul kalkar: Mn⋅E[Zn+1]=MnM_n \cdot E[Z_{n+1}] = M_n elde edilir.
Rastgele değişkenler dizisi bağımsız olduğundan, Zn+1Z_{n+1} değişkeni geçmiş bilgiyi içeren Fn\mathcal{F}_n filtrasyonundan bağımsızdır.
3
Beklenen değer denklemini oluşturup çözmek
E[Zn+1]=1E[Z_{n+1}] = 1 olmalıdır. 2⋅p+12⋅(1−p)=12 \cdot p + \frac{1}{2} \cdot (1-p) = 1 denklemi kurularak 3p2=12\frac{3p}{2} = \frac{1}{2}'den p=13p = \frac{1}{3} bulunur.
Martingal eşitliğinin MnM_n'nin aldığı tüm değerler için her adımda sağlanması ancak çarpanın beklenen değerinin 1 olması ile mümkündür.

Anahtar Kavram

Bağımsız rastgele değişkenlerin çarpımı şeklinde tanımlanan süreçlerin martingal olabilmesi için her bir çarpan değişkenin beklenen değerinin 1'e eşit olması koşulu.

Alternatif Yöntem

Alternatif olarak doğrudan E[Mn]=M0=1E[M_n] = M_0 = 1 genel özelliği üzerinden de gidilebilir. E[Mn]=∏E[Zi]=(E[Z1])n=1E[M_n] = \prod E[Z_i] = (E[Z_1])^n = 1 olmalıdır, bu durum da ancak E[Z1]=1E[Z_1] = 1 olması ile sağlanır.
Tahmini Süre:1m 0s
Bu soruyu puanla

Konular

Martingaleler

Bu konudan daha fazla soru