Examkin

Soru

Zorluk: OrtaMartingaleler

İstatistiksel bir hipotez testinde, gözlemler birbirinden bağımsız ve aynı dağılımlı {Xn}n≥1\{X_n\}_{n \ge 1} rastgele değişkenler dizisidir. XnX_n'lerin gerçek olasılık yoğunluk fonksiyonunun f0(x)f_0(x) veya f1(x)f_1(x) olduğuna dair iki basit hipotez sırasıyla H0H_0 ve H1H_1 olarak verilmektedir. Her xx için f0(x)>0f_0(x) > 0 ve f1(x)>0f_1(x) > 0 olduğu, ayrıca f0≠f1f_0 \neq f_1 olduğu varsayılmaktadır.

H0H_0 hipotezinin doğru olduğu varsayımı altında, {Fn}n≥1\{\mathcal{F}_n\}_{n \ge 1} gözlemlerin ürettiği doğal filtrasyon (Fn=σ(X1,X2,…,Xn)\mathcal{F}_n = \sigma(X_1, X_2, \dots, X_n)) olmak üzere,
Ln=∏i=1nf1(Xi)f0(Xi) L_n = \prod_{i=1}^n \frac{f_1(X_i)}{f_0(X_i)}
şeklinde tanımlanan olabilirlik oranı (likelihood ratio) süreci için aşağıdakilerden hangisi doğrudur?
  1. {Fn}\{\mathcal{F}_n\} filtrasyonuna göre bir martingaldir.Cevap
  2. B
    {Fn}\{\mathcal{F}_n\} filtrasyonuna göre bir alt martingaldir (submartingale), çünkü her bir adımda oranın beklenen değeri 11'den büyüktür.
  3. C
    {Fn}\{\mathcal{F}_n\} filtrasyonuna göre bir üst martingaldir (supermartingale), çünkü LnL_n ardışık yoğunluk oranlarının çarpımı olduğundan zamanla sıfıra yakınsar.
  4. D
    Martingal değildir, çünkü koşullu beklenen değer E[Ln+1∣Fn]E[L_{n+1} \mid \mathcal{F}_n] rastgele bir değişkendir ve bir martingalde bu değerin sabit bir sayı çıkması gerekir.
  5. E
    Ancak ln⁡(Ln)\ln(L_n) dönüşümü yapıldığında {Fn}\{\mathcal{F}_n\} filtrasyonuna göre bir martingal olur, çünkü logaritma çarpımı toplama dönüştürür.

Cevap

Olabilirlik oranı (likelihood ratio) süreci LnL_n, verilen doğal filtrasyona göre bir martingaldir.
Ln+1=Ln⋅f1(Xn+1)f0(Xn+1)L_{n+1} = L_n \cdot \frac{f_1(X_{n+1})}{f_0(X_{n+1})} şeklinde yazıldığında, LnL_n değeri Fn\mathcal{F}_n tarafından bilindiği için koşullu beklenen değerin dışına çarpan olarak çıkarılır. Kalan terimin H0H_0 altındaki beklenen değeri ∫f1(x)f0(x)f0(x)dx=∫f1(x)dx=1\int \frac{f_1(x)}{f_0(x)} f_0(x) dx = \int f_1(x) dx = 1'dir. Bu nedenle EH0[Ln+1∣Fn]=Ln⋅1=LnE_{H_0}[L_{n+1} \mid \mathcal{F}_n] = L_n \cdot 1 = L_n eşitliği sağlanır ve olabilirlik oranı süreci tam bir martingaldir.

Adım Adım Çözüm

1
Martingal koşulunun tanımını LnL_n süreci için yazınız.
E[Ln+1∣Fn]=LnE[L_{n+1} \mid \mathcal{F}_n] = L_n eşitliğinin sağlanıp sağlanmadığı kontrol edilmelidir.
Bir sürecin martingal, alt martingal veya üst martingal olduğunu belirlemenin temel yolu ardışık terimler arasındaki koşullu beklenen değeri hesaplamaktır.
2
Ln+1L_{n+1} terimini LnL_n cinsinden ifade ediniz.
Ln+1=∏i=1n+1f1(Xi)f0(Xi)=Ln⋅f1(Xn+1)f0(Xn+1)L_{n+1} = \prod_{i=1}^{n+1} \frac{f_1(X_i)}{f_0(X_i)} = L_n \cdot \frac{f_1(X_{n+1})}{f_0(X_{n+1})} elde edilir.
Zaman adımları arasındaki ilişkiyi ayırmak, bilinen bilgiyi (Fn\mathcal{F}_n) bilinmeyen gelecek adım bilgisinden izole etmek için gereklidir.
3
H0H_0 hipotezi altında koşullu beklenen değeri hesaplayınız.
EH0[Ln+1∣Fn]=Ln⋅EH0[f1(Xn+1)f0(Xn+1)]E_{H_0}[L_{n+1} \mid \mathcal{F}_n] = L_n \cdot E_{H_0}\left[\frac{f_1(X_{n+1})}{f_0(X_{n+1})}\right] işlemi yapılır.
LnL_n süreci Fn\mathcal{F}_n bilindiğinde sabit (ölçülebilir) bir değerdir ve koşullu beklenen değerin dışına çarpan olarak alınır. Xn+1X_{n+1} ise bağımsızlık varsayımı gereği Fn\mathcal{F}_n'den bağımsızdır.
4
Kalan beklenen değer ifadesini integral yardımıyla çözünüz.
EH0[f1(X)f0(X)]=∫f1(x)f0(x)f0(x)dx=∫f1(x)dx=1E_{H_0}\left[\frac{f_1(X)}{f_0(X)}\right] = \int \frac{f_1(x)}{f_0(x)} f_0(x) dx = \int f_1(x) dx = 1 bulunur.
H0H_0 hipotezi altında gerçek olasılık yoğunluk fonksiyonu f0(x)f_0(x)'tir ve paydadaki f0(x)f_0(x) ile sadeleşir. Herhangi bir geçerli olasılık yoğunluk fonksiyonunun (f1f_1) tüm uzaydaki integrali 11'e eşittir.
5
Sonuçları birleştirerek sürecin türüne kesin karar veriniz.
EH0[Ln+1∣Fn]=Ln⋅1=LnE_{H_0}[L_{n+1} \mid \mathcal{F}_n] = L_n \cdot 1 = L_n olduğundan LnL_n bir martingaldir.
Süreç, martingal olmanın temel tanım eşitliğini tam ve eksiksiz olarak sağlamaktadır.

Anahtar Kavram

Martingal Tanımı ve Olabilirlik Oranı Süreci (Likelihood Ratio Martingale)
Bu soruyu puanla

Konular

Martingaleler

Bu konudan daha fazla soru