Martingaleler

Finansal bir varlığın ardışık günlük getirilerini temsil eden $\{Y_n\}_{n \geq 1}$ rastgele değişkenler dizisi, birbirinden bağımsız, aynı dağılımlı ve pozitif değerli olarak tanımlanmıştır. Her bir $n \geq 1$ için $E[Y_n] = 1$ ve $Var(Y_n) > 0$ olduğu bilinmektedir.

Varlığın $n$. gün sonundaki fiyatı $X_n = \prod_{i=1}^n Y_i$ şeklinde modellenmiş ve ilgili doğal filtrasyon $\mathcal{F}_n = \sigma(Y_1, Y_2, \dots, Y_n)$ olarak oluşturulmuştur.

Buna göre, $Z_n = \sqrt{X_n}$ ile tanımlanan yeni stokastik süreç için aşağıdakilerden hangisi kesinlikle doğrudur?

$\{X_n\}_{n \geq 1}$, beklenen değeri $\mu$ ve varyansı $\sigma^2 > 0$ olan bağımsız ve aynı dağılımlı rastgele değişkenler dizisi olsun.

$S_n = \sum_{i=1}^n X_i$ şeklinde tanımlanan süreci ve $\mathcal{F}_n = \sigma(X_1, X_2, \dots, X_n)$ doğal filtrasyonunu ele alalım.

Buna göre, $Y_n = S_n^2 - n \sigma^2$ sürecinin $\mathcal{F}_n$'ye göre bir martingal olması için $\mu$ değeri aşağıdakilerden hangisi olmalıdır?

$\{X_n\}_{n \geq 0}$, başlangıç durumu $X_0 = 1$ olan ve her bir bireyin birbirinden bağımsız olarak ortalaması $\mu > 0$ ve varyansı $\sigma^2 > 0$ olan bir dağılımdan yavru ürettiği bir Galton-Watson dallanma (branching) süreci olsun.
$\mathcal{F}_n = \sigma(X_0, X_1, \dots, X_n)$ sürece ait doğal filtrasyonu göstermek üzere, $M_n = \frac{X_n}{\mu^n}$ sürecinin bir $\mathcal{F}_n$-martingal olduğu bilinmektedir.

Buna göre, $M_n^2$ alt-martingalinin Doob ayrışım (Doob decomposition) teoremine göre $M_n^2 = N_n + A_n$ (burada $N_n$ bir martingaldir) biçimindeki ifadesinde yer alan öngörülebilir (predictable) ve artan $A_n$ sürecinin genel terimi aşağıdakilerden hangisidir? ($A_0 = 0$ alınacaktır.)

$\{Z_n\}_{n \geq 1}$ bağımsız ve aynı dağılımlı rastgele değişkenler dizisi olmak üzere, bu dizideki her bir $Z_n$ değişkeni aşağıdaki olasılık dağılımına sahiptir:

$\mathcal{F}_n = \sigma(Z_1, Z_2, \dots, Z_n)$, $n$ anına kadar olan bilgiyi temsil eden doğal filtrasyon ve başlangıç değeri $M_0 = 1$ olmak üzere çarpım süreci,

şeklinde tanımlanıyor.

Buna göre, $\{M_n\}_{n \geq 0}$ sürecinin bir $\mathcal{F}_n$-martingal olması için $p$ olasılık değeri aşağıdakilerden hangisi olmalıdır?

İstatistiksel bir hipotez testinde, gözlemler birbirinden bağımsız ve aynı dağılımlı $\{X_n\}_{n \ge 1}$ rastgele değişkenler dizisidir. $X_n$'lerin gerçek olasılık yoğunluk fonksiyonunun $f_0(x)$ veya $f_1(x)$ olduğuna dair iki basit hipotez sırasıyla $H_0$ ve $H_1$ olarak verilmektedir. Her $x$ için $f_0(x) > 0$ ve $f_1(x) > 0$ olduğu, ayrıca $f_0 \neq f_1$ olduğu varsayılmaktadır.

Bir risk analizi modelinde, incelenen bir sistemin durum skoru her bir zaman adımında eşit olasılıkla $1$ birim artmakta veya $1$ birim azalmaktadır. Bu durum, $P(U_n = 1) = \frac{1}{2}$ ve $P(U_n = -1) = \frac{1}{2}$ olasılık dağılımına sahip, birbirinden bağımsız ve eş dağılımlı $\{U_n\}_{n \geq 1}$ rastgele değişkenleri ile modellenmektedir.

Sistemin $n$. adımdaki toplam durum skoru $S_0 = 0$ olmak üzere, $n \geq 1$ için $S_n = S_{n-1} + U_n$ eşitliği ile verilmektedir. $\mathcal{F}_n$, $\{S_n\}$ sürecinin doğal filtrasyonu olsun.

Araştırmacılar, $M_n = S_n^2 - c \cdot n$ şeklinde yeni bir stokastik süreç tanımlamış ve bu sürecin $\mathcal{F}_n$'ye göre bir martingal olmasını hedeflemiştir. Analiz, sistemin skoru $4$'e ulaştığında (üst sınır) veya $-2$'ye düştüğünde (alt sınır) durdurulacaktır. Durdurma zamanı $T = \min\{n : S_n = 4 \text{ veya } S_n = -2\}$ olarak tanımlanmıştır.

Opsiyonel Durdurma Teoremi'nin (Optional Stopping Theorem) geçerli olduğu varsayımı altında, sürecin martingal olmasını sağlayan $c$ sabiti ile sistemin durdurulmasına kadar geçecek beklenen adım sayısı $E[T]$ sırasıyla aşağıdakilerden hangisidir?

Bir veri merkezindeki sunucu ağının kümülatif işlem yükü sapması, $\{\mathcal{F}_n\}_{n \ge 0}$ filtrasyonuna göre $M_0 = 0$ başlangıç değeriyle $M_n = \sum_{i=1}^n \Delta_i$ stokastik süreci olarak modellenmiştir. Bu süreçteki $\Delta_i$ adım değişimlerinin, her $n \ge 1$ için

şartlarını sağladığı bilinmektedir.

Sistem yöneticisi, soğutma sisteminin enerji maliyeti projeksiyonunu yapabilmek amacıyla karesel sapmayı temsil eden $C_n = M_n^2$ sürecini ve bu maliyetin kompanze edilmiş hali olan $N_n = C_n - n\sigma^2$ sürecini tanımlamıştır.

Buna göre, $C_n$ sürecinin martingal teorisine göre sınıflandırması ve Opsiyonel Durdurma Teoremi (Optional Stopping Theorem) şartlarını sağlayan sonlu bir $T$ durdurma zamanı için $E[N_T]$ beklenen değeri aşağıdakilerin hangisinde doğru verilmiştir?

Bir finansal risk analizinde, bir yatırım portföyünün kümülatif getirisini temsil eden $\{X_n\}_{n \geq 0}$ süreci, $\{\mathcal{F}_n\}$ filtrasyonuna göre bir martingal olarak modellenmiştir. Portföyün başlangıçtaki değeri $X_0 = 50$ birim olarak belirlenmiştir. $T$, bu süreç için tanımlanmış sınırlı (bounded) bir durdurma zamanı (stopping time) olduğuna göre, Opsiyonel Durdurma Teoremi (Optional Stopping Theorem) uyarınca bu portföyün durdurma anındaki beklenen değeri ($E[X_T]$) aşağıdakilerden hangisidir?

$\{\mathcal{F}_n\}_{n \geq 0}$ filtrasyonuna göre bir martingale (martingal) olduğu bilinen $\{X_n\}_{n \geq 0}$ stokastik süreci için $n=4$ anındaki değer $X_4 = 15$ olarak gözlemlenmiştir. Buna göre, bu sürecin $n=10$ adımındaki değerinin $n=4$ adımına kadarki bilgilere göre koşullu beklenen değeri olan $E[X_{10} | \mathcal{F}_4]$ kaçtır?