Examkin

Soru

Zorluk: Çok zorMartingaleler

{Xn}n≥0\{X_n\}_{n \geq 0}, başlangıç durumu X0=1X_0 = 1 olan ve her bir bireyin birbirinden bağımsız olarak ortalaması μ>0\mu > 0 ve varyansı σ2>0\sigma^2 > 0 olan bir dağılımdan yavru ürettiği bir Galton-Watson dallanma (branching) süreci olsun.
Fn=σ(X0,X1,…,Xn)\mathcal{F}_n = \sigma(X_0, X_1, \dots, X_n) sürece ait doğal filtrasyonu göstermek üzere, Mn=XnμnM_n = \frac{X_n}{\mu^n} sürecinin bir Fn\mathcal{F}_n-martingal olduğu bilinmektedir.

Buna göre, Mn2M_n^2 alt-martingalinin Doob ayrışım (Doob decomposition) teoremine göre Mn2=Nn+AnM_n^2 = N_n + A_n (burada NnN_n bir martingaldir) biçimindeki ifadesinde yer alan öngörülebilir (predictable) ve artan AnA_n sürecinin genel terimi aşağıdakilerden hangisidir? (A0=0A_0 = 0 alınacaktır.)

  1. A
    ∑k=1nσ2μkXk−1\displaystyle\sum_{k=1}^n \frac{\sigma^2}{\mu^k} X_{k-1}
  2. B
    ∑k=1nσ2μ2kXk−12\displaystyle\sum_{k=1}^n \frac{\sigma^2}{\mu^{2k}} X_{k-1}^2
  3. ∑k=1nσ2μ2kXk−1\displaystyle\sum_{k=1}^n \frac{\sigma^2}{\mu^{2k}} X_{k-1}Cevap
  4. D
    ∑k=1nσ2μk+1\displaystyle\sum_{k=1}^n \frac{\sigma^2}{\mu^{k+1}}
  5. E
    ∑k=1nσ2μ2kXk\displaystyle\sum_{k=1}^n \frac{\sigma^2}{\mu^{2k}} X_k

Cevap

Doob ayrışım teoremine göre doğru kompansatör süreci ∑k=1nσ2μ2kXk−1\displaystyle\sum_{k=1}^n \frac{\sigma^2}{\mu^{2k}} X_{k-1} olarak hesaplanır.
Doob ayrışım teoremine göre, Mn2M_n^2 alt-martingali için artan ve öngörülebilir kompansatör süreci An=∑k=1nE[Mk2−Mk−12∣Fk−1]A_n = \sum_{k=1}^n E[M_k^2 - M_{k-1}^2 \mid \mathcal{F}_{k-1}] olarak tanımlanır. MkM_k bir martingal olduğundan bu ifade ∑k=1nE[(Mk−Mk−1)2∣Fk−1]\sum_{k=1}^n E[(M_k - M_{k-1})^2 \mid \mathcal{F}_{k-1}] şekline dönüşür. Mk−Mk−1=Xk−μXk−1μkM_k - M_{k-1} = \frac{X_k - \mu X_{k-1}}{\mu^k} olduğundan, karesinin Fk−1\mathcal{F}_{k-1} bilindiğindeki beklenen değeri 1μ2kVar(Xk∣Fk−1)\frac{1}{\mu^{2k}} Var(X_k \mid \mathcal{F}_{k-1})'dir. Galton-Watson sürecinde Fk−1\mathcal{F}_{k-1} verildiğinde XkX_k'nın koşullu varyansı Xk−1σ2X_{k-1}\sigma^2'dir. Bu değerler formülde yerine konulduğunda doğru ifadeye ulaşılır.

Adım Adım Çözüm

1
AnA_n kompansatör sürecinin genel formülünü Doob ayrışım teoremine göre ifade edin.
An=∑k=1nE[Mk2−Mk−12∣Fk−1]A_n = \sum_{k=1}^n E[M_k^2 - M_{k-1}^2 \mid \mathcal{F}_{k-1}] olarak tanımlanır. MkM_k martingal olduğundan bu ifade An=∑k=1nE[(Mk−Mk−1)2∣Fk−1]A_n = \sum_{k=1}^n E[(M_k - M_{k-1})^2 \mid \mathcal{F}_{k-1}] biçimine sadeleşir.
Alt-martingaller her zaman bir martingal ve öngörülebilir (predictable) artan bir sürecin toplamı şeklinde tekil olarak ayrıştırılabilir.
2
Martingal farkını Fk−1\mathcal{F}_{k-1} koşulu altında hesaplayarak varyans formuna getirin.
Mk−Mk−1=Xk−μXk−1μkM_k - M_{k-1} = \frac{X_k - \mu X_{k-1}}{\mu^k} olduğundan karesinin koşullu beklentisi 1μ2kVar(Xk∣Fk−1)\frac{1}{\mu^{2k}} Var(X_k \mid \mathcal{F}_{k-1}) olur.
Sabit çarpanlar varyans (veya ikinci moment) operatöründen karesi alınarak dışarı çıkar.
3
Galton-Watson süreci için XkX_k'nın Fk−1\mathcal{F}_{k-1} altındaki koşullu varyansını bulun ve toplam formülüne yerleştirin.
XkX_k toplam Xk−1X_{k-1} bağımsız bireyin yavru sayısı olduğundan, Var(Xk∣Fk−1)=Xk−1σ2Var(X_k \mid \mathcal{F}_{k-1}) = X_{k-1}\sigma^2 olur. Formülde yerine konduğunda An=∑k=1nσ2μ2kXk−1A_n = \sum_{k=1}^n \frac{\sigma^2}{\mu^{2k}} X_{k-1} bulunur.
Bağımsız rassal değişkenlerin toplamının varyansı, tekil varyansların toplamına eşittir ve birey sayısı Fk−1\mathcal{F}_{k-1} zamanında tam olarak bilinmektedir.

Anahtar Kavram

Doob Ayrışım Teoremi ve Alt-martingal Kompansatörü
Bu soruyu puanla

Konular

Martingaleler

Bu konudan daha fazla soru