Examkin

Soru

Zorluk: OrtaMartingaleler

Finansal bir varlığın ardışık günlük getirilerini temsil eden {Yn}n≥1\{Y_n\}_{n \geq 1} rastgele değişkenler dizisi, birbirinden bağımsız, aynı dağılımlı ve pozitif değerli olarak tanımlanmıştır. Her bir n≥1n \geq 1 için E[Yn]=1E[Y_n] = 1 ve Var(Yn)>0Var(Y_n) > 0 olduğu bilinmektedir.

Varlığın nn. gün sonundaki fiyatı Xn=∏i=1nYiX_n = \prod_{i=1}^n Y_i şeklinde modellenmiş ve ilgili doğal filtrasyon Fn=σ(Y1,Y2,…,Yn)\mathcal{F}_n = \sigma(Y_1, Y_2, \dots, Y_n) olarak oluşturulmuştur.

Buna göre, Zn=XnZ_n = \sqrt{X_n} ile tanımlanan yeni stokastik süreç için aşağıdakilerden hangisi kesinlikle doğrudur?

  1. A
    {Zn}\{Z_n\} süreci Fn\mathcal{F}_n filtrasyonuna göre bir martingaldir.
  2. B
    {Zn}\{Z_n\} süreci Fn\mathcal{F}_n filtrasyonuna göre bir alt-martingaldir (submartingale).
  3. {Zn}\{Z_n\} süreci Fn\mathcal{F}_n filtrasyonuna göre bir süper-martingaldir (supermartingale).Cevap
  4. D
    Her n≥1n \geq 1 için E[Zn]=1E[Z_n] = 1'dir.
  5. E
    E[Zn+1∣Fn]E[Z_{n+1} | \mathcal{F}_n] koşullu beklenen değeri, rastgele bir değişken değil sabit bir gerçel sayıdır.

Cevap

{Zn}\{Z_n\} süreci Fn\mathcal{F}_n filtrasyonuna göre bir süper-martingaldir (supermartingale).
Verilen tanımlara göre sürecin durumunu belirlemek için Fn\mathcal{F}_n'e göre koşullu beklenen değer alınmalıdır. E[Zn+1∣Fn]=E[ZnYn+1∣Fn]E[Z_{n+1} | \mathcal{F}_n] = E[Z_n \sqrt{Y_{n+1}} | \mathcal{F}_n] bağıntısında ZnZ_n bilindiğinden beklenen değerin dışına çarpan olarak çıkar, Yn+1Y_{n+1} ise Fn\mathcal{F}_n'den bağımsız olduğundan koşulsuz beklenen değerine dönüşür: ZnE[Yn+1]Z_n E[\sqrt{Y_{n+1}}]. f(y)=yf(y) = \sqrt{y} fonksiyonu kesin konkav (içbükey) bir fonksiyon olduğundan ve Yn+1Y_{n+1}'in varyansı sıfırdan büyük olduğundan, Jensen eşitsizliği gereği E[Yn+1]<E[Yn+1]=1=1E[\sqrt{Y_{n+1}}] < \sqrt{E[Y_{n+1}]} = \sqrt{1} = 1 olur. Sonuç olarak E[Zn+1∣Fn]<ZnE[Z_{n+1} | \mathcal{F}_n] < Z_n elde edilir. Bu özellik, stokastik sürecin süper-martingal (üst-martingal) olduğunu kesin olarak kanıtlar.

Adım Adım Çözüm

1
Zn+1Z_{n+1} ile ZnZ_n arasındaki matematiksel ilişkiyi belirle.
Zn+1=Xn+1=Xn⋅Yn+1=Xn⋅Yn+1=Zn⋅Yn+1Z_{n+1} = \sqrt{X_{n+1}} = \sqrt{X_n \cdot Y_{n+1}} = \sqrt{X_n} \cdot \sqrt{Y_{n+1}} = Z_n \cdot \sqrt{Y_{n+1}}
Sürecin martingal türünü belirlemek için bir sonraki adımın mevcut adımla ilişkisi üzerinden koşullu beklenen değere geçiş yapılmalıdır.
2
Zn+1Z_{n+1}'in Fn\mathcal{F}_n altındaki koşullu beklenen değerini (E[Zn+1∣Fn]E[Z_{n+1} | \mathcal{F}_n]) hesapla.
E[Zn⋅Yn+1∣Fn]=Zn⋅E[Yn+1∣Fn]=Zn⋅E[Yn+1]E[Z_n \cdot \sqrt{Y_{n+1}} | \mathcal{F}_n] = Z_n \cdot E[\sqrt{Y_{n+1}} | \mathcal{F}_n] = Z_n \cdot E[\sqrt{Y_{n+1}}]
ZnZ_n değeri Fn\mathcal{F}_n filtrasyonuna göre bilinir ve dışarı sabit olarak çıkar. Yn+1Y_{n+1} ise geçmişten bağımsızdır.
3
E[Yn+1]E[\sqrt{Y_{n+1}}] değerini bulmak için Jensen eşitsizliğini uygula.
f(y)=yf(y) = \sqrt{y} fonksiyonu kesin konkav (içbükey) ve Var(Y)>0Var(Y) > 0 olduğundan: E[Yn+1]<E[Yn+1]=1=1E[\sqrt{Y_{n+1}}] < \sqrt{E[Y_{n+1}]} = \sqrt{1} = 1
Rastgele değişken sabit olmadığı (varyans > 0) ve fonksiyon doğrusal olmadığı için eşitlik değil kesin eşitsizlik durumu geçerlidir.
4
Sonuçları birleştirerek sürecin türüne karar ver.
E[Zn+1∣Fn]=Zn⋅E[Yn+1]<Zn⋅1=ZnE[Z_{n+1} | \mathcal{F}_n] = Z_n \cdot E[\sqrt{Y_{n+1}}] < Z_n \cdot 1 = Z_n
Koşullu beklenen değer mevcut değerden küçük (E[Zn+1∣Fn]≤ZnE[Z_{n+1} | \mathcal{F}_n] \leq Z_n) çıktığı için süreç tanım gereği süper-martingal (üst-martingal) olur.

Anahtar Kavram

Martingal Özellikleri ve Jensen Eşitsizliği
Bu soruyu puanla

Konular

Martingaleler

Bu konudan daha fazla soru