Examkin

Soru

Zorluk: Çok zorKesikli Rastgele Değişkenler ve Olasılık Kütle Fonksiyonu

Bir araştırmada incelenen olayların gerçekleşme sayısı olan XX kesikli rastgele değişkeninin olasılık kütle fonksiyonu, kk bir sabit sayı olmak üzere aşağıdaki gibi tanımlanmıştır:

P(X=x)={k⋅x3x,x=1,2,3,…0,dig˘er durumlarP(X = x) = \begin{cases} \frac{k \cdot x}{3^x}, & x = 1, 2, 3, \dots \\ 0, & \text{diğer durumlar} \end{cases}

Buna göre, XX rastgele değişkeninin çift sayı değerini alma olasılığı kaçtır?

  1. A
    316\frac{3}{16}
  2. 38\frac{3}{8}Cevap
  3. C
    12\frac{1}{2}
  4. D
    59\frac{5}{9}
  5. E
    916\frac{9}{16}

Cevap

Doğru cevap 38\frac{3}{8} değeridir.
Doğru seçenekteki değer, ilk olarak tüm xx değerleri için olasılıklar toplamı 1'e eşitlenerek normalizasyon sabiti olan k=4/3k = 4/3 değerinin bulunması ve ardından x=2nx=2n çift sayıları için aritmetik-geometrik seri toplamının doğru katsayılar ile ∑2k⋅n(1/9)n\sum 2k \cdot n(1/9)^n biçiminde çözülmesiyle ulaşılan 3/83/8 sonucunu yansıtmaktadır.

Adım Adım Çözüm

1
Olasılık kütle fonksiyonunun geçerli olabilmesi için tüm olasılıkların toplamının 1'e eşit olması gerektiği kuralını kullanarak kk sabitini hesaplayın.
∑x=1∞k⋅x3x=1  ⟹  k∑x=1∞x(13)x=1\sum_{x=1}^{\infty} \frac{k \cdot x}{3^x} = 1 \implies k \sum_{x=1}^{\infty} x \left(\frac{1}{3}\right)^x = 1. Aritmetik-geometrik seri formülü ∑x=1∞xrx=r(1−r)2\sum_{x=1}^{\infty} x r^x = \frac{r}{(1-r)^2} kullanılarak toplam 1/3(2/3)2=34\frac{1/3}{(2/3)^2} = \frac{3}{4} bulunur. Buradan k⋅34=1  ⟹  k=43k \cdot \frac{3}{4} = 1 \implies k = \frac{4}{3} elde edilir.
Olasılık aksiyomları gereği örnek uzaydaki tüm olası durumların olasılıkları toplamı tam olarak 1 olmak zorundadır.
2
XX'in çift sayı gelme olasılığını ifade eden toplam formülünü oluşturun.
P(X c¸ift)=∑n=1∞P(X=2n)=∑n=1∞k⋅(2n)32n=2k∑n=1∞n(19)nP(X \text{ çift}) = \sum_{n=1}^{\infty} P(X = 2n) = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{k \cdot (2n)}{3^{2n}} = 2k \sum_{n=1}^{\infty} n \left(\frac{1}{9}\right)^n
XX'in çift sayı değerleri 2,4,6,…2, 4, 6, \dots şeklindedir ve formülde x=2nx=2n yazılarak tüm çift değerler için sonsuz toplama geçilmelidir.
3
Elde edilen seriyi toplayarak olasılık değerini bulun.
Yine ∑n=1∞nrn=r(1−r)2\sum_{n=1}^{\infty} n r^n = \frac{r}{(1-r)^2} formülünde r=19r = \frac{1}{9} yazılarak toplam 1/9(8/9)2=964\frac{1/9}{(8/9)^2} = \frac{9}{64} bulunur. Olasılık =2⋅(43)⋅964=38= 2 \cdot \left(\frac{4}{3}\right) \cdot \frac{9}{64} = \frac{3}{8} olarak hesaplanır.
Olasılık değerini bulmak için aritmetik-geometrik seri formülü işletilmiş ve önceden bulunan kk değeri yerine konulmuştur.

Anahtar Kavram

Bir olasılık kütle fonksiyonunun (PMF) tüm x değerleri üzerindeki toplamının 1 olması kuralı ve belirli bir alt kümenin (çift sayılar) olasılığının seri toplamıyla bulunması.
Tahmini Süre:3m 0s
Bu soruyu puanla

Konular

Kesikli Rastgele Değişkenler ve Olasılık Kütle Fonksiyonu