Examkin

Soru

Zorluk: OrtaKesikli Rastgele Değişkenler ve Olasılık Kütle Fonksiyonu

Bir veri merkezindeki sunucularda saatlik bazda meydana gelen kritik aşırı yüklenme (overload) uyarılarının sayısı XX kesikli rastgele değişkeni ile modellenmektedir. XX değişkeninin olasılık kütle fonksiyonu, cc bir sabit sayı olmak üzere aşağıdaki gibi tanımlanmıştır:

P(X=x)=c⋅x2,x∈{1,2,3}P(X=x) = c \cdot x^2, \quad x \in \{1, 2, 3\}

Diğer tüm xx değerleri için P(X=x)=0P(X=x) = 0'dır.

Sistem yöneticileri, sunucuların performans düşüşünü yansıtan bir risk skorunu R=X2−XR = X^2 - X olarak belirlemiştir.

Buna göre, rastgele seçilen bir saatte sistemin risk skorunun beklenen değeri (E[R]E[R]) kaçtır?

  1. A
    19849\frac{198}{49}
  2. B
    85\frac{8}{5}
  3. 317\frac{31}{7}Cevap
  4. D
    1949\frac{19}{49}
  5. E
    83\frac{8}{3}

Cevap

Sistemin risk skorunun beklenen değeri 317\frac{31}{7} olarak bulunur.
Verilen olasılık kütle fonksiyonunun (PMF) geçerli olabilmesi için tüm x∈{1,2,3}x \in \{1, 2, 3\} değerlerindeki olasılıkların toplamının 1 olması gerekir. Bu denklem çözüldüğünde c(1+4+9)=1c(1+4+9) = 1 eşitliğinden c=114c = \frac{1}{14} bulunur. Risk skorunun beklenen değerini bulmak için E[X2−X]E[X^2 - X] ifadesi, beklenen değerin doğrusallık özelliği gereği E[X2]−E[X]E[X^2] - E[X] olarak ikiye ayrılır. Gerekli hesaplamalar yapıldığında E[X]=187E[X] = \frac{18}{7} ve E[X2]=7E[X^2] = 7 olarak bulunur. Son işlemde 7−187=3177 - \frac{18}{7} = \frac{31}{7} değerine ulaşılır.

Adım Adım Çözüm

1
Olasılık kütle fonksiyonunun (PMF) geçerlilik şartı olan tüm olasılıkların toplamının 1'e eşit olması kuralını uygulayarak cc sabitini bulmak.
c(12)+c(22)+c(32)=c(1+4+9)=14c=1  ⟹  c=114c(1^2) + c(2^2) + c(3^2) = c(1 + 4 + 9) = 14c = 1 \implies c = \frac{1}{14}
Kesikli bir rastgele değişkenin örnek uzayındaki tüm noktaların olasılıklarının toplamı daima 1 olmak zorundadır.
2
XX değişkeninin beklenen değerini (E[X]E[X]) hesaplamak.
E[X]=∑x=13x⋅P(X=x)=1(114)+2(414)+3(914)=1+8+2714=3614=187E[X] = \sum_{x=1}^{3} x \cdot P(X=x) = 1\left(\frac{1}{14}\right) + 2\left(\frac{4}{14}\right) + 3\left(\frac{9}{14}\right) = \frac{1 + 8 + 27}{14} = \frac{36}{14} = \frac{18}{7}
Beklenen değer, her bir xx değerinin kendi olasılığı ile çarpımlarının toplamına eşittir.
3
X2X^2 değişkeninin beklenen değerini (E[X2]E[X^2]) hesaplamak.
E[X2]=∑x=13x2⋅P(X=x)=12(114)+22(414)+32(914)=1+16+8114=9814=7E[X^2] = \sum_{x=1}^{3} x^2 \cdot P(X=x) = 1^2\left(\frac{1}{14}\right) + 2^2\left(\frac{4}{14}\right) + 3^2\left(\frac{9}{14}\right) = \frac{1 + 16 + 81}{14} = \frac{98}{14} = 7
İstenen risk skoru formülünde yer alan E[X2]E[X^2] bileşenini bulmak için, değişkenin karesi ile olasılıklar çarpılıp toplanmalıdır.
4
Beklenen değerin doğrusallık özelliğini kullanarak R=X2−XR = X^2 - X fonksiyonunun beklenen değerini bulmak.
E[R]=E[X2−X]=E[X2]−E[X]=7−187=497−187=317E[R] = E[X^2 - X] = E[X^2] - E[X] = 7 - \frac{18}{7} = \frac{49}{7} - \frac{18}{7} = \frac{31}{7}
Beklenen değer operatörü doğrusaldır; E[aX+bY]=aE[X]+bE[Y]E[aX + bY] = aE[X] + bE[Y] kuralı gereğince çıkarma işlemi doğrudan bileşenlere uygulanabilir.

Anahtar Kavram

Kesikli rastgele değişkenlerde PMF normalizasyonu ve beklenen değerin doğrusallığı
Bu soruyu puanla

Konular

Kesikli Rastgele Değişkenler ve Olasılık Kütle Fonksiyonu

Bu konudan daha fazla soru