Examkin

Soru

Zorluk: OrtaKesikli Rastgele Değişkenler ve Olasılık Kütle Fonksiyonu

Bir Sosyal Güvenlik Kurumu (SGK) denetmeninin günlük saha denetimlerinde karşılaştığı kayıt dışı istihdam vaka sayısı, XX kesikli rastgele değişkeni ile modellenmektedir.

XX değişkeninin olasılık kütle fonksiyonu, kk bir sabit sayı olmak üzere aşağıdaki gibi tanımlanmıştır:

P(X=x)={k⋅xx+1,x∈{1,2,3}0,dig˘er durumlardaP(X=x) = \begin{cases} \frac{k \cdot x}{x+1}, & x \in \{1, 2, 3\} \\ 0, & \text{diğer durumlarda} \end{cases}

Buna göre, denetmenin rastgele seçilen bir günde en az 2 kayıt dışı istihdam vakası ile karşılaşma olasılığı aşağıdakilerden hangisidir?

  1. A
    623\frac{6}{23}
  2. B
    823\frac{8}{23}
  3. 1723\frac{17}{23}Cevap
  4. D
    1223\frac{12}{23}
  5. E
    1423\frac{14}{23}

Cevap

En az 2 vaka ile karşılaşma olasılığı \frac{17}{23}'tür.
Doğru sonuca ulaşmak için öncelikle fonksiyonun bir olasılık kütle fonksiyonu belirtmesi şartından (toplam olasılık = 1) hareketle k sabiti bulunmalıdır. x yerine 1, 2 ve 3 yazılarak elde edilen \frac{k}{2} + \frac{2k}{3} + \frac{3k}{4} toplamı 1'e eşitlendiğinde k = \frac{12}{23} bulunur. Soruda denetmenin en az 2 vaka ile karşılaşma olasılığı, yani P(X ≥ 2) sorulmaktadır. Bu durum, X=2 ve X=3 durumlarının olasılıklarının toplamına eşittir. Denklemde yerlerine konduğunda P(X=2) = \frac{8}{23} ve P(X=3) = \frac{9}{23} elde edilir. Bu iki değerin toplamı \frac{17}{23} sonucunu verir.

Adım Adım Çözüm

1
Olasılık kütle fonksiyonunun (PMF) geçerli olabilmesi için tüm olasılıkların toplamının 1'e eşit olması (normalizasyon) kuralını uygula.
P(X=1) + P(X=2) + P(X=3) = 1 denklemi kurulur.
Kesikli rastgele değişkenlerde örneklem uzayındaki tüm olası sonuçların olasılıklarının toplamı her zaman 1 olmalıdır.
2
x değerlerini fonksiyonda yerine yazarak k sabitini hesapla.
\frac{k(1)}{2} + \frac{k(2)}{3} + \frac{k(3)}{4} = 1 \implies \frac{k}{2} + \frac{2k}{3} + \frac{3k}{4} = 1 \implies k \left( \frac{6+8+9}{12} \right) = \frac{23k}{12} = 1 \implies k = \frac{12}{23}
Olasılık değerlerini hesaplayabilmek için öncelikle bilinmeyen k parametresinin bulunması gerekir.
3
İstenen 'en az 2 vaka' koşulu için P(X ≥ 2) olasılığını, k değerini kullanarak hesapla.
P(X \ge 2) = P(X=2) + P(X=3) = \frac{2k}{3} + \frac{3k}{4} = \frac{17k}{12} = \frac{17}{12} \times \frac{12}{23} = \frac{17}{23}
Soru 'en az 2' ifadesini kullandığı için X'in 2 ve 3 olduğu durumların olasılıkları toplanmalıdır.

Anahtar Kavram

Olasılık Kütle Fonksiyonunun Özellikleri ve Normalizasyon
Bu soruyu puanla

Konular

Kesikli Rastgele Değişkenler ve Olasılık Kütle Fonksiyonu

Bu konudan daha fazla soru