Soru

Zorluk: KolayKesikli Rastgele Değişkenler ve Olasılık Kütle Fonksiyonu

Bir gümrük müdürlüğünde denetlenen tırların taşıma belgeleri üzerinde yapılan incelemelerde, her bir tırda rastlanan usulsüzlük sayısı XX kesikli rastgele değişkeni ile ifade edilmektedir. XX değişkeninin olasılık dağılımı aşağıdaki tabloda verilmiştir:

xx1234
P(X=x)P(X=x)kk2k2k3k3k4k4k

Buna göre, bu tablonun geçerli bir olasılık kütle fonksiyonu belirtebilmesi için kk sabiti aşağıdakilerden hangisi olmalıdır?

  1. 1/101/10Cevap
  2. B
    1/41/4
  3. C
    11
  4. D
    1/51/5
  5. E
    1/161/16

Cevap

Olasılık kütle fonksiyonunun geçerli olması için tüm olasılıkların toplamı 1 olmalıdır, bu durumda k=1/10k = 1/10 bulunur.
Kesikli rastgele değişkenlerde, değişkenin tanımlı olduğu tüm değerler için olasılıkların toplamı tam olarak 1'e eşit olmalıdır. Soruda verilen tabloda olasılıklar k,2k,3kk, 2k, 3k ve 4k4k olarak tanımlanmıştır. Bu ifadelerin toplamı olan 10k10k değeri 1'e eşitlendiğinde, kk sabitinin 1/101/10 (veya 0,1) olması gerektiği matematiksel olarak kanıtlanır.

Adım Adım Çözüm

1
Olasılık kütle fonksiyonunun (PMF) temel şartını belirle.
∑xP(X=x)=1\sum_{x} P(X=x) = 1
Bir kesikli rastgele değişkenin tüm olası değerlerine ait olasılıkların toplamı daima 1'e eşit olmalıdır.
2
Tablodaki olasılık değerlerini topla.
k+2k+3k+4k=10kk + 2k + 3k + 4k = 10k
x=1,2,3,4x=1, 2, 3, 4 değerleri için verilen olasılıkların toplamı alınır.
3
Toplamı 1'e eşitleyerek kk değerini çöz.
10k=1⇒k=1/1010k = 1 \Rightarrow k = 1/10
Normalizasyon kuralı gereği toplam olasılık 1'e eşitlenir.

Anahtar Kavram

Kesikli rastgele değişkenlerde olasılık kütle fonksiyonunun normalizasyon özelliği (toplam olasılığın 1 olması).
Tahmini Süre:45s
Bu soruyu puanla