Examkin

Soru

Zorluk: KolayMartingaleler

Bir finansal risk analizinde, bir yatırım portföyünün kümülatif getirisini temsil eden {Xn}n≥0\{X_n\}_{n \geq 0} süreci, {Fn}\{\mathcal{F}_n\} filtrasyonuna göre bir martingal olarak modellenmiştir. Portföyün başlangıçtaki değeri X0=50X_0 = 50 birim olarak belirlenmiştir. TT, bu süreç için tanımlanmış sınırlı (bounded) bir durdurma zamanı (stopping time) olduğuna göre, Opsiyonel Durdurma Teoremi (Optional Stopping Theorem) uyarınca bu portföyün durdurma anındaki beklenen değeri (E[XT]E[X_T]) aşağıdakilerden hangisidir?

  1. A
    0
  2. B
    25
  3. 50Cevap
  4. D
    100
  5. E
    50×E[T]50 \times E[T]

Cevap

Durdurma anındaki beklenen değer, martingal özelliği ve Opsiyonel Durdurma Teoremi uyarınca başlangıç değeri olan 50'ye eşittir.
Martingal süreçlerin en karakteristik özelliği, geçmiş bilgiler ışığında gelecekteki beklenen değerin mevcut değere eşit olmasıdır. Bu durum, beklentinin zaman boyunca sabit kaldığı anlamına gelir (E[Xn]=E[X0]E[X_n] = E[X_0]). Opsiyonel Durdurma Teoremi, bu özelliğin belirli koşullar altında (örneğin durdurma zamanı TT'nin sınırlı olması durumu gibi) durdurma anında da geçerli olduğunu söyler. Dolayısıyla, süreç 50 değeriyle başladıysa, herhangi bir geçerli durdurma anındaki beklenen değeri de 50 olacaktır.

Adım Adım Çözüm

1
Sürecin türünü ve verilen başlangıç değerini belirleyin.
Süreç bir martingaldir ve X0=50X_0 = 50 olarak verilmiştir.
Martingal süreçlerin temel özelliği E[Xn+1∣Fn]=XnE[X_{n+1} | \mathcal{F}_n] = X_n olmasıdır.
2
Opsiyonel Durdurma Teoremi'ni (Optional Stopping Theorem) uygulayın.
E[XT]=E[X0]E[X_T] = E[X_0] eşitliği elde edilir.
Durdurma zamanı TT sınırlı olduğunda, martingal süreçler için beklenen değer durdurma anında da korunur.
3
Beklenen değeri hesaplayın.
E[XT]=50E[X_T] = 50.
Başlangıç değeri X0X_0 sabit bir değer olduğu için E[X0]=50E[X_0] = 50 olur.

Anahtar Kavram

Opsiyonel Durdurma Teoremi (Optional Stopping Theorem)
Tahmini Süre:45s
Bu soruyu puanla

Konular

Martingaleler

Bu konudan daha fazla soru