Examkin

Soru

Zorluk: OrtaKoşullu Olasılık

Bir Tarım İl Müdürlüğü kayıtlarına göre, belirli bir bölgedeki tarımsal işletmelerin %40\%40'ı sera, %40\%40'ı açık tarla ve %20\%20'si meyve bahçesi statüsündedir. Müdürlük tarafından gerçekleştirilen rutin denetimler sonucunda; seraların %5\%5'inde, açık tarlaların %10\%10'unda ve meyve bahçelerinin %15\%15'inde iyi tarım standartlarına aykırılık tespit edilmiştir.

Buna göre, denetimler sonucunda standartlara aykırı faaliyet gösterdiği tespit edilen işletmeler arasından rastgele seçilen bir işletmenin açık tarla statüsünde olma olasılığı aşağıdakilerden hangisidir?

  1. A
    125\frac{1}{25}
  2. B
    110\frac{1}{10}
  3. C
    13\frac{1}{3}
  4. D
    25\frac{2}{5}
  5. 49\frac{4}{9}Cevap

Cevap

49\frac{4}{9}
İstenen durum, rastgele seçilen aykırı bir işletmenin açık tarla olmasıdır. Bu, Bayes Teoremi gerektiren bir koşullu olasılık problemidir (P(A∣I)P(A|I)). Öncelikle toplam aykırılık (ihlal) olasılığı hesaplanır: P(I)=P(S)P(I∣S)+P(A)P(I∣A)+P(M)P(I∣M)=0.02+0.04+0.03=0.09P(I) = P(S)P(I|S) + P(A)P(I|A) + P(M)P(I|M) = 0.02 + 0.04 + 0.03 = 0.09. Daha sonra ilgilenilen durumun kesişim olasılığı, toplam olasılığa bölünür: P(A∣I)=0.040.09=49P(A|I) = \frac{0.04}{0.09} = \frac{4}{9}.

Adım Adım Çözüm

1
Olayları ve verilen olasılıkları tanımla.
SS: Sera (P(S)=0.40P(S)=0.40), AA: Açık Tarla (P(A)=0.40P(A)=0.40), MM: Meyve Bahçesi (P(M)=0.20P(M)=0.20). İhlal durumu II olsun. P(I∣S)=0.05P(I|S)=0.05, P(I∣A)=0.10P(I|A)=0.10, P(I∣M)=0.15P(I|M)=0.15.
Bayes Teoremi'ni kullanabilmek için probleme ait önsel ve koşullu olasılıkların formülize edilmesi gerekir.
2
Toplam Olasılık Teoremi'ni kullanarak herhangi bir işletmenin aykırı faaliyet gösterme olasılığını (P(I)P(I)) hesapla.
P(I)=(0.40×0.05)+(0.40×0.10)+(0.20×0.15)=0.02+0.04+0.03=0.09P(I) = (0.40 \times 0.05) + (0.40 \times 0.10) + (0.20 \times 0.15) = 0.02 + 0.04 + 0.03 = 0.09
Koşullu olasılık formülünün paydasını oluşturacak olan 'toplam ihlal' ihtimalini bulmak gereklidir.
3
Bayes Teoremi'ni kullanarak aykırılık gösterdiği bilinen işletmenin açık tarla olma olasılığını (P(A∣I)P(A|I)) hesapla.
P(A∣I)=P(A∩I)P(I)=0.040.09=49P(A|I) = \frac{P(A \cap I)}{P(I)} = \frac{0.04}{0.09} = \frac{4}{9}
İstenen olasılık, 'Açık Tarla ve İhlal' kesişim olasılığının, 'Toplam İhlal' olasılığına oranıdır.

Anahtar Kavram

Bayes Teoremi ve Toplam Olasılık
Bu soruyu puanla

Konular

Koşullu Olasılık

Bu konudan daha fazla soru