Examkin

Soru

Zorluk: OrtaKoşullu Olasılık

Bir İl Sağlık Müdürlüğü, içme suyu kalitesini izlemek amacıyla üç farklı ilçeden (X, Y ve Z) su numuneleri toplamaktadır. Toplanan numunelerin %20'si X ilçesinden, %50'si Y ilçesinden ve %30'u Z ilçesinden gelmektedir.

Yapılan laboratuvar analizleri sonucunda numunelerde mikrobiyolojik kirliliğe rastlanma olasılıkları X ilçesi için %5, Y ilçesi için %2 ve Z ilçesi için %10 olarak belirlenmiştir.

Rastgele seçilen bir su numunesinde mikrobiyolojik kirlilik tespit edildiği bilindiğine göre, bu numunenin Z ilçesinden gelmiş olma olasılığı aşağıdakilerden hangisidir?

  1. A
    3100\frac{3}{100}
  2. B
    120\frac{1}{20}
  3. C
    110\frac{1}{10}
  4. D
    310\frac{3}{10}
  5. 35\frac{3}{5}Cevap

Cevap

İlgili koşullu olasılık değeri 35\frac{3}{5}'tir.
Soruda, bir olayın gerçekleştiği bilindiğinde (kirlilik), bu olaya yol açan belirli bir sebebin (Z ilçesi) olasılığı sorulmaktadır. Bu durum Bayes teoreminin klasik bir uygulamasıdır. Önce toplam olasılık kuralı ile numunenin kirli olma ihtimali (0.050.05) hesaplanmış, ardından Z ilçesinin kirliliğe katkısı (0.030.03) bu toplam değere oranlanarak 35\frac{3}{5} sonucuna ulaşılmıştır.

Adım Adım Çözüm

1
Olayları tanımlayıp verilen olasılık değerlerini matematiksel notasyona dökme.
P(X)=0.20P(X) = 0.20, P(Y)=0.50P(Y) = 0.50, P(Z)=0.30P(Z) = 0.30 ve kirlilik olayı (KK) için P(K∣X)=0.05P(K|X) = 0.05, P(K∣Y)=0.02P(K|Y) = 0.02, P(K∣Z)=0.10P(K|Z) = 0.10.
Bayes teoreminde kullanılacak olan marjinal ve koşullu olasılık bileşenlerini belirlemek.
2
Toplam olasılık kuralını kullanarak rastgele seçilen bir numunenin kirli çıkma olasılığını (P(K)P(K)) hesaplama.
P(K)=P(X)P(K∣X)+P(Y)P(K∣Y)+P(Z)P(K∣Z)=(0.20×0.05)+(0.50×0.02)+(0.30×0.10)=0.01+0.01+0.03=0.05P(K) = P(X)P(K|X) + P(Y)P(K|Y) + P(Z)P(K|Z) = (0.20 \times 0.05) + (0.50 \times 0.02) + (0.30 \times 0.10) = 0.01 + 0.01 + 0.03 = 0.05.
Koşullu olasılık formülündeki paydayı (tüm olası kirlilik durumlarının toplam olasılığını) bulmak.
3
Bayes formülünü uygulayarak kirli olduğu bilinen numunenin Z ilçesinden gelme koşullu olasılığını (P(Z∣K)P(Z|K)) hesaplama.
P(Z∣K)=P(Z∩K)P(K)=0.030.05=35P(Z|K) = \frac{P(Z \cap K)}{P(K)} = \frac{0.03}{0.05} = \frac{3}{5}.
Soruda istenen 'kirlilik şartı altında Z ilçesi olma' olasılığını nihai olarak elde etmek.

Anahtar Kavram

Bayes Teoremi ve Toplam Olasılık Kuralı
Tahmini Süre:1m 30s
Bu soruyu puanla

Konular

Koşullu Olasılık

Bu konudan daha fazla soru