Koşullu Olasılık Alıştırma Soruları — KPSS İstatistik

Soru 1Soru →

Bir kamu kurumunun proje değerlendirme kuruluna sunulan projelerin %30'u 'Yüksek Nitelikli', %70'i ise 'Standart Nitelikli' olarak sınıflandırılmaktadır. Kurulun ön inceleme aşamasında kullandığı yapay zeka destekli bir önceliklendirme sistemi, yüksek nitelikli projelerin %90'ına 'Öncelikli Onay' işareti koyarken, standart nitelikli projelerin %15'ine yanlışlıkla 'Öncelikli Onay' işareti koymaktadır.

Buna göre, sistem tarafından 'Öncelikli Onay' işareti konulmuş bir projenin gerçekte 'Standart Nitelikli' olma olasılığı kaçtır?

0,105

0,150

0,280

0,700

0,720

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 0,280

Cevap

0,280

Soruda, bir projenin 'Öncelikli Onay' aldığı bilindiğine göre, 'Standart Nitelikli' olma olasılığı istenmektedir. Bu problem Bayes Teoremi kullanılarak çözülür. Öncelikle projenin 'Öncelikli Onay' alma toplam olasılığı hesaplanır: Yüksek Nitelikli ve Onaylı olma olasılığı (0,30 × 0,90 = 0,270) ile Standart Nitelikli ve Onaylı olma olasılığı (0,70 × 0,15 = 0,105) toplanır. Toplam olasılık 0,270 + 0,105 = 0,375 olarak bulunur. İstenen koşullu olasılık ise, Standart Nitelikli ve Onaylı olma olasılığının toplam Onay olasılığına bölünmesiyle elde edilir: 0,105 / 0,375 = 0,280.

Adım Adım Çözüm

1

Olayları tanımlama ve verilen olasılıkları matematiksel notasyona çevirme.

P(Y) = 0,30, P(S) = 0,70, P(Onay|Y) = 0,90, P(Onay|S) = 0,15 olarak belirlenir.

Bayes teoremini uygulayabilmek için metindeki istatistiksel verileri modellemek.

2

Toplam Olasılık Teoremi kullanılarak bir projenin herhangi bir şekilde 'Öncelikli Onay' alma olasılığını (payda) hesaplama.

P(Onay) = P(Onay|Y)P(Y) + P(Onay|S)P(S) = (0,90 × 0,30) + (0,15 × 0,70) = 0,270 + 0,105 = 0,375

Yeni kısıtlanan örnek uzayın, yani sadece onay alan projelerin oluşturduğu toplam hacmi bulmak.

3

Bayes Teoremi'ni uygulayarak 'Öncelikli Onay' alındığı bilindiğinde 'Standart Nitelikli' olma koşullu olasılığını bulma.

P(S|Onay) = P(S ∩ Onay) / P(Onay) = 0,105 / 0,375 = 0,280

Yeni bilgi (onay işareti) ışığında projenin standart nitelikli olduğuna dair sonul (posterior) olasılığı hesaplamak.

Anahtar Kavram

Koşullu Olasılık ve Bayes Teoremi

Soru 2Soru →

Bir İl Sağlık Müdürlüğü, içme suyu kalitesini izlemek amacıyla üç farklı ilçeden (X, Y ve Z) su numuneleri toplamaktadır. Toplanan numunelerin %20'si X ilçesinden, %50'si Y ilçesinden ve %30'u Z ilçesinden gelmektedir.

Yapılan laboratuvar analizleri sonucunda numunelerde mikrobiyolojik kirliliğe rastlanma olasılıkları X ilçesi için %5, Y ilçesi için %2 ve Z ilçesi için %10 olarak belirlenmiştir.

Rastgele seçilen bir su numunesinde mikrobiyolojik kirlilik tespit edildiği bilindiğine göre, bu numunenin Z ilçesinden gelmiş olma olasılığı aşağıdakilerden hangisidir?

\frac{3}{100}

\frac{1}{20}

\frac{1}{10}

\frac{3}{10}

\frac{3}{5}

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: $\frac{3}{5}$

Cevap

İlgili koşullu olasılık değeri

\frac{3}{5}

'tir.

Soruda, bir olayın gerçekleştiği bilindiğinde (kirlilik), bu olaya yol açan belirli bir sebebin (Z ilçesi) olasılığı sorulmaktadır. Bu durum Bayes teoreminin klasik bir uygulamasıdır. Önce toplam olasılık kuralı ile numunenin kirli olma ihtimali (

0.05

) hesaplanmış, ardından Z ilçesinin kirliliğe katkısı (

0.03

) bu toplam değere oranlanarak

\frac{3}{5}

sonucuna ulaşılmıştır.

Adım Adım Çözüm

1

Olayları tanımlayıp verilen olasılık değerlerini matematiksel notasyona dökme.

P(X) = 0.20

,

P(Y) = 0.50

,

P(Z) = 0.30

ve kirlilik olayı (

K

) için

P(K|X) = 0.05

,

P(K|Y) = 0.02

,

P(K|Z) = 0.10

.

Bayes teoreminde kullanılacak olan marjinal ve koşullu olasılık bileşenlerini belirlemek.

2

Toplam olasılık kuralını kullanarak rastgele seçilen bir numunenin kirli çıkma olasılığını (

P(K)

) hesaplama.

P(K) = P(X)P(K|X) + P(Y)P(K|Y) + P(Z)P(K|Z) = (0.20 \times 0.05) + (0.50 \times 0.02) + (0.30 \times 0.10) = 0.01 + 0.01 + 0.03 = 0.05

.

Koşullu olasılık formülündeki paydayı (tüm olası kirlilik durumlarının toplam olasılığını) bulmak.

3

Bayes formülünü uygulayarak kirli olduğu bilinen numunenin Z ilçesinden gelme koşullu olasılığını (

P(Z|K)

) hesaplama.

P(Z|K) = \frac{P(Z \cap K)}{P(K)} = \frac{0.03}{0.05} = \frac{3}{5}

.

Soruda istenen 'kirlilik şartı altında Z ilçesi olma' olasılığını nihai olarak elde etmek.

Anahtar Kavram

Bayes Teoremi ve Toplam Olasılık Kuralı

Tahmini Süre:1m 30s

Soru 3Soru →

Bir vergi dairesinde incelenen beyannamelerin $\%40$ 'ı Kurumlar Vergisi, $\%60$ 'ı ise Gelir Vergisi beyannamesidir. Yapılan rutin denetimlerde, Kurumlar Vergisi beyannamelerinin $\%5$ 'inde, Gelir Vergisi beyannamelerinin ise $\%10$ 'unda usulsüzlük tespit edilmiştir.

Rastgele seçilen ve usulsüzlük tespit edildiği bilinen bir beyannamenin, Kurumlar Vergisi beyannamesi olma olasılığı kaçtır?

\frac{1}{50}

\frac{1}{20}

\frac{1}{4}

\frac{1}{3}

\frac{3}{4}

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: $\frac{1}{4}$

Cevap

Rastgele seçilen ve usulsüzlük tespit edildiği bilinen beyannamenin Kurumlar Vergisi olma olasılığı

\frac{1}{4}

'tür.

Soruda bir olayın gerçekleştiği (usulsüzlük tespit edildiği) bilindiğinde, bunun belirli bir kaynaktan (Kurumlar Vergisi) gelme olasılığı sorulmaktadır. Bu durum Bayes teoreminin klasik bir uygulamasıdır. Toplam usulsüzlük olasılığı 0.08'dir. Bu usulsüzlüklerin 0.02'lik kısmı Kurumlar vergisinden, 0.06'lık kısmı Gelir vergisinden gelmektedir. Dolayısıyla, usulsüz olanların içindeki Kurumlar Vergisi payı 0.02 / 0.08 = 1/4 olur.

Adım Adım Çözüm

1

Olayları ve verilen olasılıkları tanımlayın.

P(K) = 0.40

,

P(G) = 0.60

,

P(U|K) = 0.05

,

P(U|G) = 0.10

Problemde verilen bilgileri matematiksel notasyona çevirmek, Bayes teoreminin uygulanmasını sağlar.

2

Toplam Olasılık Teoremi'ni kullanarak rastgele seçilen bir beyannamede usulsüzlük bulunma olasılığını

P(U)

hesaplayın.

P(U) = P(K) \cdot P(U|K) + P(G) \cdot P(U|G) = (0.40 \cdot 0.05) + (0.60 \cdot 0.10) = 0.02 + 0.06 = 0.08

Koşullu olasılık formülünün paydasını oluşturacak olan, herhangi bir beyannamenin usulsüz olma genel olasılığına ihtiyaç vardır.

3

Bayes Teoremi'ni kullanarak

P(K|U)

koşullu olasılığını hesaplayın.

P(K|U) = \frac{P(K \cap U)}{P(U)} = \frac{0.02}{0.08} = \frac{2}{8} = \frac{1}{4}

Soruda, usulsüzlük tespit edildiği bilindiğine göre (koşul), beyannamenin Kurumlar Vergisi'ne ait olma olasılığı istenmektedir.

Anahtar Kavram

Bayes Teoremi ve Toplam Olasılık

Soru 4Soru →

Bir Tarım İl Müdürlüğü kayıtlarına göre, belirli bir bölgedeki tarımsal işletmelerin $\%40$ 'ı sera, $\%40$ 'ı açık tarla ve $\%20$ 'si meyve bahçesi statüsündedir. Müdürlük tarafından gerçekleştirilen rutin denetimler sonucunda; seraların $\%5$ 'inde, açık tarlaların $\%10$ 'unda ve meyve bahçelerinin $\%15$ 'inde iyi tarım standartlarına aykırılık tespit edilmiştir.

Buna göre, denetimler sonucunda standartlara aykırı faaliyet gösterdiği tespit edilen işletmeler arasından rastgele seçilen bir işletmenin açık tarla statüsünde olma olasılığı aşağıdakilerden hangisidir?

\frac{1}{25}

\frac{1}{10}

\frac{1}{3}

\frac{2}{5}

\frac{4}{9}

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: $\frac{4}{9}$

Cevap

\frac{4}{9}

İstenen durum, rastgele seçilen aykırı bir işletmenin açık tarla olmasıdır. Bu, Bayes Teoremi gerektiren bir koşullu olasılık problemidir (

P(A|I)

). Öncelikle toplam aykırılık (ihlal) olasılığı hesaplanır:

P(I) = P(S)P(I|S) + P(A)P(I|A) + P(M)P(I|M) = 0.02 + 0.04 + 0.03 = 0.09

. Daha sonra ilgilenilen durumun kesişim olasılığı, toplam olasılığa bölünür:

P(A|I) = \frac{0.04}{0.09} = \frac{4}{9}

.

Adım Adım Çözüm

1

Olayları ve verilen olasılıkları tanımla.

S

: Sera (

P(S)=0.40

),

A

: Açık Tarla (

P(A)=0.40

),

M

: Meyve Bahçesi (

P(M)=0.20

). İhlal durumu

I

olsun.

P(I|S)=0.05

,

P(I|A)=0.10

,

P(I|M)=0.15

.

Bayes Teoremi'ni kullanabilmek için probleme ait önsel ve koşullu olasılıkların formülize edilmesi gerekir.

2

Toplam Olasılık Teoremi'ni kullanarak herhangi bir işletmenin aykırı faaliyet gösterme olasılığını (

P(I)

) hesapla.

P(I) = (0.40 \times 0.05) + (0.40 \times 0.10) + (0.20 \times 0.15) = 0.02 + 0.04 + 0.03 = 0.09

Koşullu olasılık formülünün paydasını oluşturacak olan 'toplam ihlal' ihtimalini bulmak gereklidir.

3

Bayes Teoremi'ni kullanarak aykırılık gösterdiği bilinen işletmenin açık tarla olma olasılığını (

P(A|I)

) hesapla.

P(A|I) = \frac{P(A \cap I)}{P(I)} = \frac{0.04}{0.09} = \frac{4}{9}

İstenen olasılık, 'Açık Tarla ve İhlal' kesişim olasılığının, 'Toplam İhlal' olasılığına oranıdır.

Anahtar Kavram

Bayes Teoremi ve Toplam Olasılık

Soru 5Soru →

Bir gümrük müdürlüğünde ülkeye giriş yapan ticari eşyaların taşımacılık türlerine göre dağılımı incelendiğinde; eşyaların $\%50$ 'sinin denizyolu, $\%30$ 'unun havayolu ve $\%20$ 'sinin karayolu ile getirildiği belirlenmiştir. Yapılan risk analizi ve fiziki kontroller sonucunda, denizyolu ile gelen eşyaların $\%4$ 'ünde, havayolu ile gelen eşyaların $\%2$ 'sinde ve karayolu ile gelen eşyaların $\%8$ 'inde beyan dışı (usulsüz) durum tespit edilmiştir.

Rastgele seçilerek denetlenen bir ticari eşyada beyan dışı durum tespit edildiği bilindiğine göre, bu eşyanın karayolu ile getirilmiş olma olasılığı kaçtır?

\frac{4}{7}

\frac{8}{21}

\frac{1}{5}

\frac{2}{25}

\frac{2}{125}

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: $\frac{8}{21}$

Cevap

Bir ticari eşyanın usulsüz çıktığı bilindiğinde karayoluyla gelmiş olma olasılığı 8/21'dir.

Verilen problemde bir koşul altında gerçekleşen olay sorulmaktadır. Önsel olasılıklar (taşıma türü oranları) ve koşullu olasılıklar (usulsüzlük oranları) bilindiğine göre Bayes Teoremi kullanılmalıdır. Doğru hesaplamada, karayolu ile gelip usulsüz çıkanların oranı (0.016), tüm usulsüz çıkanların oranına (0.042) bölünür ve 16/42'den 8/21 elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1

Olayları ve verilen olasılıkları tanımlayın.

D: Denizyolu

P(D)=0.50

, H: Havayolu

P(H)=0.30

, K: Karayolu

P(K)=0.20

. U: Usulsüz durum.

P(U|D)=0.04

,

P(U|H)=0.02

,

P(U|K)=0.08

.

Problemi matematiksel modele dönüştürmek için temel değişkenlerin belirlenmesi gerekir.

2

Toplam Olasılık Teoremi'ni kullanarak rastgele seçilen bir eşyada usulsüzlük çıkma olasılığını

P(U)

hesaplayın.

P(U) = P(D)P(U|D) + P(H)P(U|H) + P(K)P(U|K) = (0.50 \times 0.04) + (0.30 \times 0.02) + (0.20 \times 0.08) = 0.020 + 0.006 + 0.016 = 0.042

Koşullu olasılık (Bayes) hesaplamasında paydayı oluşturacak olan toplam usulsüzlük olasılığının bulunması gereklidir.

3

Bayes Teoremi'ni kullanarak eşyanın usulsüz olduğu bilindiğinde karayoluyla gelmiş olma olasılığını

P(K|U)

hesaplayın.

P(K|U) = \frac{P(K \cap U)}{P(U)} = \frac{P(K)P(U|K)}{P(U)} = \frac{0.016}{0.042} = \frac{16}{42} = \frac{8}{21}

Sonuca ulaşmak için ters koşullu olasılık formülü uygulanmalıdır.

Anahtar Kavram

Bayes Teoremi ve Toplam Olasılık Kuralı

Soru 6Soru →

Bir kamu kurumu tarafından açılan ihaleye katılan firmaların $\%60$ 'ı yerli, $\%40$ 'ı ise yabancı firmadır. Yerli firmaların sunduğu ihale dosyalarının $\%10$ 'unun, yabancı firmaların sunduğu dosyaların ise $\%5$ 'inin teknik şartnameye uygun olmadığı tespit edilmiştir. Seçilen bir ihale dosyasının teknik şartnameye uygun olmadığı bilindiğine göre, bu dosyanın bir yerli firmaya ait olma olasılığı kaçtır?

0,75

0,10

0,60

0,08

0,25

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: $0,75$

Cevap

Seçilen uygun olmayan dosyanın yerli bir firmaya ait olma olasılığı

0,75

olarak hesaplanır.

Doğru cevap olan değer, toplam uygun olmayan dosyalar içindeki yerli firmaların payını temsil eder. Yerli firmalardan gelen hata oranı (

0,06

), toplam hata oranına (

0,08

) bölündüğünde sonuç elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1

Olayları ve verilen olasılıkları tanımlayalım.

P(Y) = 0,60

(Yerli),

P(F) = 0,40

(Yabancı),

P(U^c|Y) = 0,10

(Yerli ve uygun değil),

P(U^c|F) = 0,05

(Yabancı ve uygun değil).

Bayes Teoremi'ni uygulamak için gerekli temel verileri belirlemek gerekir.

2

Toplam uygun olmayan dosya olasılığını (

P(U^c)

) hesaplayalım.

P(U^c) = (0,60 \times 0,10) + (0,40 \times 0,05) = 0,06 + 0,02 = 0,08

.

Payda kısmında kullanılacak olan toplam olasılık yasasını uygulamak gerekir.

3

Bayes Teoremi formülünü uygulayalım.

P(Y|U^c) = \frac{P(U^c|Y) \cdot P(Y)}{P(U^c)} = \frac{0,06}{0,08} = 0,75

.

Belirli bir sonuç bilindiğinde (dosyanın uygun olmaması), bu sonucun belirli bir nedenden (yerli firma) kaynaklanma olasılığını bulmak amaçlanır.

Anahtar Kavram

Bayes Teoremi ve Toplam Olasılık Yasası

İpuçları

1

Önce rastgele seçilen herhangi bir dosyanın teknik şartnameye uygun olmama (toplam) olasılığını hesaplayın.

Daha Fazla Pratik

Benzer bir problemi, dosyanın 'uygun olduğu bilindiğine göre' yerli olma olasılığını hesaplayarak pekiştirebilirsiniz.

Alternatif Yöntem

100 dosya varmış gibi düşünerek bir tablo oluşturabilirsiniz: 60 yerli (6'sı uygun değil), 40 yabancı (2'si uygun değil). Toplam 8 uygun olmayan dosya içinden yerli olanların oranı 6/8'dir.

Tahmini Süre:45s

Soru 7Soru →

Nüfus ve Vatandaşlık İşleri Genel Müdürlüğü arşivindeki eski kayıtlar iki farklı tarama cihazı ( $A$ ve $B$ ) kullanılarak dijital sisteme aktarılmaktadır. Kayıtların $\%75$ 'i $A$ cihazı ile, $\%25$ 'i ise $B$ cihazı ile taranmıştır. $A$ cihazı ile yapılan taramaların $\%4$ 'ünde, $B$ cihazı ile yapılan taramaların ise $\%8$ 'inde veri kaybı yaşandığı tespit edilmiştir. Sisteme aktarılan kayıtlar arasından rastgele seçilen bir kayıtta veri kaybı yaşandığı bilindiğine göre, bu kaydın $B$ cihazı ile taranmış olma olasılığı kaçtır?

0,05

0,08

0,25

0,40

0,60

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: $0,40$

Cevap

Veri kaybı olduğu bilinen bir kaydın

B

cihazı ile taranmış olma olasılığı

0,40

'tır.

Veri kaybı yaşandığı bilindiğine göre, örnek uzay daralmıştır. Toplam veri kaybı olasılığı

0,05

olup, bu kaybın

B

cihazından gelme payı

0,02

(

0,25 \times 0,08

) olduğundan, istenen olasılık

0,02 / 0,05 = 0,40

olarak hesaplanır.

Adım Adım Çözüm

1

Olayları tanımla ve verilen olasılıkları belirle.

P(A) = 0,75

,

P(B) = 0,25

,

P(H|A) = 0,04

,

P(H|B) = 0,08

Hesaplamalar için temel olasılık değerlerini belirlemek gerekir.

2

Toplam olasılık yasasını kullanarak bir kayıtta veri kaybı olma olasılığını (

P(H)

) hesapla.

P(H) = P(A) \cdot P(H|A) + P(B) \cdot P(H|B) = (0,75 \cdot 0,04) + (0,25 \cdot 0,08) = 0,03 + 0,02 = 0,05

Bayes Teoremi'nin paydasını oluşturmak için toplam hata olasılığına ihtiyaç duyulur.

3

Bayes Teoremi'ni kullanarak istenen koşullu olasılığı (

P(B|H)

) hesapla.

P(B|H) = \frac{P(B) \cdot P(H|B)}{P(H)} = \frac{0,02}{0,05} = 0,40

Bilinen bir sonuçtan (hata) nedenine (

B

cihazı) gidildiği için Bayes Teoremi uygulanır.

Anahtar Kavram

Bayes Teoremi ve Toplam Olasılık Yasası

Alternatif Yöntem

Olasılık ağacı çizilerek, 'Veri Kaybı' dallarının toplamı paydaya, 'B Cihazı ve Veri Kaybı' dalının değeri ise paya yazılarak sonuç daha görsel bir şekilde elde edilebilir.

Tahmini Süre:50s

Soru 8Soru →

Bir teknoloji mağazasındaki dizüstü bilgisayarların $\%40$ ’ı $X$ markası, $\%60$ ’ı ise $Y$ markasıdır. $X$ marka bilgisayarların $\%5$ ’i, $Y$ marka bilgisayarların ise $\%10$ ’u üretim hatalıdır. Bu mağazadan rastgele seçilen bir bilgisayarın üretim hatalı olduğu bilindiğine göre, bu bilgisayarın $X$ markası olma olasılığı kaçtır?

0,02

0,05

0,25

0,40

0,75

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: $0,25$

Cevap

Hatalı olduğu bilinen bir bilgisayarın

X

markası olma olasılığı

0,25

olarak bulunur.

Doğru cevap olan

0,25

değeri,

X

markasının toplam hata içindeki ağırlığını temsil eder. Toplam hata olasılığı

P(H) = 0,08

olarak hesaplandığında, bu hatanın

0,02

'lik kısmı

X

markasından gelmektedir. Dolayısıyla

0,02 / 0,08 = 0,25

sonucu elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1

Her iki marka için hatalı ürün üretme olasılıklarını (kesişim olaylarını) hesapla.

P(X \cap H) = 0,40 \times 0,05 = 0,02

ve

P(Y \cap H) = 0,60 \times 0,10 = 0,06

Toplam olasılık kuralının pay kısmını ve payda bileşenlerini oluşturmak için gereklidir.

2

Toplam olasılık kuralını kullanarak rastgele seçilen bir ürünün hatalı olma olasılığını (

P(H)

) bul.

P(H) = 0,02 + 0,06 = 0,08

Koşullu olasılık formülünde payda olarak kullanılacak toplam olasılığı belirlemek için gereklidir.

3

Bayes teoremini uygulayarak hatalı olduğu bilinen ürünün

X

markasından gelme olasılığını hesapla.

P(X|H) = \frac{P(X \cap H)}{P(H)} = \frac{0,02}{0,08} = 0,25

Koşullu olasılık tanımı gereği, istenen alt olayın toplam koşul olayı içindeki oranını bulmak gerekir.

Anahtar Kavram

Bayes Teoremi ve Toplam Olasılık Yasası

İpuçları

1

Önce mağazadaki toplam hata oranını bulmak için her iki markanın hata katkılarını toplayın.

Daha Fazla Pratik

Verilen olasılıklar değiştiğinde (örneğin hata oranları eşitlendiğinde) sonucun markaların pazar payına (

P(X)

ve

P(Y)

) eşit olup olmayacağını düşününüz.

Tahmini Süre:45s

Soru 9Soru →

Bir vergi denetim biriminde dosyalar $A$ ve $B$ olmak üzere iki farklı müfettiş grubu tarafından incelenmektedir. Tüm dosyaların $\%80$ 'ini $A$ grubu, $\%20$ 'sini ise $B$ grubu incelemektedir. $A$ grubunun incelediği dosyalarda hata saptama olasılığı $\%5$ , $B$ grubunun incelediği dosyalarda hata saptama olasılığı ise $\%10$ 'dur. Rastgele seçilen bir dosyada hata saptandığı bilindiğine göre, bu dosyanın $A$ grubu tarafından incelenmiş olma olasılığı kaçtır?

\frac{1}{3}

\frac{2}{3}

\frac{3}{50}

\frac{1}{20}

\frac{4}{5}

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: $\frac{2}{3}$

Cevap

Hata saptanan bir dosyanın A grubu tarafından incelenmiş olma olasılığı

\frac{2}{3}

'tür.

Verilen bilgiler ışığında

A

grubunun dosyalarındaki hata payı ile grubun genel ağırlığı çarpılarak pay (0,04), tüm grupların toplam hata payı ise payda (0,06) olarak alınır. Sadeleştirme sonucunda olasılık iki bölü üç olarak bulunur.

Adım Adım Çözüm

1

Olayları ve verilen olasılıkları tanımlayalım.

P(A) = 0,80

,

P(B) = 0,20

,

P(H|A) = 0,05

,

P(H|B) = 0,10

.

Bayes Teoremi bileşenlerini belirlemek için gereklidir.

2

Toplam hata olasılığını (

P(H)

) hesaplayalım.

P(H) = (0,05 \times 0,80) + (0,10 \times 0,20) = 0,04 + 0,02 = 0,06

.

Koşullu olasılık paydasını oluşturmak için Toplam Olasılık Yasası uygulanır.

3

Bayes Teoremi'ni kullanarak

P(A|H)

olasılığını bulalım.

P(A|H) = \frac{P(H|A)P(A)}{P(H)} = \frac{0,04}{0,06} = \frac{4}{6} = \frac{2}{3}

.

Belirli bir sonuç (hata) bilindiğinde nedenin (A grubu) olasılığını belirlemek için kullanılır.

Anahtar Kavram

Bayes Teoremi ve Toplam Olasılık Yasası

Soru 10Soru →

Bir sosyal güvenlik merkezindeki evrak kayıt işlemleri iki farklı bilgisayar programı ( $A$ ve $B$ ) aracılığıyla yapılmaktadır. Toplam evrakların $\%40$ ’ı $A$ programı, $\%60$ ’ı ise $B$ programı ile sisteme girilmektedir. $A$ programı ile girilen evrakların $\%5$ ’inde, $B$ programı ile girilen evrakların ise $\%10$ ’unda veri giriş hatası yapıldığı tespit edilmiştir. Rastgele seçilen bir evrakta veri giriş hatası olduğu bilindiğine göre, bu evrakın $A$ programı ile sisteme girilmiş olma olasılığı kaçtır?

0,02

0,05

0,25

0,60

0,75

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 0,25

Cevap

Hatalı olduğu bilinen evrakın A programı ile girilmiş olma olasılığı 0,25'tir.

Verilen problemde evrakın hatalı olduğu bilinmektedir. Toplam hata olasılığı, A ve B programlarından gelen hataların toplamıdır (

0,08

). A programından kaynaklanan hata payı

0,02

olduğuna göre, bu payın toplam pay içindeki oranı

0,02 / 0,08 = 0,25

olarak bulunur.

Adım Adım Çözüm

1

Verilen olasılık değerlerini tanımlayınız.

P(A) = 0,40

,

P(B) = 0,60

,

P(H|A) = 0,05

,

P(H|B) = 0,10

Hesaplamalarda kullanılacak temel verileri belirlemek için gereklidir.

2

Toplam olasılık yasası ile rastgele seçilen bir evrakın hatalı olma olasılığını (

P(H)

) hesaplayınız.

P(H) = (0,40 \times 0,05) + (0,60 \times 0,10) = 0,02 + 0,06 = 0,08

Bayes Teoremi'nde payda olarak kullanılacak olan toplam hata olasılığını bulmak gerekir.

3

Bayes Teoremi formülünü uygulayınız:

P(A|H) = \frac{P(A)P(H|A)}{P(H)}

P(A|H) = \frac{0,02}{0,08} = 0,25

Koşullu olasılık kuralına göre istenen olasılığı bulmak için ilgili bölüntünün payını toplam olasılığa böleriz.

Anahtar Kavram

Bayes Teoremi ve Toplam Olasılık Yasası

İpuçları

1

Öncelikle rastgele seçilen herhangi bir evrakın toplamda ne kadar olasılıkla hatalı olabileceğini hesaplayın.

Daha Fazla Pratik

Toplam olasılık değerini sabit tutup programların kullanım oranlarını değiştirerek Bayes sonucunun nasıl etkilendiğini inceleyebilirsiniz.

Tahmini Süre:45s

Soru 11Soru →

Bir kamu kurumuna yapılan başvuruların $\%70$ 'i çevrim içi (online) sistem üzerinden, $\%30$ 'u ise şahsen yapılmaktadır. Çevrim içi başvuruların $\%4$ 'ünde, şahsen yapılan başvuruların ise $\%8$ 'inde hatalı veri girişi saptanmıştır.

Kuruma yapılan başvurular arasından rastgele seçilen bir başvuruda hatalı veri girişi saptandığına göre, bu başvurunun şahsen yapılmış olma olasılığı kaçtır?

\frac{6}{13}

\frac{7}{13}

\frac{2}{25}

\frac{3}{10}

\frac{13}{250}

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: $\frac{6}{13}$

Cevap

Hatalı olduğu bilinen bir başvurunun şahsen yapılmış olma olasılığı

\frac{6}{13}

olarak hesaplanır.

Verilen bilgilere göre rastgele seçilen bir başvurunun hatalı olma olasılığı toplam olasılık yasasıyla

0,052

bulunur. Bu hatalı başvurular içinde şahsen yapılanların payı

0,024

olduğundan, oranlama sonucunda

\frac{6}{13}

değerine ulaşılır.

Adım Adım Çözüm

1

Olayları tanımlayınız.

P(\text{Ç}) = 0,70

(Çevrim içi),

P(\text{Ş}) = 0,30

(Şahsen),

P(\text{H}|\text{Ç}) = 0,04

ve

P(\text{H}|\text{Ş}) = 0,08

.

Bayes teoremi ve toplam olasılık formülünü uygulamak için temel bileşenlerin belirlenmesi gerekir.

2

Toplam hatalı başvuru olasılığını (Payda) hesaplayınız.

P(\text{H}) = (0,70 \times 0,04) + (0,30 \times 0,08) = 0,028 + 0,024 = 0,052

.

Koşullu olasılık formülünde örnek uzay kısıtlandığı için tüm hatalı durumların toplamı paydayı oluşturur.

3

İstenen olayın kesişim olasılığını (Pay) hesaplayınız.

P(\text{Ş} \cap \text{H}) = 0,30 \times 0,08 = 0,024

.

Başvurunun hem şahsen hem de hatalı olma olasılığı pay kısmına yazılır.

4

Bayes teoremini uygulayarak sonucu bulunuz.

P(\text{Ş}|\text{H}) = \frac{0,024}{0,052} = \frac{24}{52} = \frac{6}{13}

.

Koşullu olasılık tanımı gereği payın paydaya bölünmesiyle sonuca ulaşılır.

Anahtar Kavram

Bayes Teoremi ve Toplam Olasılık Yasası

Koşullu Olasılık

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

İpuçları

Daha Fazla Pratik

Alternatif Yöntem

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Alternatif Yöntem

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

İpuçları

Daha Fazla Pratik

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

İpuçları

Daha Fazla Pratik

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar