Examkin

Soru

Zorluk: KolayMartingaleler

{Xn,n≥0}\{X_n, n \geq 0\} stokastik süreci, {Fn}\{\mathcal{F}_n\} filtrasyonuna göre bir martingal (martingale) teşkil etmektedir. Sürecin başlangıç değeri X0=12X_0 = 12 olarak verildiğine göre, herhangi bir n≥1n \geq 1 anı için sürecin koşulsuz beklenen değeri olan E[Xn]E[X_n] aşağıdakilerden hangisidir?

  1. A
    0
  2. B
    1
  3. 12Cevap
  4. D
    12n12n
  5. E
    12n12^n

Cevap

Sürecin beklenen değeri başlangıç değerine eşittir ve 12'dir.
Martingal tanımı olan E[Xn+1∣Fn]=XnE[X_{n+1} | \mathcal{F}_n] = X_n ifadesinin her iki tarafının beklentisi alındığında E[Xn+1]=E[Xn]E[X_{n+1}] = E[X_n] elde edilir. Bu durum sürecin tüm zaman adımlarındaki beklenen değerinin başlangıç değerine (X0X_0) eşit olduğunu gösterir. Dolayısıyla E[Xn]=12E[X_n] = 12 olur.

Adım Adım Çözüm

1
Martingal tanımını ve temel özelliğini hatırla.
E[Xn+1∣Fn]=XnE[X_{n+1} | \mathcal{F}_n] = X_n
Bir sürecin martingal olması, gelecekteki değerin beklenen değerinin şu anki değere eşit olması anlamına gelir.
2
Kule kuralını (Law of Iterated Expectations) kullanarak koşulsuz beklenen değeri hesapla.
E[Xn]=E[E[Xn∣Fn−1]]=E[Xn−1]E[X_n] = E[E[X_n | \mathcal{F}_{n-1}]] = E[X_{n-1}]
Koşullu beklentinin beklentisi, sürecin bir önceki adımdaki beklentisine eşittir.
3
Yinelemeli (iterative) mantığı başlangıç değerine kadar uygula.
E[Xn]=E[Xn−1]=⋯=E[X0]=12E[X_n] = E[X_{n-1}] = \dots = E[X_0] = 12
Martingal özelliğinin en temel sonuçlarından biri, sürecin beklenen değerinin zaman boyunca sabit kalmasıdır.

Anahtar Kavram

Martingal Beklenen Değer Korunumu

Daha Fazla Pratik

Martingal artışlarının (Xn−Xn−1X_n - X_{n-1}) beklenen değerinin sıfır olup olmadığını kontrol ederek kavramı pekiştirebilirsiniz.
Tahmini Süre:45s
Bu soruyu puanla

Konular

Martingaleler

Bu konudan daha fazla soru