Examkin

Soru

Zorluk: Çok zorOtoregresif (AR) Modeller

Zaman serileri analizinde, sıfır ortalamalı bir süreç aşağıdaki ikinci dereceden otoregresif, AR(2), modeli ile tanımlanmıştır:

Yt=cYt−1+(c2−14)Yt−2+εtY_t = c Y_{t-1} + \left(c^2 - \frac{1}{4}\right) Y_{t-2} + \varepsilon_t

Burada cc bir gerçel sayı sabitini ve εt\varepsilon_t, sıfır ortalama ve σ2\sigma^2 varyanslı beyaz gürültü (white noise) sürecini temsil etmektedir.

Bu modelin durağan olması ve aynı zamanda otokorelasyon fonksiyonunun (ACF) sönümlenen sinüs dalgaları (sözde-periyodik) biçiminde bir yapı sergilemesi için cc parametresinin alabileceği değer aralığı aşağıdakilerden hangisidir?

  1. A
    −1<c<1-1 < c < 1
  2. B
    1−62<c<−1+62\frac{1-\sqrt{6}}{2} < c < \frac{-1+\sqrt{6}}{2}
  3. −15<c<15-\frac{1}{\sqrt{5}} < c < \frac{1}{\sqrt{5}}Cevap
  4. D
    −12<c<12-\frac{1}{2} < c < \frac{1}{2}
  5. E
    c<−15 veya c>15c < -\frac{1}{\sqrt{5}} \text{ veya } c > \frac{1}{\sqrt{5}}

Cevap

Modelin istenen özellikleri sağlaması için c parametresinin −15<c<15-\frac{1}{\sqrt{5}} < c < \frac{1}{\sqrt{5}} aralığında olması gerekir.
İkinci dereceden otoregresif bir modelin, otokorelasyon fonksiyonunun sönümlenen sinüs dalgaları (sözde-periyodik yapı) üretebilmesi için karakteristik denkleminin karmaşık eşlenik köklere sahip olması gereklidir. Bu matematiksel koşul ϕ12+4ϕ2<0\phi_1^2 + 4\phi_2 < 0 şeklindedir. Verilen modelde ϕ1=c\phi_1 = c ve ϕ2=c2−0.25\phi_2 = c^2 - 0.25 yerine konduğunda, 5c2−1<05c^2 - 1 < 0 elde edilir. Bu eşitsizliğin çözümü c2<1/5c^2 < 1/5, yani −1/5<c<1/5-1/\sqrt{5} < c < 1/\sqrt{5} aralığıdır. Bu aralık, AR(2) durağanlık üçgeninin tamamıyla içindedir ve her iki şartı birden eşzamanlı sağlar.

Adım Adım Çözüm

1
AR(2) modelinin parametrelerini tanımla.
Modelden ϕ1=c\phi_1 = c ve ϕ2=c2−14\phi_2 = c^2 - \frac{1}{4} olarak belirlenir.
Zaman serisi özelliklerini analiz etmek için standart Yt=ϕ1Yt−1+ϕ2Yt−2+εtY_t = \phi_1 Y_{t-1} + \phi_2 Y_{t-2} + \varepsilon_t formuna dönüştürmek gerekir.
2
ACF'nin sönümlenen sinüs dalgası olma koşulunu uygula.
AR(2) sürecinde ACF'nin dalgalı (sözde-periyodik) olması için karakteristik denklemin kökleri karmaşık sayı olmalıdır. Bu koşul: ϕ12+4ϕ2<0\phi_1^2 + 4\phi_2 < 0 eşitsizliğidir.
Gerçel kökler üstel sönümlenmeye neden olurken, karmaşık eşlenik kökler trigonometrik bir dalgalanma (sinüs dalgası) yaratır.
3
Eşitsizliği c parametresine göre çöz.
c2+4(c2−14)<0  ⟹  c2+4c2−1<0  ⟹  5c2<1  ⟹  c2<15c^2 + 4(c^2 - \frac{1}{4}) < 0 \implies c^2 + 4c^2 - 1 < 0 \implies 5c^2 < 1 \implies c^2 < \frac{1}{5}. Buradan −15<c<15-\frac{1}{\sqrt{5}} < c < \frac{1}{\sqrt{5}} aralığı bulunur.
Parametreleri formülde yerine koyarak c'nin alabileceği sınırları cebirsel olarak hesaplıyoruz.
4
Bulunan aralığın durağanlık koşullarını sağlayıp sağlamadığını kontrol et.
Durağanlık için ∣ϕ2∣<1|\phi_2| < 1, ϕ1+ϕ2<1\phi_1 + \phi_2 < 1 ve ϕ2−ϕ1<1\phi_2 - \phi_1 < 1 olmalıdır. c2<15c^2 < \frac{1}{5} olduğunda ϕ2∈[−0.25,−0.05)\phi_2 \in [-0.25, -0.05) olur, ∣ϕ2∣<1|\phi_2|<1 sağlanır. Benzer şekilde diğer kısıtlar da bu dar aralıkta her zaman sağlanır.
Sürecin ACF'sinin tanımlı olabilmesi için modelin baştan durağan olması şarttır.

Anahtar Kavram

AR(2) Modellerinde Durağanlık ve Karakteristik Köklerin Doğası
Tahmini Süre:3m 0s
Bu soruyu puanla

Konular

Otoregresif (AR) Modeller

Bu konudan daha fazla soru