Bir Sağlık Bakanlığı müfettişi, ülkedeki 8 farklı coğrafi bölgenin devlet hastanelerindeki… — KPSS İstatistik

Bir Sağlık Bakanlığı müfettişi, ülkedeki $8$ farklı coğrafi bölgenin devlet hastanelerindeki ortalama acil servis bekleme sürelerini tek yönlü varyans analizi (ANOVA) ile incelemiş ve bölgeler arasında istatistiksel olarak anlamlı bir farklılık tespit etmiştir ( $p < 0,05$ ). Müfettiş, hangi bölge çiftleri arasında fark olduğunu bulmak amacıyla tüm olası ikili karşılaştırmaları yapmayı ve Aile Bazında Hata Oranını (FWER) $\alpha = 0,05$ seviyesinde kontrol altında tutmayı planlamaktadır.

Bu aşamada müfettiş, Bonferroni ( $\alpha_{Bonf} = \frac{\alpha}{m}$ ) ve Šidák ( $\alpha_{Sidak} = 1 - (1-\alpha)^{1/m}$ ) düzeltmelerinin matematiksel özelliklerini değerlendirmektedir.

Bu araştırmanın yapısı ve çoklu karşılaştırma yöntemlerinin teorik varsayımları dikkate alındığında, aşağıdaki ifadelerden hangisi kesinlikle doğrudur?

Araştırmada toplam $28$ adet ikili karşılaştırma yapılacaktır; Šidák yöntemi karşılaştırmaların birbirinden bağımsız olduğu varsayımına dayandığından her bir test için Bonferroni'den matematiksel olarak daha büyük bir kritik değer ( $\alpha_{Sidak} > \alpha_{Bonf}$ ) üretir ve böylece II. Tip hata riskini azaltarak daha güçlü bir test sunar.Cevap
B
Grup varyanslarının homojen olmadığı kanıtlanırsa, I. Tip hatayı kontrol altında tutmak için Bonferroni veya Šidák düzeltmesi yerine varyansların eşitliği varsayımına dayanan Tukey HSD yöntemi doğrudan kullanılmalıdır.
C
ANOVA sonucu anlamlı bulunduğu için çoklu karşılaştırmalarda I. Tip hatanın şişme riski ortadan kalkmıştır; bu nedenle müfettiş herhangi bir düzeltme formülü uygulamadan her bir ikili karşılaştırmayı standart $\alpha = 0,05$ seviyesinde yapmalıdır.
D
Bonferroni ve Šidák yöntemleri I. Tip hatayı genel olarak kontrol edebilen güçlü keşfedici testler olduklarından, ANOVA sonucunda bölgeler arasında anlamlı bir farklılık bulunmasaydı bile gruplar arasındaki spesifik farkları ortaya çıkarmak için mutlaka uygulanmalıydılar.
E
Araştırmada 'bekleme süresi' faktör, '8 farklı bölge' ise bu faktörün düzeyleri olarak tanımlandığı için, düzeltme formülündeki $m$ değeri doğrudan faktör sayısına eşit alınmalı ve Bonferroni bölme işlemine gerek duyulmamalıdır.

Cevap

Araştırmada toplam 28 adet ikili karşılaştırma yapılacaktır; Šidák yöntemi karşılaştırmaların birbirinden bağımsız olduğu varsayımına dayandığından her bir test için Bonferroni'den matematiksel olarak daha büyük bir kritik değer (

\alpha_{Sidak} > \alpha_{Bonf}

) üretir ve böylece II. Tip hata riskini azaltarak daha güçlü bir test sunar.

Bu tasarımda

8

farklı bölge (grup) bulunduğundan toplam olası ikili karşılaştırma sayısı

m = 8 \times 7 / 2 = 28

'dir. Šidák yaklaşımı testlerin birbirinden bağımsız olduğu varsayımına dayanan kesin bir olasılık modelidir (

1-(1-\alpha)^{1/m}

). Bonferroni ise bağımlılık yapısından etkilenmeyen ancak çok daha tutucu olan Boole eşitsizliğine dayanır. Bu sebeple Šidák denkleminin her bir karşılaştırma için ürettiği anlamlılık sınırı (alfa) daima Bonferroni'den daha yüksektir. Anlamlılık sınırının nispeten yüksek olması testin boş hipotezi reddetmesini kolaylaştırdığından, mevcut olan gerçek bir farkı gözden kaçırma (II. Tip hata) olasılığını azaltır.

Adım Adım Çözüm

Tüm olası ikili karşılaştırmaların sayısını (

m

) kombinasyon formülü ile hesaplayınız.

g = 8

bölge için karşılaştırma sayısı:

m = \frac{g(g-1)}{2} = \frac{8 \times 7}{2} = 28

bulunur.

Bonferroni ve Šidák düzeltmelerinde kullanılan

m

değeri, hipotez testlerinin sayısını (ikili karşılaştırmaları) ifade eder.

Bonferroni ve Šidák yöntemlerinin formüllerini matematiksel büyüklük olarak değerlendiriniz.

m > 1

olan her durumda,

(1 - \alpha/m)^m \approx 1 - \alpha

Taylor açılımı mantığı gereği Šidák değeri (

\alpha_{Sidak}

), Bonferroni değerinden (

\alpha_{Bonf}

) daima daha büyüktür.

Šidák yöntemi testlerin bağımsızlığı (

P(\cap A_i) = \prod P(A_i)

) varsayımıyla kesin eşitliği hedeflerken, Bonferroni Boole eşitsizliğine (

P(\cup A_i) \leq \sum P(A_i)

) dayandığı için daima daha tutucu (daha küçük alfa) davranır.

Alfa değerinin büyüklüğünün I. ve II. Tip hatalar ile istatistiksel güç üzerindeki etkisini yorumlayınız.

Šidák yönteminin Bonferroni'den daha büyük bir alfa düzeyi (örneğin

\alpha=0,05

m=28

için

0,00183 > 0,00178

) vermesi, H0 hipotezinin reddini nispeten kolaylaştırır. Bu durum, gerçekte var olan bir farkı görememe olasılığını (II. Tip hata,

\beta

) azaltır ve testin istatistiksel gücünü (

1-\beta

) artırır.

Kritik eşik olan alfa küçüldükçe I. Tip hata garanti altına alınır ancak II. Tip hata riski logaritmik olarak artar. Šidák bu dengeyi bağımsızlık varsayımı altında matematiksel olarak daha optimal kurar.

Anahtar Kavram

Bonferroni ve Sidak düzeltmelerinin formülasyonu, karşılaştırma sayısı hesabı ve istatistiksel güç/tutuculuk ilişkisi

Soru

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Konular

Bu konudan daha fazla soru