Examkin

Soru

Zorluk: OrtaÖngörü Hata Varyansı ve Aralık Öngörüsü (Güven Aralıkları)

Bir zaman serisi için tahmin edilen model Yt=40+0,6Yt−1+ϵtY_t = 40 + 0,6 Y_{t-1} + \epsilon_t şeklindedir. Burada ϵt\epsilon_t, ortalaması 0 ve varyansı σϵ2=100\sigma_{\epsilon}^2 = 100 olan beyaz gürültü sürecini ifade etmektedir. Serinin son gözlem değeri YT=100Y_T = 100 olduğuna göre, T+2T+2 dönemi için oluşturulacak %95'lik öngörü güven aralığı aşağıdakilerden hangisidir?

(Z0,025=1,96Z_{0,025} = 1,96 ve 136≈11,66\sqrt{136} \approx 11,66 olarak alınız.)

  1. A
    [80,40; 119,60]
  2. [77,15; 122,85]Cevap
  3. C
    [75,21; 124,79]
  4. D
    [88,34; 111,66]
  5. E
    [72,15; 127,85]

Cevap

[77,15; 122,85] aralığıdır.
Doğru yanıt olan aralık, T+2T+2 dönemine ait öngörü hata varyansının doğru hesaplanmasıyla bulunmuştur. AR(1)AR(1) süreci için 2 adım sonrası varyans σϵ2(1+ϕ2)\sigma_{\epsilon}^2(1 + \phi^2)'dir. Burada 100(1+0,36)=136100(1 + 0,36) = 136 değerinin karekökü olan 11,6611,66 değeri, Z=1,96Z=1,96 katsayısı ile çarpılarak hata payı hesaplanmış ve nokta öngörüsü olan 100100 değerine eklenip çıkarılmıştır.

Adım Adım Çözüm

1
Nokta öngörüsünü (Y^T+2\hat{Y}_{T+2}) hesaplayın.
Y^T+2=100\hat{Y}_{T+2} = 100
Modelin ortalaması μ=401−0,6=100\mu = \frac{40}{1-0,6} = 100 olduğu ve son gözlem YT=100Y_T = 100 (yani ortalamada) olduğu için, tüm gelecek dönem öngörüleri ortalamaya eşit olacaktır: Y^T+1=40+0,6(100)=100\hat{Y}_{T+1} = 40 + 0,6(100) = 100 ve Y^T+2=40+0,6(100)=100\hat{Y}_{T+2} = 40 + 0,6(100) = 100.
2
2 adım sonrası öngörü hata varyansını (Var(eT(2))Var(e_T(2))) hesaplayın.
Var(eT(2))=136Var(e_T(2)) = 136
AR(1)AR(1) modelleri için hh adım sonrası öngörü hata varyansı σϵ2∑j=0h−1ϕ2j\sigma_{\epsilon}^2 \sum_{j=0}^{h-1} \phi^{2j} formülüyle bulunur. 2 adım için: 100(1+0,62)=100(1+0,36)=136100(1 + 0,6^2) = 100(1 + 0,36) = 136.
3
Öngörü standart hatasını bulun.
SE=11,66SE = 11,66
Varyansın karekökü standart hatayı verir: 136≈11,66\sqrt{136} \approx 11,66.
4
Güven aralığı sınırlarını hesaplayın.
100±22,85100 \pm 22,85
Y^T+2±Z0,025×SE⇒100±1,96×11,66=100±22,8536\hat{Y}_{T+2} \pm Z_{0,025} \times SE \Rightarrow 100 \pm 1,96 \times 11,66 = 100 \pm 22,8536. Alt sınır: 77,146477,1464; Üst sınır: 122,8536122,8536.

Anahtar Kavram

AR(1) süreçlerinde h-adım sonrası öngörü hata varyansı, tahmin ufkuna (h) bağlı olarak artar ve uzun dönemde serinin koşulsuz varyansına yakınsar.
Bu soruyu puanla

Konular

Öngörü Hata Varyansı ve Aralık Öngörüsü (Güven Aralıkları)