Examkin

Soru

Zorluk: OrtaÖngörü Hata Varyansı ve Aralık Öngörüsü (Güven Aralıkları)

Bir araştırmacı, durağan bir zaman serisi için Yt=0,75Yt−1+ϵtY_t = 0,75 Y_{t-1} + \epsilon_t şeklinde bir AR(1)AR(1) modeli tahmin etmiştir. Modelin beyaz gürültü (hata terimi) varyansı σϵ2=64\sigma_{\epsilon}^2 = 64 olarak hesaplanmıştır. Serinin son gözlem değeri Yn=160Y_n = 160 olduğuna göre, yaklaşık %95 güven düzeyinde (Z0,025=1,96Z_{0,025} = 1,96) 2-adım sonrası öngörü (h=2h=2) için güven aralığı aşağıdakilerden hangisidir?

  1. [70,40;109,60][70,40; 109,60] Cevap
  2. B
    [104,32;135,68][104,32; 135,68]
  3. C
    [74,32;105,68][74,32; 105,68]
  4. D
    [100,40;139,60][100,40; 139,60]
  5. E
    [69,26;110,74][69,26; 110,74]

Cevap

Modelin 2-adım sonrası güven aralığı [70,40;109,60][70,40; 109,60] olarak hesaplanır.
Durağan bir AR(1) sürecinde h-adım sonrası öngörü hata varyansı Var[en(h)]=σ2∑j=0h−1ϕ2jVar[e_n(h)] = \sigma^2 \sum_{j=0}^{h-1} \phi^{2j} formülü ile hesaplanır. h=2h=2 için bu değer σ2(1+ϕ2)=64(1+0,5625)=100\sigma^2(1 + \phi^2) = 64(1 + 0,5625) = 100 olur. Standart hata 10'dur. 2-adım sonrası nokta öngörüsü ϕ2Yn=90\phi^2 Y_n = 90 olduğundan, %95 güven aralığı 90±1,96(10)90 \pm 1,96(10) şeklinde sonuçlanır.

Adım Adım Çözüm

1
2-adım sonrası nokta öngörüsünün (Y^n(2)\hat{Y}_n(2)) hesaplanması
Y^n(2)=ϕ2Yn=0,752×160=0,5625×160=90\hat{Y}_n(2) = \phi^2 Y_n = 0,75^2 \times 160 = 0,5625 \times 160 = 90
AR(1) modelinde h-adım sonrası öngörü ϕhYn\phi^h Y_n formülü ile bulunur.
2
2-adım sonrası öngörü hata varyansının (Var[en(2)]Var[e_n(2)]) hesaplanması
Var[en(2)]=σϵ2(1+ϕ2)=64×(1+0,752)=64×1,5625=100Var[e_n(2)] = \sigma_{\epsilon}^2 (1 + \phi^2) = 64 \times (1 + 0,75^2) = 64 \times 1,5625 = 100
Öngörü hata varyansı, modelin ψ\psi (ağırlık) katsayılarının kareleri toplamı ile hata varyansının çarpımıdır.
3
Standart hatanın (SESE) bulunması
SE=Var[en(2)]=100=10SE = \sqrt{Var[e_n(2)]} = \sqrt{100} = 10
Güven aralığı marjı için varyansın karekökü olan standart hata gereklidir.
4
Güven aralığı sınırlarının hesaplanması
90±(1,96×10)=90±19,6⇒[70,4;109,6]90 \pm (1,96 \times 10) = 90 \pm 19,6 \Rightarrow [70,4; 109,6]
Güven aralığı, nokta öngörüsüne hata payının (Z tablosu değeri x Standart Hata) eklenip çıkarılmasıyla oluşturulur.

Anahtar Kavram

Öngörü Hata Varyansı ve Güven Sınırlarının Genişlemesi
Tahmini Süre:2m 0s
Bu soruyu puanla

Konular

Öngörü Hata Varyansı ve Aralık Öngörüsü (Güven Aralıkları)