Box-Jenkins Metodolojisi ve Öngörü Alıştırma Soruları — KPSS İstatistik

Soru 1Soru →

Box-Jenkins metodolojisinde model belirleme (kimliklendirme) aşamasından sonra gerçekleştirilen parametre tahmin sürecinde kullanılan En Küçük Kareler (EKK) ve En Yüksek Olabilirlik (EO) yöntemlerinin özellikleri ile ilgili aşağıdaki ifadelerden hangisi doğrudur?

Hareketli ortalama (

MA

) modellerinde hata terimleri doğrudan gözlemlenemediği için En Küçük Kareler (EKK) yöntemi parametrelere göre doğrusal olmayan (non-linear) bir yapıya bürünür ve iteratif çözümleme teknikleri gerektirir.

MA(q)

modellerinde parametre kestirimi yapılırken sadece durağanlık koşullarının sağlanması yeterlidir; tersinirlik (invertibility) koşulu parametre tahmini için bir kısıt veya zorunluluk oluşturmaz.

Farklı modeller arasında seçim yapılırken Akaike Bilgi Kriteri (

AIC

) veya Bayesyen Bilgi Kriteri (

BIC

) değerlerinden en yüksek olanına sahip model, en iyi parametre tahminlerine sahip model olarak kabul edilir.

AR(1)

modelinin parametre tahminleri sonucunda elde edilen

\phi

katsayısının mutlak değerce

1

'den büyük olması (

|\phi| > 1

), modelin durağan olduğunu ve tahmin edilen parametrelerin geçerli olduğunu gösterir.

Parametre tahmin aşamasında kullanılan otokorelasyon (

ACF

) ve kısmi otokorelasyon (

PACF

) grafikleri, modelin parametre değerlerini doğrudan hesaplar ve bu nedenle matematiksel tahmin yöntemlerine ihtiyaç duyulmaz.

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: Hareketli ortalama ( $MA$ ) modellerinde hata terimleri doğrudan gözlemlenemediği için En Küçük Kareler (EKK) yöntemi parametrelere göre doğrusal olmayan (non-linear) bir yapıya bürünür ve iteratif çözümleme teknikleri gerektirir.

Cevap

Hareketli ortalama (

MA

) modellerinde hata terimleri doğrudan gözlemlenemediği için En Küçük Kareler (EKK) yönteminin doğrusal olmayan bir yapıya sahip olması ve iteratif teknikler gerektirmesi ifadesi doğrudur.

Otoregresif (

AR

) modellerde bağımlı değişkenin geçmiş değerleri gözlemlenebilir olduğu için EKK yöntemi doğrusal bir regresyon gibi çalışır. Ancak hareketli ortalama (

MA

) modellerinde bağımsız değişken konumundaki hata terimleri (

e_t

) doğrudan gözlemlenemez ve bu terimler tahmin edilen parametrelerin bir fonksiyonudur. Bu durum, toplamsal hata karesini parametrelere göre doğrusal olmayan bir hale getirir ve çözüm için Gauss-Newton gibi iteratif (tekrarlamalı) algoritmaların kullanılmasını zorunlu kılar.

Adım Adım Çözüm

1

Box-Jenkins tahmin aşamasının temelini anlamak

Tahmin aşaması, belirlenen ARMA modelindeki

\phi

ve

\theta

parametrelerinin sayısal değerlerinin hesaplanması sürecidir.

Yöntemlerin hangi model türünde nasıl davrandığını saptamak için bu temel bilgi gereklidir.

2

EKK (OLS) ve EO (MLE) yöntemlerini model türlerine göre kıyaslamak

AR modellerinde EKK doğrusal bir yapıdayken, MA modellerinde hata terimleri gözlenemediği ve parametrelere bağlı olduğu için yapı doğrusal olmayana (non-linear) dönüşür.

MA modellerinde parametrelerin hata terimleri üzerinden birbirini etkilemesi sayısal (iteratif) çözümlemeyi zorunlu kılar.

3

Varsayım ve kısıtları kontrol etmek

EO yönteminin normallik varsayımı gerektirmesi ve MA modellerinde tersinirlik kısıtının uygulanması gerektiği doğrulanır.

Tahmin edilen parametrelerin istatistiksel olarak anlamlı ve modelin kararlı olması bu kısıtlara bağlıdır.

Anahtar Kavram

Box-Jenkins Parametre Tahmininde Doğrusal Olmayan Kestirim

Alternatif Yöntem

Koşullu En Küçük Kareler (Conditional Least Squares) yöntemi, başlangıçtaki bilinmeyen hata terimlerini sıfır varsayarak süreci basitleştirebilir, ancak tam En Yüksek Olabilirlik (Exact MLE) yöntemi özellikle küçük örneklemlerde daha kesin sonuçlar verir.

Tahmini Süre:1m 30s

Soru 2Soru →

Box-Jenkins ( $ARIMA$ ) metodolojisinde model belirleme aşamasından sonra gerçekleştirilen parametre tahmini sürecinde, "En Yüksek Olabilirlik" ( $Maximum$ $Likelihood$ - $ML$ ) yönteminin kullanımı ve elde edilen tahmin edicilerin istatistiksel özellikleri ile ilgili aşağıdaki ifadelerden hangisi doğrudur?

Örneklem hacmi sonsuza giderken (

n \rightarrow \infty

), elde edilen tahmin ediciler tutarlı, asimptotik olarak normal dağılımlı ve asimptotik olarak etkindir.

Hareketli ortalama (

MA

) katsayılarının tahmini için serinin durağan olması yeterlidir; modelin tersinirlik (

invertibility

) koşulunu sağlaması gerekmez.

Otoregresif (

AR

) bileşenlerin katsayılarının mutlak değerce 1'den büyük olması, tahmin algoritmasının sayısal yakınsamasını ve tahminlerin tutarlılığını artırır.

Model seçimi sürecinde başvurulan Akaike Bilgi Kriteri (

AIC

) veya Bayesian Bilgi Kriteri (

BIC

) değerlerinden en yüksek olanına sahip model, en iyi parametre tahminlerini sunar.

Durağan olmayan bir seriyi durağanlaştırmak için uygulanan aşırı fark alma (

over-differencing

) işlemi, tahmin edilen hata terimi varyansının daha küçük çıkmasını sağlar.

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: Örneklem hacmi sonsuza giderken ( $n \rightarrow \infty$ ), elde edilen tahmin ediciler tutarlı, asimptotik olarak normal dağılımlı ve asimptotik olarak etkindir.

Cevap

En Yüksek Olabilirlik yöntemi ile elde edilen tahmin ediciler, büyük örneklemlerde tutarlı, asimptotik olarak normal dağılımlı ve etkin olma özelliklerine sahiptir.

En Yüksek Olabilirlik (

MLE

) yöntemi, özellikle hata terimlerinin normal dağıldığı varsayımı altında, örneklem hacmi büyüdükçe istatistiksel olarak 'en iyi' tahmin edici özelliklerini (tutarlılık, asimptotik normallik ve asimptotik etkinlik) sağlar. Bu durum, yöntemi Box-Jenkins modellerinde oldukça güçlü kılmaktadır.

Adım Adım Çözüm

1

Parametre tahmin yöntemlerinin (EKK ve EO) temel amaçlarını karşılaştırın.

En Küçük Kareler (

EKK

) hata kareler toplamını minimize ederken, En Yüksek Olabilirlik (

EO

) gözlemlenen verilerin ortaya çıkma olasılığını maksimize eder.

Yöntemlerin istatistiksel dayanaklarını anlamak, tahmin edici özelliklerini yorumlamak için gereklidir.

2

En Yüksek Olabilirlik yönteminin asimptotik (büyük örneklem) özelliklerini inceleyin.

Büyük örneklemlerde

MLE

tahmin edicileri

n \rightarrow \infty

iken tutarlıdır (gerçek değere yaklaşır), etkindir (en küçük varyansa sahiptir) ve normal dağılım sergiler.

MLE

yönteminin

ARIMA

modellerinde tercih edilme sebebinin bu optimal özellikler olduğunu doğrulamak içindir.

3

Diğer seçeneklerdeki zaman serisi kısıtlarını (durağanlık, tersinirlik, bilgi kriterleri) değerlendirin.

Tersinirlik ve durağanlık birer zorunluluktur; bilgi kriterlerinde ise minimum değer hedeflenir.

Kavramsal hataları eleyerek doğru sonuca ulaşılmasını sağlar.

Anahtar Kavram

Zaman serisi modellerinde parametre tahmin edicilerin asimptotik özellikleri

Soru 3Soru →

Bir araştırmacı, durağan bir zaman serisi için $Y_t = 0,75 Y_{t-1} + \epsilon_t$ şeklinde bir $AR(1)$ modeli tahmin etmiştir. Modelin beyaz gürültü (hata terimi) varyansı $\sigma_{\epsilon}^2 = 64$ olarak hesaplanmıştır. Serinin son gözlem değeri $Y_n = 160$ olduğuna göre, yaklaşık %95 güven düzeyinde ( $Z_{0,025} = 1,96$ ) 2-adım sonrası öngörü ( $h=2$ ) için güven aralığı aşağıdakilerden hangisidir?

[70,40; 109,60]

[104,32; 135,68]

[74,32; 105,68]

[100,40; 139,60]

[69,26; 110,74]

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: $[70,40; 109,60]$

Cevap

Modelin 2-adım sonrası güven aralığı

[70,40; 109,60]

olarak hesaplanır.

Durağan bir AR(1) sürecinde h-adım sonrası öngörü hata varyansı

Var[e_n(h)] = \sigma^2 \sum_{j=0}^{h-1} \phi^{2j}

formülü ile hesaplanır.

h=2

için bu değer

\sigma^2(1 + \phi^2) = 64(1 + 0,5625) = 100

olur. Standart hata 10'dur. 2-adım sonrası nokta öngörüsü

\phi^2 Y_n = 90

olduğundan, %95 güven aralığı

90 \pm 1,96(10)

şeklinde sonuçlanır.

Adım Adım Çözüm

1

2-adım sonrası nokta öngörüsünün (

\hat{Y}_n(2)

) hesaplanması

\hat{Y}_n(2) = \phi^2 Y_n = 0,75^2 \times 160 = 0,5625 \times 160 = 90

AR(1) modelinde h-adım sonrası öngörü

\phi^h Y_n

formülü ile bulunur.

2

2-adım sonrası öngörü hata varyansının (

Var[e_n(2)]

) hesaplanması

Var[e_n(2)] = \sigma_{\epsilon}^2 (1 + \phi^2) = 64 \times (1 + 0,75^2) = 64 \times 1,5625 = 100

Öngörü hata varyansı, modelin

\psi

(ağırlık) katsayılarının kareleri toplamı ile hata varyansının çarpımıdır.

3

Standart hatanın (

SE

) bulunması

SE = \sqrt{Var[e_n(2)]} = \sqrt{100} = 10

Güven aralığı marjı için varyansın karekökü olan standart hata gereklidir.

4

Güven aralığı sınırlarının hesaplanması

90 \pm (1,96 \times 10) = 90 \pm 19,6 \Rightarrow [70,4; 109,6]

Güven aralığı, nokta öngörüsüne hata payının (Z tablosu değeri x Standart Hata) eklenip çıkarılmasıyla oluşturulur.

Anahtar Kavram

Öngörü Hata Varyansı ve Güven Sınırlarının Genişlemesi

Tahmini Süre:2m 0s

Soru 4Soru →

Zaman serisi analizinde Box-Jenkins metodolojisi kapsamında, model belirleme aşamasından sonra gelen parametrelerin kestirimi sürecinde kullanılan En Küçük Kareler ( $EKK$ ) ve En Yüksek Olabilirlik ( $EO$ ) yöntemleri ile ilgili aşağıdaki ifadelerden hangisi doğrudur?

En Yüksek Olabilirlik yöntemi, parametre tahminlerinin elde edilebilmesi için hata terimlerinin belirli bir olasılık dağılımına (genellikle normal dağılım) sahip olduğu varsayımına ihtiyaç duyar.

Hareketli Ortalama (

MA

) modellerinde parametreler, otoregresif (

AR

) modellerde olduğu gibi doğrusal En Küçük Kareler yöntemi kullanılarak analitik bir çözümle doğrudan tahmin edilebilir.

Büyük örneklemlerde (asimptotik olarak), En Küçük Kareler tahmin edicileri ile En Yüksek Olabilirlik tahmin edicileri her zaman birbirinden tamamen farklı parametre değerlerine yakınsar.

Şartlı En Küçük Kareler (Conditional OLS) yöntemi, serinin başlangıç değerlerini analize dahil ettiği için küçük örneklemlerde Tam En Yüksek Olabilirlik yönteminden daha kesin sonuçlar verir.

En Küçük Kareler yöntemi, elde edilen parametre tahminlerinin durağanlık ve tersinirlik koşullarını sağlamasını tahmin süreci içerisinde otomatik olarak garanti eder.

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: En Yüksek Olabilirlik yöntemi, parametre tahminlerinin elde edilebilmesi için hata terimlerinin belirli bir olasılık dağılımına (genellikle normal dağılım) sahip olduğu varsayımına ihtiyaç duyar.

Cevap

En Yüksek Olabilirlik yöntemi, parametre tahminlerinin elde edilebilmesi için hata terimlerinin belirli bir olasılık dağılımına (genellikle normal dağılım) sahip olduğu varsayımına ihtiyaç duyar.

En Yüksek Olabilirlik (

EO

) yöntemi, verilerin belirli bir olasılık yoğunluk fonksiyonundan çekildiği varsayımı altında çalışır. Bu fonksiyonun (olabilirlik fonksiyonu) oluşturulabilmesi için hata terimlerinin dağılımının (genellikle normal dağılım) önceden varsayılması zorunludur. Dağılım varsayımı olmadan parametreleri maksimize edecek bir fonksiyon kurulamaz.

Adım Adım Çözüm

1

Parametre tahmin yöntemlerinin temel mantığını analiz etmek.

En Küçük Kareler (

EKK

) artık kareler toplamını minimize ederken, En Yüksek Olabilirlik (

EO

) verinin gözlenme olasılığını maksimize eder.

Yöntemler arasındaki temel felsefi farkı anlamak cevabı belirlemede kritiktir.

2

En Yüksek Olabilirlik (

EO

) yönteminin gereksinimlerini belirlemek.

Bir olabilirlik (likelihood) fonksiyonu yazabilmek için hata terimlerinin hangi dağılımdan (

N(0, \sigma^2)

gibi) geldiğinin bilinmesi gerekir.

EO

yöntemi olasılık temelli bir yaklaşımdır.

3

MA

modelleri ve asimptotik özellikler gibi teknik detayları karşılaştırmak.

MA

modellerinin doğrusal olmayan yapıları ve

EKK

ile

EO

tahmin edicilerinin büyük örneklemlerdeki benzerliği tespit edilir.

Çeldiricilerin neden yanlış olduğunu doğrulamak için gereklidir.

Anahtar Kavram

Zaman serilerinde parametre tahmin yöntemlerinin (EKK ve EO) varsayımsal ve istatistiksel farklılıkları.

Tahmini Süre:1m 30s

Soru 5Soru →

Ortalaması $\mu = 50$ olan durağan bir $Y_t$ zaman serisi için ARMA(1,1) modeli şu şekilde tanımlanmıştır:

Y_t - 50 = 0,5(Y_{t-1} - 50) + \epsilon_t + 0,4\epsilon_{t-1}

$t$ zamanındaki serinin değeri $Y_t = 54$ ve bu dönemdeki hata terimi $\epsilon_t = 2$ olarak gözlemlenmiştir. Box-Jenkins metodolojisi kullanılarak yapılan öngörülerde gelecek dönemlerdeki hata terimlerinin beklenen değerlerinin sıfır olduğu varsayıldığına göre, serinin $t+2$ dönemi için nokta öngörüsü ( $\hat{Y}_t(2)$ ) kaçtır?

51,4

52,8

52,2

52,0

50,0

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 51,4

Cevap

Serinin t+2 dönemi için nokta öngörüsü 51,4'tür.

ARMA(1,1) modelinde t+2 öngörüsü hesaplanırken, t+1 öngörüsü olan 52,8 değeri kullanılır. Denklemde yer alan hata terimleri (t+1 ve t+2 için) beklenen değerleri olan sıfır ile değiştirildiğinde, sadece ortalama ve AR bileşeninin sönümlenen etkisi kalır. Bu da 50 + 0,5(52,8 - 50) = 51,4 sonucunu verir.

Adım Adım Çözüm

1

t+1 dönemi için öngörü denklemini kurun ve hesaplayın.

\hat{Y}_t(1) = 50 + 0,5(54 - 50) + 0,4(2) = 52,8

Bir dönem sonrası öngörüde hem AR hem de MA bileşenleri etkindir.

2

t+2 dönemi için öngörü denklemini kurun.

\hat{Y}_t(2) = 50 + 0,5(\hat{Y}_t(1) - 50) + E[\epsilon_{t+2}] + 0,4E[\epsilon_{t+1}]

İki dönem sonrası için gelecek hata terimleri sıfır kabul edilir.

3

t+2 öngörüsünü değerleri yerine koyarak hesaplayın.

\hat{Y}_t(2) = 50 + 0,5(52,8 - 50) = 51,4

MA(1) etkisi t+2 döneminde sönümlenir, sadece AR(1) sönümlenmesi devam eder.

Anahtar Kavram

ARMA modellerinde nokta öngörüsü yapılırken, hata terimlerinin gözlemlenemeyen gelecek değerleri için beklenen değer sıfır alınır.

Daha Fazla Pratik

ARMA modellerinde öngörü ufkunu genişleterek sönümlenme hızını analiz edin.

Tahmini Süre:2m 0s

Soru 6Soru →

Bir zaman serisi için tahmin edilen model $Y_t = 40 + 0,6 Y_{t-1} + \epsilon_t$ şeklindedir. Burada $\epsilon_t$ , ortalaması 0 ve varyansı $\sigma_{\epsilon}^2 = 100$ olan beyaz gürültü sürecini ifade etmektedir. Serinin son gözlem değeri $Y_T = 100$ olduğuna göre, $T+2$ dönemi için oluşturulacak %95'lik öngörü güven aralığı aşağıdakilerden hangisidir?

( $Z_{0,025} = 1,96$ ve $\sqrt{136} \approx 11,66$ olarak alınız.)

[80,40; 119,60]

[77,15; 122,85]

[75,21; 124,79]

[88,34; 111,66]

[72,15; 127,85]

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: [77,15; 122,85]

Cevap

[77,15; 122,85] aralığıdır.

Doğru yanıt olan aralık,

T+2

dönemine ait öngörü hata varyansının doğru hesaplanmasıyla bulunmuştur.

AR(1)

süreci için 2 adım sonrası varyans

\sigma_{\epsilon}^2(1 + \phi^2)

'dir. Burada

100(1 + 0,36) = 136

değerinin karekökü olan

11,66

değeri,

Z=1,96

katsayısı ile çarpılarak hata payı hesaplanmış ve nokta öngörüsü olan

100

değerine eklenip çıkarılmıştır.

Adım Adım Çözüm

1

Nokta öngörüsünü (

\hat{Y}_{T+2}

) hesaplayın.

\hat{Y}_{T+2} = 100

Modelin ortalaması

\mu = \frac{40}{1-0,6} = 100

olduğu ve son gözlem

Y_T = 100

(yani ortalamada) olduğu için, tüm gelecek dönem öngörüleri ortalamaya eşit olacaktır:

\hat{Y}_{T+1} = 40 + 0,6(100) = 100

ve

\hat{Y}_{T+2} = 40 + 0,6(100) = 100

.

2

2 adım sonrası öngörü hata varyansını (

Var(e_T(2))

) hesaplayın.

Var(e_T(2)) = 136

AR(1)

modelleri için

h

adım sonrası öngörü hata varyansı

\sigma_{\epsilon}^2 \sum_{j=0}^{h-1} \phi^{2j}

formülüyle bulunur. 2 adım için:

100(1 + 0,6^2) = 100(1 + 0,36) = 136

.

3

Öngörü standart hatasını bulun.

SE = 11,66

Varyansın karekökü standart hatayı verir:

\sqrt{136} \approx 11,66

.

4

Güven aralığı sınırlarını hesaplayın.

100 \pm 22,85

\hat{Y}_{T+2} \pm Z_{0,025} \times SE \Rightarrow 100 \pm 1,96 \times 11,66 = 100 \pm 22,8536

. Alt sınır:

77,1464

; Üst sınır:

122,8536

.

Anahtar Kavram

AR(1) süreçlerinde h-adım sonrası öngörü hata varyansı, tahmin ufkuna (h) bağlı olarak artar ve uzun dönemde serinin koşulsuz varyansına yakınsar.

Soru 7Soru →

Bir zaman serisi analizi kapsamında, aynı veri seti üzerinde tahmin edilen dört farklı modelin performansını değerlendirmek amacıyla hesaplanan bilgi kriteri değerleri aşağıdaki tabloda sunulmuştur:

Model	$AIC$	$BIC$	$HQIC$
Model I	$154,20$	$162,10$	$157,40$
Model II	$152,80$	$165,80$	$158,10$
Model III	$156,50$	$160,20$	$158,00$
Model IV	$160,10$	$170,50$	$164,30$

Buna göre, Schwarz Bilgi Kriteri ( $BIC$ ) temel alındığında, parsimoni (tutumluluk) ilkesi gereği tercih edilmesi gereken en uygun model aşağıdakilerden hangisidir?

Model I

Model II

Model III

Model IV

Tüm modeller istatistiksel olarak özdeştir

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: Model III

Cevap

Model III, en düşük Schwarz Bilgi Kriteri (

BIC

) değerine (

160,20

) sahip olduğu için en uygun modeldir.

Model III, tablodaki aday modeller içerisinde

160,20

ile en düşük

BIC

değerine sahip olan modeldir. Zaman serileri literatüründe bilgi kriterleri (AIC, BIC veya HQIC), hem modelin veriye uyumunu hem de modelin karmaşıklığını (parametre sayısını) ölçer; bu nedenle en düşük kriter değerine sahip model, 'en iyi' veya 'en uygun' model olarak kabul edilir.

Adım Adım Çözüm

1

Tablodaki

BIC

(Schwarz Bilgi Kriteri) sütununu inceleyiniz.

Dört model için

BIC

değerleri şöyledir: Model I:

162,10

, Model II:

165,80

, Model III:

160,20

, Model IV:

170,50

.

Soru kökünde özellikle

BIC

kriterine göre seçim yapılması istenmiştir.

2

Belirlenen

BIC

değerleri arasından en küçük olanı seçiniz.

En küçük değer

160,20

olup bu değer Model III'e aittir.

Zaman serisi model seçiminde kullanılan bilgi kriterleri (AIC, BIC, HQIC), modelin uyum iyiliği ile parametre sayısı arasındaki dengeyi kurar ve bu değerlerin minimize edilmesi hedeflenir.

Anahtar Kavram

Bilgi kriterleri (AIC, BIC, HQIC) karşılaştırılırken her zaman 'en küçük' değeri veren model tercih edilir.

Soru 8Soru →

Ortalaması $\mu = 100$ olan durağan bir $Y_t$ zaman serisi için ARMA(1,1) süreci şu şekilde tahmin edilmiştir:

Y_t - 100 = 0,6(Y_{t-1} - 100) + \epsilon_t - 0,5\epsilon_{t-1}

Serinin $t$ zamanındaki değeri $Y_t = 110$ ve bu döneme ait hata terimi $\epsilon_t = 4$ olduğuna göre, bu serinin iki dönem sonrası için nokta öngörüsü ( $\hat{Y}_t(2)$ ) kaçtır?

102,4

104,0

100,4

106,0

104,8

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 102,4

Cevap

İki dönem sonrası nokta öngörüsü

102,4

olarak hesaplanır.

Doğru sonuç, öncelikle

t+1

dönemi için modeldeki tüm bilinen değerler (mevcut gözlem ve mevcut hata) kullanılarak öngörü yapılması, ardından bu öngörünün

t+2

dönemi için AR bileşenine girdi olarak verilmesiyle elde edilir. İkinci adımda hata terimi etkisi tamamen ortadan kalktığı için yalnızca AR süreci üzerinden ortalamaya yakınsama gerçekleşir.

Adım Adım Çözüm

1

Birinci dönem öngörüsünü (

\hat{Y}_t(1)

) hesapla.

\hat{Y}_t(1) = 100 + 0,6(110 - 100) - 0,5(4) = 100 + 6 - 2 = 104

Öngörü denkleminde gelecekteki hata terimi

\epsilon_{t+1}

beklenen değeri 0 alınırken, mevcut dönem hatası

\epsilon_t

dahil edilir.

2

İkinci dönem öngörüsünü (

\hat{Y}_t(2)

) hesapla.

\hat{Y}_t(2) = 100 + 0,6(104 - 100) + 0 = 100 + 2,4 = 102,4

ARMA modellerinde öngörü yinelemeli (recursive) yapılır; ikinci adımda AR bileşeni için birinci adım öngörüsü kullanılır ve MA bileşeni (

t+1

hatası) sıfır olur.

Anahtar Kavram

ARMA modellerinde çok adımlı nokta öngörüsü yinelemeli bir yapı izler ve gelecek hata terimlerinin beklenen değerleri sıfıra eşittir.

Tahmini Süre:1m 30s

Soru 9Soru →

Box-Jenkins metodolojisi kapsamında model belirlendikten sonra gerçekleştirilen parametre tahmin süreci ile ilgili aşağıdaki ifadelerden hangisi doğrudur?

Otoregresif (

AR

) modellerin parametreleri doğrusal En Küçük Kareler (

EKK

) yöntemiyle tahmin edilebilirken; Hareketli Ortalama (

MA

) modellerinde parametrelerin doğrusal olmaması nedeniyle genellikle En Yüksek Olabilirlik (

EYO

) veya yinelemeli doğrusal olmayan yöntemler kullanılır.

Parametre tahmin sürecinde sadece durağanlık koşulları dikkate alınır; Hareketli Ortalama (

MA

) modelleri için tersinirlik (invertibility) koşullarının kontrol edilmesine gerek yoktur.

Seride birim kök bulunması durumunda (stokastik trend), parametre tahminleri herhangi bir fark alma işlemi uygulanmadan doğrudan orijinal seri üzerinden yapılmalıdır.

Farklı modeller arasından en iyi olanı belirlemek için kullanılan Akaike Bilgi Kriteri (

AIC

) değerinin, karşılaştırılan modeller arasında en yüksek olduğu model seçilmelidir.

Otoregresif modellerde parametre tahmini yapılırken, modelin durağan olabilmesi için ilgili katsayıların mutlak değerinin 1'den büyük olması beklenir.

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: Otoregresif ( $AR$ ) modellerin parametreleri doğrusal En Küçük Kareler ( $EKK$ ) yöntemiyle tahmin edilebilirken; Hareketli Ortalama ( $MA$ ) modellerinde parametrelerin doğrusal olmaması nedeniyle genellikle En Yüksek Olabilirlik ( $EYO$ ) veya yinelemeli doğrusal olmayan yöntemler kullanılır.

Cevap

Otoregresif (

AR

) modellerin parametreleri doğrusal En Küçük Kareler (

EKK

) yöntemiyle tahmin edilebilirken; Hareketli Ortalama (

MA

) modellerinde parametrelerin doğrusal olmaması nedeniyle genellikle En Yüksek Olabilirlik (

EYO

) veya yinelemeli doğrusal olmayan yöntemler kullanılır.

Zaman serisi analizinde

AR

modelleri, bağımlı değişkenin kendi gecikmeli değerlerinin doğrusal bir fonksiyonu olduğu için klasik En Küçük Kareler (

EKK

) yöntemi ile tutarlı bir şekilde tahmin edilebilir. Ancak

MA

modellerinde bağımlı değişken, gözlemlenemeyen hata terimlerinin gecikmeli değerlerine bağlıdır. Bu durum, model denklemini parametreler açısından doğrusal olmayan bir hale getirir ve bu nedenle parametreleri tahmin etmek için En Yüksek Olabilirlik (

EYO

) veya Gauss-Newton gibi yinelemeli algoritmalar kullanılması gerekir.

Adım Adım Çözüm

1

Box-Jenkins metodolojisinin aşamalarını ve tahmin sürecindeki model yapılarını analiz edin.

Box-Jenkins yaklaşımı; kimliklendirme, tahmin, tanısal kontrol ve öngörü adımlarından oluşur. Tahmin aşamasında seçilen

p

ve

q

derecelerine göre parametreler hesaplanır.

Tahmin yönteminin seçimi, modelin matematiksel formuna (doğrusal olup olmamasına) bağlıdır.

2

AR

ve

MA

modelleri arasındaki matematiksel farkı değerlendirin.

AR(p)

modelleri gözlemlenebilir geçmiş değerlere dayalı olduğu için parametreler açısından doğrusaldır. Ancak

MA(q)

modelleri gözlemlenemeyen hata terimlerini (

e_{t-q}

) içerdiğinden parametreler açısından doğrusal değildir.

Doğrusal modellerde standart

EKK

çözümleri doğrudan sonuç verirken, doğrusal olmayan modellerde sayısal optimizasyon veya

EYO

gerekir.

3

Seçeneklerdeki ifadeleri Box-Jenkins varsayımları ve tahmin edicilerin özellikleriyle karşılaştırın.

Doğru ifade,

AR

ve

MA

modelleri arasındaki bu temel tahmin yöntemi ayrımını açıklayan seçenektir.

Diğer seçenekler durağanlık, tersinirlik ve bilgi kriterlerinin temel çalışma prensipleriyle çelişmektedir.

Anahtar Kavram

Box-Jenkins Parametre Tahmini (EKK ve EYO)

Daha Fazla Pratik

Parametre tahmininden sonraki adım olan 'Tanısal Kontrol' aşamasında artıkların (kalıntıların) beyaz gürültü özelliklerini nasıl test edeceğinizi inceleyebilirsiniz.

Tahmini Süre:1m 30s

Soru 10Soru →

Box-Jenkins metodolojisinde modelin başarısını ölçmek amacıyla yapılan tanısal kontrol (diagnostic checking) aşamasında, tahmin edilen modelden elde edilen artıkların (kalıntıların) beyaz gürültü (white noise) özellikleri taşıması beklenir.

Artıkların beyaz gürültü sürecine uygunluğunu belirlemek amacıyla kullanılan Ljung-Box testi ve sonuçlarının yorumlanması ile ilgili aşağıdaki ifadelerden hangisi doğrudur?

Ljung-Box testinde boş hipotez (

H_0

), artıkların belirli bir gecikmeye kadar otokorelasyona sahip olmadığını ifade eder ve anlamlılık düzeyinden büyük

p

değerleri modelin yeterli olduğuna işaret eder.

Ljung-Box testinde kurulan

H_0

hipotezi artıkların yüksek dereceden otokorelasyonlu olduğunu varsayar; bu nedenle

p

değerinin

0,05

'ten küçük olması modelin veriyi iyi açıkladığını gösterir.

Bir modelin tanısal kontrolden başarıyla geçebilmesi için artıkların otokorelasyon fonksiyonu (ACF) grafik değerlerinin tamamının güven sınırlarının dışında yer alması gerekir.

Beyaz gürültü özellikleri gereği artıkların varyansının zaman içerisinde sistematik bir şekilde artması, modelin varyans durağanlığını başarıyla sağladığını kanıtlar.

p

değerinin anlamlılık düzeyinden (

\alpha

) küçük olması durumunda boş hipotez reddedilemez ve modelin tanısal açıdan uygun olduğu sonucuna varılır.

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: Ljung-Box testinde boş hipotez ( $H_0$ ), artıkların belirli bir gecikmeye kadar otokorelasyona sahip olmadığını ifade eder ve anlamlılık düzeyinden büyük $p$ değerleri modelin yeterli olduğuna işaret eder.

Cevap

Ljung-Box testinde boş hipotez (

H_0

) artıkların otokorelasyona sahip olmadığını (beyaz gürültü olduğunu) belirtir ve anlamlılık düzeyinden büyük bir p-değeri elde edilmesi modelin uygun olduğunu gösterir.

Ljung-Box testi bir portmanteau (toplu) testidir ve boş hipotezi (

H_0

) incelenen gecikme sayısına kadar olan tüm otokorelasyon katsayılarının sıfıra eşit olduğunu varsayar. İstatistiksel bir testte

p

değerinin seçilen anlamlılık düzeyinden (genellikle

0,05

) büyük çıkması, boş hipotezin reddedilememesi anlamına gelir. Tanısal kontrolde 'artıklar arasında otokorelasyon yoktur' hipotezinin reddedilememesi, tahmin edilen modelin verideki bağımlılık yapısını yeterince açıkladığını ve artıkların sadece rassal hatalardan (beyaz gürültü) oluştuğunu doğrular.

Adım Adım Çözüm

1

Hipotezlerin Kurulması

H_0: \rho_1 = \rho_2 = \dots = \rho_k = 0

(Artıklar arasında otokorelasyon yoktur/Beyaz gürültüdür)

Ljung-Box testi, artıkların toplu olarak otokorelasyon içerip içermediğini denetlemek için kullanılır.

2

Test İstatistiği ve p-değerinin Analizi

Hesaplanan

Q

istatistiği için

p > \alpha

(Örn:

p > 0,05

) ise

H_0

reddedilemez.

Düşük p-değeri artıkların rassal olmadığını, yüksek p-değeri ise artıkların beyaz gürültü sürecine uygun olduğunu gösterir.

3

Model Uygunluk Kararı

Model yeterlidir (adequate).

Artıklar beyaz gürültü ise, model verideki tüm sistematik bilgiyi yakalamış ve geriye sadece rassal hatalar bırakmış demektir.

Anahtar Kavram

Tanısal Kontrolde Beyaz Gürültü ve Portmanteau Testleri

Soru 11Soru →

Zaman serisi analizinde Box-Jenkins yaklaşımıyla kurulan bir modelin veri setine uygunluğunu denetlemek için 'tanısal kontrol' süreci yürütülür. Bu süreçte modelden elde edilen artıkların (kalıntıların) beyaz gürültü (white noise) varsayımını sağlaması beklenir. Buna göre, artıkların analizi ve Portmanteau (Ljung-Box) testlerine ilişkin aşağıdaki ifadelerden hangisi doğrudur?

Ljung-Box testinde temel (boş) hipotez (

H_0

), artıkların beyaz gürültü olmadığını ve modelin parametrelerinin yeniden belirlenmesi gerektiğini ifade eder.

Ljung-Box testinde boş hipotez (

H_0

), seçilen bir

k

gecikmesine kadar tüm otokorelasyon katsayılarının sıfıra eşit olduğunu ve artıkların beyaz gürültü serisi olduğunu ifade eder.

Beyaz gürültü varsayımı altında, artıkların beklenen değeri sıfır olmalı ancak varyansları zaman ilerledikçe sistematik olarak artış göstermelidir.

Ljung-Box testi sonucunda elde edilen

p

-değeri, belirlenen anlamlılık düzeyinden (

\alpha

) küçük olduğunda "artıklar beyaz gürültüdür" kararı verilir ve model yeterli kabul edilir.

Tanısal kontrol sürecinde artıkların beyaz gürültü olup olmadığını anlamak için yalnızca ilk gecikmedeki otokorelasyon değerinin (ACF) güven sınırları içinde kalması yeterlidir.

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: Ljung-Box testinde boş hipotez ( $H_0$ ), seçilen bir $k$ gecikmesine kadar tüm otokorelasyon katsayılarının sıfıra eşit olduğunu ve artıkların beyaz gürültü serisi olduğunu ifade eder.

Cevap

Ljung-Box testinde boş hipotez, artıkların belirli bir gecikmeye kadar otokorelasyon katsayılarının sıfır olduğunu ve serinin beyaz gürültü özelliği taşıdığını ifade eder.

Ljung-Box testi, artıkların otokorelasyon katsayılarının toplu olarak sıfıra eşit olup olmadığını sınayan bir Portmanteau testidir. Bu testte kurulan boş hipotez (

H_0

), seçilen

k

gecikmesine kadar olan tüm otokorelasyonların istatistiksel olarak sıfırdan farksız olduğunu, yani artıkların beyaz gürültü özelliği taşıdığını savunur. Bu durum modelin veriye uygun olduğunu gösterir.

Adım Adım Çözüm

1

Ljung-Box hipotez yapısını tanımla.

H_0: \rho_1 = \rho_2 = \dots = \rho_k = 0

(Artıklar beyaz gürültüdür)

Portmanteau testleri, artıklar arasındaki otokorelasyonun toplu anlamlılığını ölçmek için kullanılır.

2

Beyaz gürültü özelliklerini kontrol et.

E[e_t] = 0

,

Var(e_t) = \sigma^2

(Sabit),

Cov(e_t, e_{t-k}) = 0

.

Bir modelin başarılı sayılabilmesi için verideki tüm sistematik bilginin ayıklandığını ve geriye sadece rassal hataların kaldığını doğrulamak gerekir.

3

Karar kuralını uygula.

p

-değeri

> \alpha

ise

H_0

reddedilemez; model uygundur.

İstatistiksel olarak anlamlı olmayan otokorelasyon katsayıları, artıkların beyaz gürültü olduğu varsayımını destekler.

Anahtar Kavram

Portmanteau Testleri ve Beyaz Gürültü Şartları

Soru 12Soru →

Bir zaman serisi araştırmacısı, aynı veri seti üzerinde dört farklı durağan Box-Jenkins modeli tahmin etmiş ve bu modellerin performansını karşılaştırmak için bilgi kriterlerini hesaplamıştır. Elde edilen değerler aşağıdaki tabloda sunulmuştur:

Model	$AIC$ Değeri	$BIC$ Değeri
Model I	$312,45$	$318,12$
Model II	$310,15$	$320,44$
Model III	$311,80$	$317,55$
Model IV	$314,90$	$325,12$

Buna göre, **Schwarz ( $BIC$ ) bilgi kriterine** göre en uygun (parsimonious) model aşağıdakilerden hangisidir?

Model I

Model II

Model III

Model IV

Model I ve Model II

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: Model III

Cevap

Schwarz (

BIC

) bilgi kriterine göre en uygun model, en düşük

BIC

değerine (

317,55

) sahip olan Model III'tür.

Model III'ün doğru seçilme nedeni, sunulan dört aday model içerisinde en düşük Schwarz (

BIC

) değerine (

317,55

) sahip olmasıdır. Zaman serisi analizinde bilgi kriterleri (Information Criteria), modelin karmaşıklığı ile uyum gücü arasındaki ödünleşimi ölçer ve en küçük değeri alan model 'en iyi' veya 'en uygun' model olarak kabul edilir.

Adım Adım Çözüm

1

Bilgi kriterleri (

AIC

ve

BIC

) ile model seçimi kuralını hatırla.

En uygun model, ilgili bilgi kriteri değerini minimize eden (en küçük değere sahip olan) modeldir.

Bilgi kriterleri, modelin veriyle uyumu (likelihood) ile kullanılan parametre sayısı (penaltı terimi) arasında bir denge kurar; düşük değer daha iyi bir dengeyi temsil eder.

2

Tablodaki

BIC

sütunundaki değerleri karşılaştır.

317,55 < 318,12 < 320,44 < 325,12

Soruda özellikle Schwarz (

BIC

) kriterine göre seçim yapılması istenmiştir.

3

En küçük değere karşılık gelen modeli belirle.

En küçük değer olan

317,55

, Model III'e aittir.

Model III, diğer adaylara göre veriyi daha az parametre ile daha etkin açıkladığı için tercih edilir.

Anahtar Kavram

Model seçimi kriterlerinde (AIC, BIC, HQIC) 'minimum değer' kuralı uygulanır.

BIC

, parametre sayısı için

AIC

'den daha ağır bir ceza (penalty) uygular.

İpuçları

1

Bilgi kriterlerinde her zaman sayısal olarak en küçük değere sahip olan modeli ararız.

2

Soruda sadece

BIC

sütununa bakmanız yeterlidir.

AIC

değerleri kafanızı karıştırmasın.

Daha Fazla Pratik

Schwarz (

BIC

) kriterinin neden

AIC

'ye göre daha az parametreli (daha sade) modelleri seçme eğiliminde olduğunu araştırın.

Tahmini Süre:1m 15s

Soru 13Soru →

Zaman serisi analizinde Box-Jenkins ( $ARIMA$ ) modellerinin parametre tahmin sürecinde sıklıkla başvurulan "En Yüksek Olabilirlik" ( $Maximum$ $Likelihood$ - $ML$ ) yöntemi ile ilgili aşağıdaki ifadelerden hangisi doğrudur?

Parametre tahminlerinin elde edilebilmesi için hata terimlerinin olasılık dağılımına ilişkin herhangi bir varsayım yapılmasına gerek yoktur.

Örneklem hacmi yeterince büyük olduğunda, elde edilen parametre tahminleri asimptotik olarak tutarlı ve etkin olma özelliğine sahiptir.

Hareketli Ortalama (

MA

) parametreleri, modele doğrusal olarak dahil oldukları için iteratif olmayan yöntemlerle doğrudan hesaplanabilir.

Bu yöntem, yalnızca seride birim kök bulunması ve durağanlığın bozulması durumunda En Küçük Kareler (

EKK

) yöntemine alternatif olarak kullanılır.

Küçük örneklemlerde her zaman Koşullu En Küçük Kareler (

EKK

) yöntemi ile tam olarak aynı sayısal değerleri üretir.

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: Örneklem hacmi yeterince büyük olduğunda, elde edilen parametre tahminleri asimptotik olarak tutarlı ve etkin olma özelliğine sahiptir.

Cevap

En Yüksek Olabilirlik yöntemi ile elde edilen tahminler, örneklem hacmi büyüdükçe asimptotik olarak tutarlı ve etkin olma özelliğine sahiptir.

En Yüksek Olabilirlik (

MLE

) yöntemi, istatistiksel literatürde asimptotik olarak en iyi doğrusal olmayan tahmin edicileri üretmesiyle bilinir. Örneklem hacmi büyüdükçe tahminlerin tutarlı (gerçek değere yakınsama) ve etkin (en düşük varyanslı) olması, bu yöntemin Box-Jenkins metodolojisinde tercih edilmesinin temel nedenidir.

Adım Adım Çözüm

1

Tahmin yönteminin teorik temelini inceleme

En Yüksek Olabilirlik (MLE) yönteminin, verilerin belirli bir olasılık dağılımından geldiği varsayımı altında olabilirlik fonksiyonunu maksimize ettiği saptanır.

Yöntemin gerekliliklerini ve işleyişini anlamak için temel tanım gereklidir.

2

Tahmin edicilerin istatistiksel özelliklerini değerlendirme

Büyük örneklemlerde MLE tahmin edicilerinin varyansının en küçük olduğu (etkinlik) ve örneklem büyüdükçe gerçek parametre değerine yaklaştığı (tutarlılık) doğrulanır.

Asimptotik özellikler, MLE yöntemini EKK gibi diğer yöntemlerden ayıran temel avantajlardan biridir.

3

Model yapısı ve optimizasyon türünü kontrol etme

ARIMA

modellerinde (özellikle

MA

kısımlarında) doğrusal olmayan yapı nedeniyle çözümlerin genellikle iteratif yöntemlerle elde edildiği sonucuna varılır.

Doğrudan hesaplama imkanının kısıtlı olması, yöntemin uygulama zorluğunu açıklar.

Anahtar Kavram

En Yüksek Olabilirlik Tahmincisinin Asimptotik Özellikleri

Tahmini Süre:1m 30s

Soru 14Soru →

Bir araştırmacı, bir ekonomik değişkenin zaman serisi verilerini incelediğinde, serinin orijinal seviyesindeki otokorelasyon fonksiyonu (ACF) ve kısmi otokorelasyon fonksiyonu (PACF) değerlerinin aşağıdaki tabloda verilen karakteristiklere sahip olduğunu saptamıştır:

Gecikme (k)	ACF	PACF
1	0,98	0,97
2	0,95	0,04
3	0,92	-0,02
10	0,75	0,01

Box-Jenkins metodolojisinin kimliklendirme (model belirleme) aşamasında, bu seriyi durağan hale getirmek için yapılması gereken ilk işlem aşağıdakilerden hangisidir?

Serinin birinci dereceden farkı alınmalıdır.

Seriye doğrudan AR(1) modeli tahmin edilmelidir.

Serinin varyansını sabitlemek için logaritmik dönüşüm yapılmalıdır.

Serinin ikinci dereceden farkı alınarak model kurulmalıdır.

Seriye hareketli ortalama (MA) süreci eklenmelidir.

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: Serinin birinci dereceden farkı alınmalıdır.

Cevap

Durağan olmayan bir seriyi durağanlaştırmak için Box-Jenkins metodolojisine göre serinin birinci dereceden farkı alınmalıdır.

Verilen tablodaki ACF değerlerinin 1'e yakın değerlerden başlayarak çok yavaş bir hızla azalması (0,98 -> 0,75), serinin durağan olmayan bir yapıya sahip olduğunu kesin olarak gösterir. Box-Jenkins metodolojisinde model belirleme aşamasının ilk adımı, serinin durağan olup olmadığını kontrol etmek ve eğer değilse fark alma gibi yöntemlerle durağanlaştırmaktır. PACF'nin ilk gecikmede 1'e yakın olması da serinin bir rassal yürüyüş (random walk) sürecine işaret ettiğini ve birinci dereceden fark alma işleminin öncelikli olduğunu teyit eder.

Adım Adım Çözüm

1

ACF ve PACF değerlerini analiz et.

ACF değerleri (0,98; 0,95; 0,92...) çok yavaş bir azalma göstermektedir. PACF ise 1. gecikmede 1'e çok yakın (0,97) olup sonrasında kesilmektedir.

ACF'nin yavaş sönümlenmesi serinin durağan olmadığını ve birim kök (stokastik trend) içerdiğini gösterir.

2

Durağanlaştırma yöntemini belirle.

Serinin durağan hale getirilmesi için fark alma işlemi gereklidir.

Box-Jenkins metodolojisinde, stokastik trend içeren seriler fark alma operatörü (1-B) kullanılarak durağanlaştırılır.

3

Fark derecesine karar ver.

Seri I(1) sürecine benzediği için öncelikle birinci dereceden fark (

Δy_t = y_t - y_{t-1}

) alınmalıdır.

En basit durağanlaştırma adımı olan birinci fark, serideki doğrusal stokastik trendi ortadan kaldırarak seriyi durağan (I(0)) hale getirir.

Anahtar Kavram

Box-Jenkins Kimliklendirme Aşaması ve Fark Alma (Differencing)

Tahmini Süre:1m 30s

Soru 15Soru →

Zaman serisi analizinde Box-Jenkins modellerinin parametrelerinin kestirilmesi sürecinde, Otoregresif ( $AR$ ) süreçler ile Hareketli Ortalama ( $MA$ ) süreçleri arasında tahmin yönteminin karmaşıklığı açısından belirgin farklar bulunmaktadır. Buna göre, $MA(q)$ modellerinin parametrelerini tahmin ederken standart doğrusal En Küçük Kareler ( $OLS$ ) yöntemi yerine doğrusal olmayan ( $non-linear$ ) iteratif yöntemlerin veya Enyüksek Olabilirlik ( $MLE$ ) yönteminin tercih edilmesinin temel gerekçesi aşağıdakilerden hangisidir?

Hata terimlerinin (

a_{t-i}

) doğrudan gözlemlenememesi ve bu terimlerin parametrelerle olan ilişkisinin ardışık (

recursive

) bir yapı sunması nedeniyle modelin parametrelere göre doğrusal olmaması

MA

modellerinde tersinirlik (

invertibility

) koşulunun sağlanması durumunda otokovaryans fonksiyonunun tüm gecikmeler için sabit bir değer alması

MA(q)

sürecinin otokorelasyon fonksiyonunun (

ACF

)

q

gecikmesinden sonra kesilmesi nedeniyle matris işlemlerinin tanımsız hale gelmesi

MA

modellerinde hata terimlerinin varyansının zaman boyunca sabit kalması varsayımının (

homoscedasticity

) sadece iteratif yöntemlerle test edilebilmesi

MA

sürecinde karakteristik denklemin köklerinin birim çemberin dışında kalması durumunda modelin durağanlık özelliğini kaybetmesi

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: Hata terimlerinin ( $a_{t-i}$ ) doğrudan gözlemlenememesi ve bu terimlerin parametrelerle olan ilişkisinin ardışık ( $recursive$ ) bir yapı sunması nedeniyle modelin parametrelere göre doğrusal olmaması

Cevap

Hata terimlerinin doğrudan gözlemlenememesi ve parametrelerle olan ardışık ilişkisi nedeniyle modelin doğrusal olmayan bir yapı sergilemesi

Doğru cevap, hata terimlerinin gözlemlenemez oluşu ve modelin parametreler açısından doğrusal olmayan bir yapı sunmasıdır.

AR

modellerinde bağımsız değişkenler geçmiş gözlemler olduğu için standart

OLS

uygulanabilirken,

MA

modellerinde hata terimleri ancak parametre tahminleri yapıldıkça elde edilebilir, bu da süreci iteratif bir hale getirir.

Adım Adım Çözüm

1

AR(p)

ve

MA(q)

modellerinin yapısal denklemlerini karşılaştırın.

AR

modelinde

Y_t

, gözlemlenebilir geçmiş değerlerin (

Y_{t-1}

) bir fonksiyonudur;

MA

modelinde ise gözlemlenemeyen hata terimlerinin (

a_{t-1}

) fonksiyonudur.

Tahmin yönteminin belirlenmesindeki ilk adım bağımsız değişkenlerin niteliğini anlamaktır.

2

MA

modelindeki regresörlerin (hata terimleri) nasıl elde edildiğini analiz edin.

Hata terimi

a_t = Y_t - \theta_1 a_{t-1} - ...

, yani mevcut hata terimi hem parametrelere hem de geçmiş hata terimlerine bağlıdır.

Bu ardışık bağımlılık, parametrelerin hata terimleri üzerinde doğrusal olmayan bir etkiye sahip olmasına neden olur.

3

Tahmin yönteminin gerekliliğini sonuçlandırın.

Doğrusal En Küçük Kareler (

OLS

), parametrelerin doğrusal olduğu durumlarda kapalı formda çözüm verir; ancak

MA

modellerindeki bu yapı ancak iteratif (tekrarlamalı) algoritmalarla (Gauss-Newton gibi) çözülebilir.

Gözlemlenemeyen değişkenler ve doğrusal olmayan parametre yapısı iteratif çözümü zorunlu kılar.

Anahtar Kavram

Hata terimlerinin gözlemlenemezliği ve MA modellerinde doğrusal olmayan parametre tahmini

Soru 16Soru →

Bir zaman serisi verisi için tahmin edilen dört farklı aday modelin Akaike (AIC) ve Schwarz (BIC) bilgi kriteri değerleri aşağıdaki tabloda sunulmuştur:

Aday Model	AIC Değeri	BIC Değeri
Model I	$215,4$	$222,8$
Model II	$212,8$	$225,4$
Model III	$214,2$	$220,1$
Model IV	$218,6$	$228,2$

Box-Jenkins metodolojisinde modellerin karmaşıklığına (parametre sayısına) daha yüksek ceza puanı uygulayan kriter baz alındığında, seçilmesi gereken en uygun model aşağıdakilerden hangisidir?

Model I

Model II

Model III

Model IV

Model II ve Model III eşit derecede uygundur

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: Model III

Cevap

Model III, en düşük BIC değerine (

220,1

) sahip olduğu için Schwarz Bilgi Kriterine göre en uygun modeldir.

Schwarz Bilgi Kriteri (BIC), aday modeller arasında daha düşük bir değer alan Model III'ü (

220,1

) en uygun model olarak belirler. BIC kriteri, Akaike Bilgi Kriterine (AIC) kıyasla model karmaşıklığını (parametre sayısını) daha sert cezalandırdığı için, parsimoni ilkesine önem veren durumlarda tercih edilen temel ölçüttür.

Adım Adım Çözüm

1

Hangi kriterin parsimoni (tutumluluk) ilkesine daha fazla ağırlık verdiğini belirle.

Schwarz Bilgi Kriteri (BIC), parametre sayısı için AIC'ye göre daha ağır bir ceza terimi (

k \ln(n)

) kullanarak daha basit modelleri tercih eder.

Soru kökünde belirtilen 'karmaşıklığa daha yüksek ceza puanı uygulayan kriter' ifadesi BIC'yi işaret etmektedir.

2

Aday modellerin BIC sütunundaki değerlerini karşılaştır.

222,8

(M-I),

225,4

(M-II),

220,1

(M-III),

228,2

(M-IV).

Bilgi kriterlerinde en düşük değeri veren model 'en iyi' model olarak kabul edilir.

3

En küçük değeri seç.

Min(

222,8

;

225,4

;

220,1

;

228,2

) =

220,1

(Model III).

Model III hem tutumluluk ilkesine uygunluğu hem de olabilirlik performansı dengesiyle BIC kriterine göre en iyisidir.

Anahtar Kavram

Bilgi kriterlerinde (AIC, BIC) minimizasyon ilkesi ve parsimoni (tutumluluk) tercihi.

Tahmini Süre:1m 30s

Soru 17Soru →

Ortalaması $\mu = 20$ olan durağan bir $Y_t$ zaman serisi için ARMA(1,1) modeli şu şekilde tahmin edilmiştir:

Y_t - 20 = 0,8(Y_{t-1} - 20) + \epsilon_t - 0,5\epsilon_{t-1}

$t$ zamanındaki gözlem değeri $Y_t = 22$ ve bu döneme ait hata terimi $\epsilon_t = 1,2$ olarak belirlenmiştir. Buna göre, bu model kullanılarak elde edilecek bir ve iki dönem sonrası nokta öngörü değerleri ( $\hat{Y}_t(1)$ ve $\hat{Y}_t(2)$ ) sırasıyla aşağıdakilerden hangisidir?

21,0 ve 20,8

21,0 ve 20,0

22,2 ve 21,76

17,0 ve 13,6

21,6 ve 21,28

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 21,0 ve 20,8

Cevap

Bir dönem sonrası nokta öngörüsü 21,0 ve iki dönem sonrası nokta öngörüsü 20,8'dir.

21,0 ve 20,8 değerlerini içeren seçenek doğrudur. Birinci dönem tahmini için mevcut gözlemden ortalama çıkarılmış (

22-20=2

), parametre ile çarpılmış (

0,8 \times 2 = 1,6

) ve mevcut hata terimi etkisi düşülerek (

1,6 - 0,6 = 1,0

) ortalamaya eklenmiştir (

20+1=21

). İkinci dönemde ise MA bileşeni sıfırlanmış ve AR etkisi öngörülen değer üzerinden devam ettirilmiştir.

Adım Adım Çözüm

1

Bir dönem sonrası öngörü (

\hat{Y}_t(1)

) denklemini kurmak.

\hat{Y}_t(1) - 20 = 0,8(Y_t - 20) - 0,5\epsilon_t

Bir dönem sonrası öngörüde,

t

zamanındaki gözlem ve hata terimi bilinmektedir; ancak

\epsilon_{t+1}

beklenen değeri sıfırdır.

2

Verilen değerleri denklemde yerine koyarak

\hat{Y}_t(1)

değerini hesaplamak.

\hat{Y}_t(1) = 20 + 0,8(22 - 20) - 0,5(1,2) = 20 + 1,6 - 0,6 = 21,0

Matematiksel işlemleri tamamlayarak ilk tahmin değerine ulaşılır.

3

İki dönem sonrası öngörü (

\hat{Y}_t(2)

) denklemini kurmak.

\hat{Y}_t(2) - 20 = 0,8(\hat{Y}_t(1) - 20)

İki dönem sonrasında hem

\epsilon_{t+2}

hem de

\epsilon_{t+1}

hata terimlerinin beklenen değerleri sıfır olduğundan MA bileşeni denklemden düşer.

4

Hesaplanan

\hat{Y}_t(1)

değerini kullanarak

\hat{Y}_t(2)

değerini bulmak.

\hat{Y}_t(2) = 20 + 0,8(21,0 - 20) = 20 + 0,8 = 20,8

Otoregresif sürecin öngörülen değer üzerinden devam ettirilmesiyle ikinci tahmin değerine ulaşılır.

Anahtar Kavram

ARMA modellerinde nokta öngörüsü yapılırken, gelecek dönemlere ait hata terimlerinin beklenen değerleri sıfır kabul edilir ve öngörüler ardışık olarak bir önceki tahminlere dayanır.

Soru 18Soru →

Zaman serisi analizinde Box-Jenkins ( $ARIMA$ ) modellerinin kimliklendirme aşamasından sonra gelen parametre tahmini sürecinde kullanılan En Küçük Kareler (EKK) ve En Yüksek Olabilirlik (EO) yöntemleri ile ilgili aşağıdaki ifadelerden hangisi doğrudur?

En Yüksek Olabilirlik (EO) yöntemi ile elde edilen parametre tahmin edicileri; büyük örneklemlerde tutarlılık, asimptotik etkinlik ve asimptotik normallik özelliklerine sahiptir.

Hareketli ortalama (

MA

) modellerinde parametreler hata terimlerine göre doğrusal bir yapı sergilediği için EKK yöntemi ile her zaman analitik bir çözüme ulaşılır.

En Küçük Kareler (EKK) yöntemi, parametre tahminlerini elde edebilmek için hata terimlerinin mutlaka normal dağılım göstermesi varsayımını bir ön koşul olarak kabul eder.

Box-Jenkins metodolojisinde özdevinimli (

AR

) modeller için sadece EKK yöntemi, hareketli ortalama (

MA

) modelleri için ise sadece EO yöntemi kullanılabilir.

Koşullu En Küçük Kareler yönteminde, serinin başlangıcındaki gözlenemeyen hata terimleri genellikle serinin varyans değerine eşitlenerek tahmin süreci başlatılır.

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: En Yüksek Olabilirlik (EO) yöntemi ile elde edilen parametre tahmin edicileri; büyük örneklemlerde tutarlılık, asimptotik etkinlik ve asimptotik normallik özelliklerine sahiptir.

Cevap

En Yüksek Olabilirlik yöntemi ile elde edilen tahmin ediciler asimptotik olarak tutarlı, etkin ve normal dağılıma sahiptir.

İstatistikte En Yüksek Olabilirlik (EO) yöntemi, tahmin edicilerin örneklem hacmi büyüdükçe gerçek parametreye yakınsaması (tutarlılık) ve en düşük varyansa sahip olması (etkinlik) gibi arzu edilen asimptotik özelliklere sahip olmasını sağlar.

Adım Adım Çözüm

1

Tahmin yöntemlerinin temel özelliklerini karşılaştırın.

EKK ve EO, Box-Jenkins modellerinde en yaygın kullanılan iki temel yöntemdir.

Yöntemlerin asimptotik özelliklerini ve model türlerine göre (AR, MA) davranışlarını belirlemek gerekir.

2

En Yüksek Olabilirlik (EO) yönteminin büyük örneklem özelliklerini analiz edin.

EO,

n \rightarrow \infty

iken tutarlılık, asimptotik etkinlik ve asimptotik normallik sağlar.

Bu özellikler, EO yöntemini istatistiksel çıkarsama için en güçlü yöntemlerden biri yapar.

3

EKK yönteminin kısıtlarını değerlendirin.

MA modellerinde EKK doğrusal bir çözüm sunmaz, normal dağılım varsayımı ise tahminin kendisi için değil çıkarsama (test) aşaması için kritiktir.

Çoğu zaman MA modellerinde 'Koşullu EKK' kullanılarak iteratif bir süreç izlenir.

Anahtar Kavram

Zaman Serilerinde Parametre Tahmini (EKK vs MLE)

Soru 19Soru →

Bir zaman serisi analizinde, serinin düzey değerlerine ait otokorelasyon fonksiyonunun (ACF) çok yavaş bir biçimde azaldığı ve serinin durağan olmadığı saptanmıştır. Serinin birinci dereceden farkı alındıktan sonra elde edilen yeni serinin ACF değerlerinin 2. gecikmeden sonra istatistiksel olarak sıfıra kesildiği, kısmi otokorelasyon fonksiyonunun (PACF) ise geometrik olarak azalarak sönümlendiği gözlenmiştir. Box-Jenkins metodolojisine göre, bu zaman serisi için önerilecek en uygun ARIMA( $p, d, q$ ) modeli aşağıdakilerden hangisidir?

ARIMA(0, 1, 2)

ARIMA(2, 1, 0)

ARIMA(2, 0, 0)

ARIMA(0, 0, 2)

ARIMA(1, 1, 1)

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: ARIMA(0, 1, 2)

Cevap

Zaman serisi için en uygun model ARIMA(0, 1, 2) modelidir.

Zaman serisinin durağan olmaması ve birinci dereceden farkı alındığında durağan hale gelmesi, ARIMA modelindeki 'd' parametresinin 1 olduğunu gösterir. Durağanlaştırılmış serinin ACF değerlerinin 2. gecikmeden sonra kesilmesi q=2 olan bir MA sürecine, PACF'nin ise sönümlenmesi bu sürecin saf bir MA süreci olduğuna (p=0) işaret eder. Bu birleşim bizi ARIMA(0, 1, 2) modeline götürür.

Adım Adım Çözüm

1

Orijinal serinin durağanlık kontrolünü yap.

Seri durağan değildir ve bütünleşiklik derecesi d=1'dir.

ACF'nin çok yavaş sönümlenmesi serinin birim kök içerdiğini ve durağan olmadığını gösterir. Birinci farkla durağanlaştığı için d parametresi 1 olarak belirlenir.

2

Farkı alınmış serinin ACF grafiğini incele.

MA derecesi q=2 olarak belirlenir.

Otokorelasyon fonksiyonunun (ACF) belirli bir gecikmeden (burada 2) sonra aniden sıfıra düşmesi (kesilmesi), serinin Hareketli Ortalama (MA) bileşeni içerdiğini gösterir.

3

Farkı alınmış serinin PACF grafiğini incele.

AR derecesi p=0 olarak belirlenir.

Kısmi otokorelasyon fonksiyonunun (PACF) geometrik veya üstel bir şekilde azalarak sönümlenmesi, saf bir MA süreciyle karşı karşıya olduğumuzu teyit eder.

Anahtar Kavram

Box-Jenkins Model Belirleme (Kimliklendirme)

Soru 20Soru →

Ortalaması $\mu = 80$ olan durağan bir $Y_t$ zaman serisi için ARMA(1,1) modeli şu şekilde tahmin edilmiştir:

(Y_t - 80) = 0,7(Y_{t-1} - 80) + \epsilon_t - 0,4\epsilon_{t-1}

$t$ zamanındaki gözlem değeri $Y_t = 82$ ve bu döneme ait hata terimi $\epsilon_t = 0,5$ olarak belirlenmiştir. Buna göre, bu model kullanılarak elde edilecek $t+1$ ve $t+2$ dönemleri için nokta öngörü değerleri ( $\hat{Y}_{t+1}$ ve $\hat{Y}_{t+2}$ ) sırasıyla aşağıdakilerden hangisidir?

81,2 ve 80,84

81,4 ve 80,98

81,2 ve 80,00

82,6 ve 81,82

80,8 ve 80,56

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 81,2 ve 80,84

Cevap

Model denkleminde

t+1

için

Y_t

ve

\epsilon_t

değerleri yerine konularak 81,2;

t+2

için ise bulunan

\hat{Y}_{t+1}

değeri kullanılarak 80,84 sonucu elde edilir.

Doğru yanıt olan 81,2 ve 80,84 değerleri, ARMA(1,1) öngörü denklemi adım adım uygulanarak elde edilmiştir.

t+1

için yapılan öngörüde gözlemlenen

Y_t

değeri ve mevcut

\epsilon_t

hatası kullanılırken,

t+2

için yapılan öngörüde sadece bir önceki dönemin öngörü değeri (

\hat{Y}_{t+1}

) kullanılır ve tüm hata terimleri sıfır varsayılır.

Adım Adım Çözüm

1

t+1

dönemi için öngörü denkleminin kurulması

\hat{Y}_{t+1} - 80 = 0,7(Y_t - 80) + E[\epsilon_{t+1}] - 0,4\epsilon_t

Gelecek dönemdeki hata teriminin beklenen değeri sıfırdır, ancak cari dönem hatası öngörüde kullanılır.

2

t+1

değerinin hesaplanması

\hat{Y}_{t+1} = 80 + 0,7(82 - 80) - 0,4(0,5) = 80 + 1,4 - 0,2 = 81,2

Verilen değerlerin yerine konulmasıyla ilk öngörü noktası bulunur.

3

t+2

dönemi için öngörü denkleminin kurulması

\hat{Y}_{t+2} - 80 = 0,7(\hat{Y}_{t+1} - 80) + E[\epsilon_{t+2}] - 0,4E[\epsilon_{t+1}]

t+2

döneminde hem

t+2

hem de

t+1

dönemine ait hata terimlerinin beklenen değerleri sıfır kabul edilir.

4

t+2

değerinin hesaplanması

\hat{Y}_{t+2} = 80 + 0,7(81,2 - 80) = 80 + 0,84 = 80,84

Birinci dönem öngörüsü AR bileşeni olarak kullanılarak ikinci dönem öngörüsü elde edilir.

Anahtar Kavram

ARMA modellerinde nokta öngörüsü yapılırken, gelecek dönemlere ait hata terimlerinin beklenen değeri sıfır alınır; ancak öngörü ufkuna bağlı olarak geçmişteki gözlemlenmiş hatalar denklemde yer alır.

Tahmini Süre:1m 30s

Box-Jenkins Metodolojisi ve Öngörü

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Alternatif Yöntem

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Daha Fazla Pratik

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Daha Fazla Pratik

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

İpuçları

Daha Fazla Pratik

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm