Examkin

Soru

Zorluk: ZorMartingaleler

Bir risk analizi modelinde, incelenen bir sistemin durum skoru her bir zaman adımında eşit olasılıkla 11 birim artmakta veya 11 birim azalmaktadır. Bu durum, P(Un=1)=12P(U_n = 1) = \frac{1}{2} ve P(Un=−1)=12P(U_n = -1) = \frac{1}{2} olasılık dağılımına sahip, birbirinden bağımsız ve eş dağılımlı {Un}n≥1\{U_n\}_{n \geq 1} rastgele değişkenleri ile modellenmektedir.

Sistemin nn. adımdaki toplam durum skoru S0=0S_0 = 0 olmak üzere, n≥1n \geq 1 için Sn=Sn−1+UnS_n = S_{n-1} + U_n eşitliği ile verilmektedir. Fn\mathcal{F}_n, {Sn}\{S_n\} sürecinin doğal filtrasyonu olsun.

Araştırmacılar, Mn=Sn2−c⋅nM_n = S_n^2 - c \cdot n şeklinde yeni bir stokastik süreç tanımlamış ve bu sürecin Fn\mathcal{F}_n'ye göre bir martingal olmasını hedeflemiştir. Analiz, sistemin skoru 44'e ulaştığında (üst sınır) veya −2-2'ye düştüğünde (alt sınır) durdurulacaktır. Durdurma zamanı T=min⁡{n:Sn=4 veya Sn=−2}T = \min\{n : S_n = 4 \text{ veya } S_n = -2\} olarak tanımlanmıştır.

Opsiyonel Durdurma Teoremi'nin (Optional Stopping Theorem) geçerli olduğu varsayımı altında, sürecin martingal olmasını sağlayan cc sabiti ile sistemin durdurulmasına kadar geçecek beklenen adım sayısı E[T]E[T] sırasıyla aşağıdakilerden hangisidir?

  1. c=1,E[T]=8c = 1, \quad E[T] = 8Cevap
  2. B
    c=1,E[T]=12c = 1, \quad E[T] = 12
  3. C
    c=1,E[T]=10c = 1, \quad E[T] = 10
  4. D
    c=0,E[T]=8c = 0, \quad E[T] = 8
  5. E
    c=2,E[T]=6c = 2, \quad E[T] = 6

Cevap

c=1c = 1 ve E[T]=8E[T] = 8 değerlerini içeren seçenektir.
Sürecin martingal olması için E[Mn+1∣Fn]=MnE[M_{n+1} \mid \mathcal{F}_n] = M_n olmalıdır. SnS_n süreç adımlarının varyansı 1 olduğu için Mn=Sn2−nM_n = S_n^2 - n denklemi martingal koşulunu sağlar, dolayısıyla c=1c=1 dir. Opsiyonel Durdurma Teoremi gereği, martingal olan SnS_n süreci için E[ST]=0E[S_T] = 0 olmalıdır. Sınırlar 44 ve −2-2 olduğundan, 4⋅P(ST=4)−2⋅P(ST=−2)=04 \cdot P(S_T=4) - 2 \cdot P(S_T=-2) = 0 eşitliğinden P(ST=4)=1/3P(S_T=4) = 1/3 ve P(ST=−2)=2/3P(S_T=-2) = 2/3 bulunur. Aynı teorem MnM_n süreci için uygulandığında E[MT]=0E[M_T] = 0 elde edilir, yani E[T]=E[ST2]E[T] = E[S_T^2] olur. E[ST2]=16⋅(1/3)+4⋅(2/3)=24/3=8E[S_T^2] = 16 \cdot (1/3) + 4 \cdot (2/3) = 24/3 = 8 olarak doğru hesaplanır.

Adım Adım Çözüm

1
MnM_n sürecinin martingal olma şartı olan E[Mn+1∣Fn]=MnE[M_{n+1} \mid \mathcal{F}_n] = M_n eşitliğini kurun.
E[Sn2+2SnUn+1+Un+12−c(n+1)∣Fn]=MnE[S_n^2 + 2S_n U_{n+1} + U_{n+1}^2 - c(n+1) \mid \mathcal{F}_n] = M_n
Bir sürecin martingal olabilmesi için gelecekteki beklenen değerinin, mevcut bilgi (filtrasyon) altındaki değerine eşit olması gerekir.
2
Koşullu beklenen değeri hesaplayarak cc sabitini bulun.
Sn2+2SnE[Un+1]+E[Un+12]−cn−c=Sn2+1−cn−c=Mn+1−cS_n^2 + 2S_n E[U_{n+1}] + E[U_{n+1}^2] - cn - c = S_n^2 + 1 - cn - c = M_n + 1 - c. Buradan 1−c=0  ⟹  c=11 - c = 0 \implies c = 1 elde edilir.
SnS_n bilinen bir değerdir, Un+1U_{n+1} ise bağımsızdır. E[Un+1]=0E[U_{n+1}] = 0 ve E[Un+12]=1E[U_{n+1}^2] = 1 eşitlikleri kullanılmıştır.
3
Fn\mathcal{F}_n'ye göre bir martingal olan SnS_n için Opsiyonel Durdurma Teoremi'ni uygulayarak durdurma anındaki olasılıkları hesaplayın.
E[ST]=S0=0E[S_T] = S_0 = 0. Sınırlara ulaşma olasılıkları p=P(ST=4)p = P(S_T = 4) ise, 4p+(−2)(1−p)=0  ⟹  6p=2  ⟹  p=1/34p + (-2)(1-p) = 0 \implies 6p = 2 \implies p = 1/3. Alt sınıra ulaşma olasılığı ise 2/32/3 olur.
Durdurma anında sürecin beklenen değeri başlangıç değerine (0) eşittir.
4
Fn\mathcal{F}_n'ye göre bir martingal olan Mn=Sn2−nM_n = S_n^2 - n için Opsiyonel Durdurma Teoremi'ni kullanarak E[T]E[T] değerini bulun.
E[MT]=M0=0  ⟹  E[ST2−T]=0  ⟹  E[T]=E[ST2]E[M_T] = M_0 = 0 \implies E[S_T^2 - T] = 0 \implies E[T] = E[S_T^2]. E[ST2]=42(1/3)+(−2)2(2/3)=16/3+8/3=8E[S_T^2] = 4^2(1/3) + (-2)^2(2/3) = 16/3 + 8/3 = 8.
MnM_n bir martingal olduğundan durdurma anındaki beklenen değeri de M0=0M_0 = 0 olacaktır.

Anahtar Kavram

Martingal Özellikleri ve Opsiyonel Durdurma Teoremi
Bu soruyu puanla

Konular

Martingaleler

Bu konudan daha fazla soru