Examkin

Soru

Zorluk: KolayPoisson Süreci

Bir kamu kütüphanesine gelen okuyucuların varışları, saatte ortalama λ=6\lambda = 6 kişi olan, bağımsız ve durağan artışlara sahip bir Poisson süreci ile modellenmektedir. Buna göre, kütüphaneye gelen ilk okuyucunun varış süresinin 2020 dakikadan fazla olma olasılığı aşağıdakilerden hangisidir?

  1. A
    e−6e^{-6}
  2. e−2e^{-2}Cevap
  3. C
    1−e−21 - e^{-2}
  4. D
    e−120e^{-120}
  5. E
    e−1/3e^{-1/3}

Cevap

İstenen olasılık e−2e^{-2} değerine eşittir.
Poisson sürecinde, gelişler arası sürenin tt süresinden fazla olması, o tt süresi boyunca hiç olay gerçekleşmemesi durumuna eşittir. Saatte ortalama 66 kişi gelen bir süreçte, 2020 dakikalık (1/31/3 saat) bir sürede beklenen geliş sayısı λt=6×(1/3)=2\lambda t = 6 \times (1/3) = 2 olur. Poisson formülüne göre hiç geliş olmama olasılığı e−2e^{-2} olarak bulunur.

Adım Adım Çözüm

1
Parametreleri tanımlayın ve birimleri eşitleyin.
λ=6\lambda = 6 kişi/saat; t=20t = 20 dakika = 1/31/3 saat.
Olasılık hesaplaması için zaman birimi ile geliş oranının birimi aynı (saat) olmalıdır.
2
Poisson süreci ile Üstel dağılım arasındaki ilişkiyi kurun.
P(T1>t)=P(N(t)=0)P(T_1 > t) = P(N(t) = 0)
İlk geliş süresinin tt zamanından büyük olması, o süre zarfında sürece hiç varış (okuyucu) gelmemesi durumuna eşdeğerdir.
3
Belirli zaman aralığı için ortalama geliş sayısını (\mu = \lambda t) hesaplayın.
μ=6×13=2\mu = 6 \times \frac{1}{3} = 2.
Poisson dağılımının parametresi, birim oran ile geçen sürenin çarpımıdır.
4
Poisson olasılık formülünü kullanarak hiç geliş olmama olasılığını bulun.
P(N(1/3)=0)=e−2⋅200!=e−2P(N(1/3) = 0) = \frac{e^{-2} \cdot 2^0}{0!} = e^{-2}.
x=0x=0 için Poisson olasılık kütle fonksiyonu uygulanmıştır.

Anahtar Kavram

Poisson Süreci ve Bekleme Süreleri İlişkisi

Daha Fazla Pratik

Aynı süreç için ardışık iki okuyucu arasındaki sürenin beklenen değerini dakika cinsinden hesaplayarak Üstel dağılım özelliklerini pekiştirebilirsiniz.
Tahmini Süre:45s
Bu soruyu puanla

Konular

Poisson Süreci

Bu konudan daha fazla soru