Examkin

Soru

Zorluk: KolayMartingaleler

{Yk}k≥1\{Y_k\}_{k \ge 1} beklenen değerleri E[Yk]=3E[Y_k] = 3 olan bağımsız ve aynı dağılımlı (i.i.d.) rastgele değişkenler dizisi olsun. Sn=∑k=1nYkS_n = \sum_{k=1}^n Y_k ve S0=0S_0 = 0 olarak tanımlanan toplam süreci için, {Fn}\{\mathcal{F}_n\} doğal filtrasyonuna göre aşağıdakilerden hangisi bir martingal (martingale) teşkil eder?

  1. Mn=Sn−3nM_n = S_n - 3nCevap
  2. B
    Mn=SnM_n = S_n
  3. C
    Mn=Sn+3nM_n = S_n + 3n
  4. D
    Mn=Sn−nM_n = S_n - n
  5. E
    Mn=3SnM_n = 3S_n

Cevap

Toplam sürecinden kümülatif beklenen değerin çıkarılmasıyla elde edilen Mn=Sn−3nM_n = S_n - 3n süreci bir martingaldir.
Martingal süreçlerde 'drift' (eğilim) bulunmamalıdır. SnS_n süreci her adımda ortalama 3 birim arttığı için bu artış miktarının (3n3n) süreçten çıkarılması, süreci yatay bir beklentiye (E[Mn]=0E[M_n] = 0) sahip hale getirir ve martingal şartını sağlar.

Adım Adım Çözüm

1
Martingal tanımını ve şartını belirleyelim.
E[Mn+1∣Fn]=MnE[M_{n+1} | \mathcal{F}_n] = M_n eşitliği sağlanmalıdır.
Bir sürecin martingal olması için gelecekteki beklenen değerinin, mevcut tüm bilgiler ışığında şimdiki değerine eşit olması gerekir.
2
Sn+1S_{n+1} ifadesini bir önceki adım cinsinden yazalım.
Sn+1=Sn+Yn+1S_{n+1} = S_n + Y_{n+1}
Toplam sürecinin tanımı gereği her yeni adım bir önceki toplama yeni bir rastgele değişken ekler.
3
Mn=Sn−3nM_n = S_n - 3n ifadesi için koşullu beklentiyi hesaplayalım.
E[Sn+1−3(n+1)∣Fn]=E[Sn+Yn+1−3n−3∣Fn]=Sn−3n+E[Yn+1]−3=Sn−3n+3−3=Sn−3nE[S_{n+1} - 3(n+1) | \mathcal{F}_n] = E[S_n + Y_{n+1} - 3n - 3 | \mathcal{F}_n] = S_n - 3n + E[Y_{n+1}] - 3 = S_n - 3n + 3 - 3 = S_n - 3n
E[Yk]=3E[Y_k] = 3 verildiği için Yn+1Y_{n+1} değişkeninin beklenen değeri 3'tür ve bu değer çıkarılan sabit ile birbirini sıfırlar.

Anahtar Kavram

Martingal Dönüşümü (Centering)

Daha Fazla Pratik

Bağımsız değişkenlerin karesiyle ilgili (variance process) martingal dönüşümlerini inceleyebilirsiniz.
Tahmini Süre:45s
Bu soruyu puanla

Konular

Martingaleler

Bu konudan daha fazla soru