Bir Sosyal Güvenlik Kurumu (SGK) il müdürlüğü, erken emeklilik başvurularını başvuru sahip… — KPSS İstatistik

Bir Sosyal Güvenlik Kurumu (SGK) il müdürlüğü, erken emeklilik başvurularını başvuru sahiplerinin prim gün sayısına göre dört farklı kategoriye ayırmaktadır. Geçmiş yıllara ait kurumsal verilere göre, başvuruların bu dört kategoriye dağılım oranları belirlenmiştir.

Müdürlük, son dönemde rastgele seçilen $100$ başvurunun söz konusu tarihsel dağılıma uyum gösterip göstermediğini Ki-Kare uyum iyiliği testi ile incelemek istemektedir. Gözlenen başvuru sayıları ve geçmişe dayalı beklenen oranlar aşağıdaki tabloda verilmiştir:

Kategori (Prim Gün Sayısı)	Beklenen Oran	Gözlenen Frekans ( $O$ )
1. Kategori (5000-5999 gün)	$\%40$	$35$
2. Kategori (6000-6999 gün)	$\%40$	$45$
3. Kategori (7000-7999 gün)	$\%16$	$18$
4. Kategori (8000 gün ve üzeri)	$\%4$	$2$

Bu veriler kullanılarak Ki-Kare uyum iyiliği testi gerçekleştirilecektir. Testin istatistiksel varsayımları eksiksiz biçimde dikkate alındığında, hesaplanması gereken test istatistiği değeri ve testin serbestlik derecesi (sd) sırasıyla aşağıdakilerden hangisinde doğru verilmiştir?

Test İstatistiği: $1,25$ ; Serbestlik Derecesi: $2$ Cevap
B
Test İstatistiği: $2,50$ ; Serbestlik Derecesi: $3$
C
Test İstatistiği: $1,25$ ; Serbestlik Derecesi: $3$
D
Test İstatistiği: $2,50$ ; Serbestlik Derecesi: $4$
E
Test İstatistiği: $1,27$ ; Serbestlik Derecesi: $2$

Cevap

Testin kurallarına uygun biçimde son iki kategorinin birleştirilmesi sonucu Test İstatistiği 1,25 ve Serbestlik Derecesi 2 olarak bulunur.

Beklenen frekanslar hesaplandığında son hücrenin beklenen değeri 4 çıkmaktadır. Bu değer 5'ten küçük olduğu için bir önceki hücreyle birleştirilir. Gözlenen değerler 35, 45, 20 ve beklenen değerler 40, 40, 20 olacak şekilde analiz edildiğinde test istatistiği 1,25 elde edilir. Kategori sayısı 3'e düştüğü için serbestlik derecesi de 3 - 1 = 2 olur.

Adım Adım Çözüm

Her bir kategori için beklenen frekansları (

E = n \times p

) hesaplayınız.

E_1 = 100 \times 0,40 = 40

E_2 = 100 \times 0,40 = 40

E_3 = 100 \times 0,16 = 16

E_4 = 100 \times 0,04 = 4

Ki-Kare uyum iyiliği testinde gözlenen değerlerin beklenen değerlerden ne kadar saptığını ölçmek için öncelikle her sınıfın beklenen frekansı bulunmalıdır.

Beklenen frekansların 5'ten küçük olup olmadığını kontrol ediniz ve gerekiyorsa kategorileri birleştiriniz.

4. kategorinin beklenen frekansı (

E_4 = 4

) 5'ten küçük olduğu için, 3. kategori ile birleştirilmelidir.
Yeni 3. Kategori (3 ve 4. sınıfların birleşimi):

O_{yeni} = 18 + 2 = 20

E_{yeni} = 16 + 4 = 20

Ki-Kare testinin temel varsayımına göre, hiçbir hücrenin beklenen frekansı 5'ten küçük olmamalıdır. Küçük olması durumunda komşu hücrelerle birleştirme işlemi yapılmalıdır.

Birleştirilmiş veriler üzerinden Ki-Kare test istatistiğini (

\chi^2 = \sum \frac{(O-E)^2}{E}

) hesaplayınız.

\chi^2 = \frac{(35-40)^2}{40} + \frac{(45-40)^2}{40} + \frac{(20-20)^2}{20}

\chi^2 = \frac{25}{40} + \frac{25}{40} + \frac{0}{20} = 0,625 + 0,625 + 0 = 1,25

Test istatistiği, birleştirme sonrasında oluşan yeni hücreler üzerinden klasik formül kullanılarak elde edilir.

Yeni kategori sayısını (k') temel alarak serbestlik derecesini (sd) hesaplayınız.

Birleştirme işleminden sonra toplam kategori sayısı

k' = 3

olmuştur.
Serbestlik derecesi:

sd = k' - 1 = 3 - 1 = 2

Serbestlik derecesi hesaplanırken orijinal kategori sayısı değil, birleştirme sonrası geriye kalan kategori sayısı (

k'

) dikkate alınmalıdır.

Anahtar Kavram

Ki-Kare uyum iyiliği testinde beklenen frekansı 5'ten küçük olan hücrelerin birleştirilmesi varsayımı ve serbestlik derecesinin ayarlanması.

Soru

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Konular

Bu konudan daha fazla soru